濟(jì)南中考數(shù)學(xué)28題9分綜合壓軸題匯編

1、濟(jì)南中考數(shù)學(xué)28題9分綜合壓軸題2007濟(jì)南中考已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， ABC是直角三角形，NACB=90，點(diǎn) A, C 的坐標(biāo)分別為 A(-3,0), C(1,0), tan/BAC=9.4(1)求過點(diǎn)A, B的直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在x軸上找一點(diǎn)D,連接DB ,使得4ADB與4ABC相似(不包括全等)，并求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下，如P, Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ ,設(shè)AP=DQ = m,問是否存在這樣的m使得4APQ與4ADB相似，如存在，請(qǐng)求出m的值；如不存在，請(qǐng)說明理由.12008濟(jì)南中考拋物線 y=ax2+bx+c(aw0),頂點(diǎn) C (1 , -

2、3),與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，A(-1,0).(1)求這條拋物線的解析式.(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,依次連接A D B E, 點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A、B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作PML AE于M PNL DB于N,請(qǐng)判斷PM+PN是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.BE AD(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過點(diǎn)S作FGL EP ,FG分別與邊AE BE相交于點(diǎn)F、G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請(qǐng)判斷PB%是否成立.若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.2009年濟(jì)南中考已知：拋物線y =a

3、x2+bx+c（a#0）的對(duì)稱軸為x = 1,與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中 A（T0）、C（0,-2（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得4PBC的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) 。、點(diǎn)C重合）.過點(diǎn)D作DE / PC交x軸于點(diǎn)E.連接PD、PE.設(shè)CD的長(zhǎng)為m, 4PDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2010年濟(jì)南中考如圖所示，拋物線y =-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y = -T3x + 3/3,拋物

4、線的對(duì)稱軸l與直線BD交于點(diǎn)C、與x軸交于點(diǎn)E.求A、B、C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），以點(diǎn)A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段 AC交于點(diǎn)M,以點(diǎn)B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點(diǎn)N,分別連接AN、BM、MN. 求證：AN=BM.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？并求出該最大值或最小值 .2011年濟(jì)南中考如圖，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)(不與A、B重合)分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰4ACD 和等腰 BCE, CA = CD, CB = CE, / ACD 與/ BCE者B是銳角，且/ ACD =/BCE, 連

5、接AE交CD于點(diǎn)M ,連接BD交CE于點(diǎn)N, AE與BD交于點(diǎn)P,連接PC.(1)求證： ACEADCB;(2)請(qǐng)你判斷 AMCADMP的形狀有何關(guān)系并說明理由；(3)求證：/ APC =/ BPC.2012年濟(jì)南中考如圖1,拋物線 尸ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)OO1為4ABC的外接圓，交拋物線于另一點(diǎn)A (3, 0), B ( 1, 0),與 y軸相交于點(diǎn) C, D.3(1)求拋物線的解析式;(2)求cos/ CAB的值和。01的半徑;(3)如圖2,拋物線的頂點(diǎn)為P,連接BP, CP, BD, M為弦BD中點(diǎn)，若點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足 BMNs/Xbpc,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn) N的

6、坐標(biāo).2013年如濟(jì)南中考2 ，圖1,拋物線y = -x2+bx+c與x軸父于點(diǎn)A, C,與y軸父于點(diǎn)B,連接AB, BC,3點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0), & NBAQ=.以線段BC為直徑作OM交AB于點(diǎn)D.過點(diǎn)B作直線l / AC ,與拋物線和OM的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E, F.(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段EF的長(zhǎng)；(3)如圖2,連接CD并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)N.點(diǎn)P, Q為射線NB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右 側(cè)，且不與N重合)線段PQ與EF的長(zhǎng)度相等，連接DP, CQ,四邊形CDPQ的周長(zhǎng)是否有最小值？ 若有，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫出四邊形CDPQ周長(zhǎng)的最

7、小值；若沒有，請(qǐng)說明理由.第28題圖172014年濟(jì)南中考.如圖1,拋物線y = -°x2平移后過點(diǎn)A (8, ,0)和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B, 16對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C,與原拋物線相交于點(diǎn)D.(1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積Sw ；(2)如圖2,直線AB與y軸相交于點(diǎn)P,點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，NPMN為直角，邊MNf AP相交于點(diǎn)N,設(shè)OM =t ,試探求：t為何值時(shí)AMAN為等腰三角形；t為何值時(shí)線段PN的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度是多少.2015年濟(jì)南中考28.拋物線 y=ax2+bx+4 (a*0)過點(diǎn) A (1, - 1), B (5, - 1),與 y 軸交于點(diǎn)

