第05章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算PPT課件

1、1支座B下沉CVCABCC溫度變化C1t2tABCC12ttCVCH剛架受荷載作用ABCPFCVCCHC桁架受荷載作用APFBVBCBHB(1) 絕對位移第1頁/共113頁2（2） 廣義位移 通常把兩個截面的相對水平位移、相對豎向位移以及相對轉(zhuǎn)角叫做廣義位移。絕對位移分為：22CVCHC A、B截面相對豎向位移BVAV A、B截面豎向位移之和BVAVPFAVBVAB(a) 絕對線位移C (CH ， CV) 絕對角位移C第2頁/共113頁3ABHAHBH qABAHBH A、B截面相對水平位移(b)ABAVBV ABPFAVBV A、B截面相對豎向位移(c)(d)PFA 為A左、右截面相對轉(zhuǎn)角第

2、3頁/共113頁4(e)AVBVABlAlBAVBV 為AB桿轉(zhuǎn)角AB廣義位移：相對線位移和相對角位移和桿的轉(zhuǎn)動。 為A、B兩點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)角AB 為A、B兩點(diǎn)的相對水平位移ABHBHAHABHBAAB(f) B ABABFP1FP2 A AH BH第4頁/共113頁5二、位移計(jì)算的目的二、位移計(jì)算的目的1、驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度次梁跨中撓度11()200300l注：注：在梁中，在梁中，一般水平位一般水平位移，與豎向移，與豎向位移相比較位移相比較小，通?？尚。ǔ？珊雎圆挥?jì)，忽略不計(jì)，故一般只求故一般只求豎向位移，豎向位移，就是通常所就是通常所說 的說 的 “ 撓撓度度”。即：驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的

3、位移限值。1400l主梁跨中撓度11()200300l樓蓋跨中撓度11()500600l吊車梁跨中撓度第5頁/共113頁62、為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計(jì)算準(zhǔn)備條件求解超靜定結(jié)構(gòu)時，只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解，還要補(bǔ)充位移條件。12kN7.5kNm9kNm2m2mABkNFyB75. 3如右圖示超靜定單跨梁，若只滿足平衡條件，內(nèi)力可以有無窮多組解答，例如 可以取任意值。yBFkNFyB75. 3當(dāng)B點(diǎn)的豎向位移為0時第6頁/共113頁7三、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算(1) 在靜定結(jié)構(gòu)中，支座移動時并不引起內(nèi)力，也不引起應(yīng)變。因此，支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問題都是剛體體系的位移

4、計(jì)算問題，因而可用剛體體系虛功原理來求解。(2) 應(yīng)用單位荷載法求不同的位移時，應(yīng)當(dāng)選擇不同的單位荷載。虛設(shè)單位荷載的目的是希望在虛功方程中只包含擬求的未知位移。因此，虛設(shè)的單位荷載應(yīng)當(dāng)正好是與擬求位移相應(yīng)的單位荷載。第7頁/共113頁8也就是說，這個單位荷載所作的虛功在數(shù)值上應(yīng)當(dāng)正好等于擬求的位移。 CH CV CC c ACAAABC圖 (a)舉例：圖a所示剛架，各桿的長度為l，支座A產(chǎn)生位移，下移CA，順時針轉(zhuǎn)動為A。 求：B點(diǎn)的水平位移BH 、C點(diǎn)的豎向位移CV和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角C。解：(1)求B點(diǎn)的水平位移BH(如圖b)：第8頁/共113頁9 根據(jù)擬求位移BH 在B點(diǎn)虛設(shè)水平單位荷載FP=

5、1 可求出支座A的支座反力為 列虛功方程 求出 BH01yAxAAFFMl 、ABFP=1C(b)AMxAFyAFCABFP=1(c)AMxAFyAF10BHyAAAAFCM ()RKKyAAAAFCFCM ()BHyAAAAAFCMl (2) 同理可求CV (如圖c)( )CVAACl 第9頁/共113頁10(3) 同理可求C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角C (如圖d)C =A (剛體轉(zhuǎn)動) ( )可以看出:結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動皆為A ，即剛體是整體轉(zhuǎn)動的。分析可知：虛設(shè)單位荷載時，應(yīng)該是單位集中力在相應(yīng)的線位移上做虛功，單位集中力偶在相應(yīng)的角位移上做虛功。這樣才能為虛設(shè)的單位力系提供方便。CABFP=1AMxAF