8、C.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1,連接CB,以CB為邊作？CBPQ,若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且？CBPQ的面積為30,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2,。1過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為 上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) A, E重合)， / MBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N,求線段BN長(zhǎng)度的最大值.參考答案2007濟(jì)南中考解：(1)點(diǎn) A(4,0) , C(1,0)3_.AC=4, BC =tan/BAC m AC =父4=3, B 點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3) 4設(shè)過點(diǎn)A, B的直線的函數(shù)表達(dá)式為=kx +b ,由"kg)+b 得k = 33=k b4

9、二直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y =(2)如圖1,過點(diǎn)B作BD _L AB ,交x軸于點(diǎn)D ,在 RtzXABC 和 RtAADB 中，'；Z BAC =/ DAB Rt AB 8 RA AD,B二D點(diǎn)為所求 ，一 ，一 4又 tan/ADB = tanZ ABC =,4 yB第24題圖1A OQ C D x: CD =BC -tanZ ADB3R- 4二33八 -13OD =OC +CD =，413二 D . ,04(3)這樣的m存在在RtzXABC中，由勾股定理得 AB =5如圖1,當(dāng)PQ / BD時(shí), APQ s& ABDm則一=5c 133 m一4,解得133 425m 二

10、一9第24題圖2O C D xA Qy B如圖2,當(dāng) PQ _L AD 時(shí), APQ s& ADB125,解得m = 12536c 133 - m452009濟(jì)南中考解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y =a(x 1)2 -3將 A( 1, 0)代入：0=a(/_1)2_3a=34拋物線的解析式為y=-(x-1)2 -3,即：y=-x2 -x-4424是定值，PM+PN=i 4分BE AD AB為直徑，/ AEB90 ,PML AE. PM/ BEAPMb ABEPM =竺 BE AB同理：PN=PB AD AB不上令 PM PN AP PB +：十二一十=1 BE AD AB AB(3)

11、直線EC為拋物線對(duì)稱軸，EC垂直平分ABEA=EB / AEB90 4AE助等腰直角三角形. / EA田/ EBA45 7 分如圖，過點(diǎn)P作PHHL BE于H,由已知及作法可知，四邊形PHEM矩形,PH=MEM PH/ ME在 APMK 4PBH 中 / AMP/ PHB=90 ,/ EA田/ BPH=45PH=BH且 APMb PBH,PA PMPMPB BHME.PA PM PB - PH在 ME怖口 EG沖, PEI FG /FGEVSE390 /MEP/ SE390/ FGE:/MEP/ PME/ FEG90 .MEP EGF，PM=EFME EG由、知：PA =EF PB EG(本題

12、若按分類證明，只要合理，可給滿分)b .一 =1解：(1)由題意得比小9a -3b c =0解得b2343c - -2此拋物線的解析式為y2 24 c=-x x-233(2)連結(jié)AC、BC .因?yàn)锽C的長(zhǎng)度7E,所以zXPBC周長(zhǎng)最小，就是使 PC +PB最小.B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是 A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x = -1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) P.2 k = 解得一3b = 2一，,-3k b = 0設(shè)直線AC的表達(dá)式為y = kx +b則«b = -2把X = 1代入得y =i 4 )P點(diǎn)的坐標(biāo)為 1,I3J(3) S存在最大值理由: DE / PC,即ODOCOEOA，DE / AC.即

13、"OE OEDs/XOAC.OE方法一:=3 - 3m, AE =3, OE 2連ZOPS 二 S四邊形 PDOE - SAOED = SA POE ' SA POD - SAOED(第1題圖)1 c 3=3 一 m，此直線的表達(dá)式為9.3 八 ，33- <0.當(dāng) m =1 時(shí)，S最大=+一44 2方法二：S = SA OAC - SAQED - SA AEP - SA PCD1 c 八 1 c 3=3 2 一 3 m134111.2 - m m m 122323 2-m43m = -3m-12 32443 八，<0.當(dāng)m=1時(shí)，S最大42010濟(jì)南中考第2題圖解

14、：令 _x2 +2x+3 =0 ,解得：為=1*2=3,A(-1, 0), B(3, 0) 2 一 一 ,2 22- y=-x +2x+3=-(x_1) +4,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,將x=1代入y =_®+3邪，得y=2擲， C (1, 2 73)在 RtACE 中，tan/CAE=CE=并 AE/ CAE=60o,由拋物線的對(duì)稱性可知l是線段AB的垂直平分線，AC=BC ,. .ABC為等邊三角形，AB= BC =AC = 4, /ABC=/ACB= 60o,又 AM=AP , BN=BP , .BN = CM ,ABNABCM ,AN=BM.四邊形AMNB的面積有最小值.設(shè)

15、AP=m ,四邊形AMNB的面積為S,由可知 AB= BC= 4, BN = CM=BP , SaABC=X42=4>/34CM=BN= BP= 4-m, CN=m ,過M作MFBC,垂足為F,貝U MF = MC?sin60o=(4 _m),-1 Szxcmn= _CNl_MF = 1 m ? (4 m)=蟲"m23m ,2224S=Sa abc Sa cmn=473 ( -m2 +V3m )= (m -2)2 3 3 44m=2時(shí)，S取得最小值3席.112011濟(jì)南中考(1)證明：. ACD和4BCE都是等腰三角形， AC = DC, BC = EC./ ACD =Z BC

16、E, Z ACE =/DCB.在 ACE和 DCB中，AC =DCINACE =NDCB ,CE =CBACEA DCB (SAS).(2) AMCsDMP.理由如下：由(1)知 ACEA DCB , / CAE =/CDB.又. / AMC =ZPMD, . AMCA DMP .(3)證明：在 DB上截取DF=AP,連接CF, 由(1)知 ACEA DCB ,/ CAE =/CDB.又 CA = CD, DF =AP, ACPA DCF ,/APC=/DFC, CP=CF ./ BPC =/ DFC , / APC =/ BPC .152012濟(jì)南中考解：(1) 拋物線 y=ax2+bx+3

17、 與 x 軸相交于點(diǎn) A (3, 0), B (-1, 0),9a -3b 3=02,解得a=1, b=4,，拋物線的解析式為：y=x +4x+3.a -b 3=0(2)由(1)知，拋物線解析式為：y=x2+4x+3,令 x=0,得 y=3, C (0, 3),OC=OA=3 ,則 AOC 為等腰直角三角形，/ CAB=45 ,cos/ CAB=2在RtBOC中，由勾股定理得：BC= Ji2 +32 r,而.如答圖1所示，連接O1B、O1C,由圓周角定理得:BOC=2/BAC=90°, . BO1C 為等腰直角三角形，。，一一201 的半徑 01B= BC=V 5 .(3)拋物線 y

18、=x2+4x+3= (x+2) 21,，頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(一2, 1),對(duì)稱軸為x= -2.又.A (3, 0), B (1, 0),可知點(diǎn) A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱.如答圖2所示，由圓及拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)D、點(diǎn)C (0, 3)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,D ( 4, 3).又點(diǎn) M 為 BD 中點(diǎn)，B ( 1, 0), M ( 5,-),22BM=卜|-(-1)2，(|)2=|我；在4BPC 中，B (-1, 0), P (-2, 1), C (0, 3),由兩點(diǎn)間的距離公式得：BP= J2, BC= 屈,PC= 2J5 . BMN sx bpc,BMBPBNBCMNPC即唬啜段解得：BN-設(shè)N (x

19、, y),由兩點(diǎn)間的距離公式可得:(x 1)2 y2 =(3 10)2(2,解之得,(x 5)2 (y-3)2 =(3 5)2 221 于29 "2，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-,一。)或(°, 一 9).22222013濟(jì)南中考解：（1） .點(diǎn) A （2, 0）, a /BA（2= ,，AO=2, BO=4,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0, 4） . （1分）2 c拋物線 y = x2 +bx+C 過點(diǎn) A, B, 382b c =0, 3c =4解得c =4.2 2 2，此拋物線的解析式為 y =-2x2 -x+4. （3分）33（2）解法一：在圖1中連接CF ,2 o 2令 y=0,即x x+

20、4=0, 解得 x1 = 一3, x2 = 2.3 3點(diǎn) C 坐標(biāo)為（一3,0）, CO=3. （4 分）人 ._2 22一令 y=4,即 x x+4=4,解得 為=0, x2 = 1. 33點(diǎn) E 坐標(biāo)為（1,4）,BE=1. （5 分） BC 為。O直徑，/CFB =90°.又 BO _L AC, l / AC , BO_Ll,/FBO =/BOC =90° , .四邊形 BFCO 為矩形,BF=CO =3.1.EF=BF -BE=3 -1=2. （6 分）1解法二：. 拋物線對(duì)稱軸為直線x = 1 ,2第28題答圖1.點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3,0）. （4分）點(diǎn)B

21、的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1,4）. （5分）BC是。M的直徑,-，3.點(diǎn)M的坐標(biāo)為 -,2 I.2如圖2,過點(diǎn)M作MG _L FB ,則GB =GF ,一 3 c ”3, M . -,2 , BG =一，. BF=2BG=3. 22點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（1,4 ）,BE=1.EF=BF -BE=3 -1=2. （6 分）第28題答圖3(3)四邊形CDPQ的周長(zhǎng)有最小值.(7分) 理由如下: BC = JOC2 +OB2 73 +42 =5 , AC=OC+OA =3+2=5 ,AC=BC .BC為。M直徑，ZBDC =90°,即 CD _L AB ,D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).作

22、點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Di(1,6，點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位得點(diǎn)Ci(-1,0),連接CiDi與直線l交于點(diǎn)P,點(diǎn)P向左平移兩個(gè)單位得點(diǎn) Q,四邊形CDPQ即為周長(zhǎng)最小的四邊形解法一：設(shè)直線 D1 D的函數(shù)表達(dá)式為 y = mx + n ,Rm n =0,m = 3i i直線 CiDi的表達(dá)式為 y = 3x+3.m n =6 n =31- yP=4，- xp =-，3.點(diǎn)P的坐標(biāo)為 口,4 I （8分）3解法二：如圖3,直線D1D交直線l于點(diǎn)H,交x易得 D1K 1C1K, D1H _LPH,由題意可知 D1H =2, D1K =6, C1K =2 ,由直線l / x軸，易證 DFHD1C1K

23、,fH_DH . PH _2PHC1KD1K321 BP =BH -PH =1 =, 3 3.點(diǎn)P的坐標(biāo)為11,4 i. （8分）3C四邊形CDPQ最小 =2芯 + 2面+ 2. （9 分）1939解：（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=_±x2+bx,16將點(diǎn)(2)當(dāng)3 o 3A （8, ,0 ）代入，得 y = 一一 x + x .頂點(diǎn) B （4,3 ）, 1623直線AB的斛析式為y = - x +6 ,作NQ垂直于x軸于點(diǎn)4MNh AN時(shí)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 8H,縱坐標(biāo)為24 -3t ,%影=00 CEB= 12.Q,由三角形NQ防口三角形MORK似可知NQ MQOM OP824-

24、3t，得一88-t99 一-2-,解得t = ,8 (舍去).623當(dāng) AM= AN時(shí)，ANh 8 -t,由二角形 ANQB二角形 APO相似可知 NQ =g(8 t ) AQ =8 -tMQ=匕，由二角形NQ防口二角形MO刖似可知5NQ MQOM OP得:2tt當(dāng)MNh MAM, /MNA=/MAN <45故/AMN是鈍角，顯然不成立.8-t二 5一 6故t = 92解得：t = 12（舍去）.方法一：作 PN的中點(diǎn)C,連接CM則CM= PC= 1 PN,當(dāng)CM直于2x軸且M為OQ中點(diǎn)時(shí)PN最小,此日t = 3,證明如下:假設(shè)t = 3時(shí)M記為Mo , C記為Co若M不在M0處，即M在M0左側(cè)或右側(cè),若C在Co左側(cè)或者C在Co處，則CM-定大于CoMo,而PC卻小于PCo,這與CM= PC矛盾,故C在C0右側(cè)，則PC大于PC0,相應(yīng)PN也會(huì)增大,故若M不在M 0處時(shí)PN大于Mo處的PN的值,故當(dāng)t = 3時(shí)，MQ= 3, NQ = 3 ,根據(jù)勾股定理可求出 PM= 3% 5與MNk2_，, 15故當(dāng)t = 3時(shí)，PN取最小值為 23 5,PN=1522方法二：由MN所在直線方程為 yt23一,與直線AB的解析式y(tǒng)=- x + 6聯(lián)立,64一 ，72 2t2得點(diǎn)