6、yAF(d)第10頁/共113頁11支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算的步驟：(2) 令虛設(shè)單位力系FP=1在實(shí)際位移狀態(tài)上做功，列出虛功方程：(1) 沿?cái)M求位移方向(雙向)虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載FP=1，并求出FP=1 作用下的支座反力 。RKF 擬求位移，是廣義位移；10RKKFC 單位荷載下對應(yīng) 的支座反力。RKFKC 實(shí)際位移狀態(tài)的支座沉陷量；KC第11頁/共113頁12(3) 解出擬求位移：注意：當(dāng)為正時，說明實(shí)際位移方向與FP=1指向相同，為負(fù)時則相反。 是代數(shù)和， 乘積為兩者方向一致時為正，反之為負(fù)。RKKFC RKKFC RKKFC 第12頁/共113頁135-2 5-2 變形體虛功原理

7、及位移變形體虛功原理及位移計(jì)算一般公式計(jì)算一般公式一、 變形體虛功原理 定義：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應(yīng)力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi ，即W=Wi 。第13頁/共113頁14下面討論W及Wi 的具體表達(dá)式。條件：(1) 存在兩種狀態(tài)：第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第二狀態(tài)為給定位移及變形。兩種狀態(tài)彼此無關(guān)。 (2) 力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。(3) 上述虛功原理適用于彈性和非彈性結(jié)構(gòu)。第14頁/共113頁15ds1C2C( ) s123第二狀態(tài)（給定位移和變形）ds

8、ddsdsdsdds0dds0dQFQFNFNFsdMM1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）第15頁/共113頁161122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq ss dsFFFF CF CWq ss dsFF C 外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF dM dsFdsF dsMFFds整根桿件的內(nèi)虛功為：0()iiQNWdWMFFds第16頁/共113頁17根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq ss dsFFCMFFds 結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，

9、則對全部桿件求總和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq ss dsFF CMFFds 第17頁/共113頁18小結(jié)： (1) 只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。(2) 上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。(3) 考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。第18頁/共113頁19變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設(shè)平衡力系求位移; 虛位移原理：虛設(shè)位移求未知力。用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。 二、位移計(jì)算的一般公式二、位移計(jì)算的一

10、般公式01()RKKQNKF CMFFds所以0()QNRKKKMFFdsF C在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載 ，則虛功方程為 ：=1PF第19頁/共113頁20下面以圖示剛架為例對位移計(jì)算的一般公式加以具體說明。 1、欲求 ，則在C點(diǎn)加上豎向單位載荷 ，則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。CV1PF 虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BC1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RF給定位移、變形ABCPFCVCCHC第20頁/共113頁21ABC1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RF欲求C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 ：C虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BC1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RF欲求C點(diǎn)的水平位移 CH給定位移

11、、變形ABCPFCVCCHC第21頁/共113頁222、位移計(jì)算一般公式3、 小結(jié)當(dāng)無支座位移時，該項(xiàng)為零。1CVRKKKWFC 外力虛功 0()iQNWMFFds內(nèi)虛功0()CVQNRKKKMFFdsF C所求位移CV給定的位移和變形。力和位移無關(guān)。1PF 012dsdsdsCC、及QNRKM FFF、 、 、(1) 單位載荷 在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力，第22頁/共113頁23(3) 外力虛功 這一項(xiàng)前取正號。若求得=1CVW的 ，則 與 同向；若求得的 ， 0CVCVPF0CV則 與 反向。CVPF(2) 正負(fù)號規(guī)則：Mdds若 及 使桿件同側(cè)纖維伸長，則乘積為正，反之為負(fù)；0QFds

12、NFdsQF0NF乘積 及 的正負(fù)號分別由力與應(yīng)變的正負(fù)號確定。 使隔離體產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)， 以順時針方向?yàn)檎?，反之為?fù)； 以拉力為正，壓力為負(fù)， 以拉應(yīng)變?yōu)檎瑝簯?yīng)變?yōu)樨?fù)；RKFKCRKKF C若 與 同向，則乘積 為正，反之為負(fù)。第23頁/共113頁24(4) 根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設(shè)相應(yīng)的單位載荷。圖示單位荷載分別求位移 。CHCVC、ABC111(5) 求位移步驟如下： 沿?cái)M求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷； 求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力； 利用位移計(jì)算一般公式求位移。 注意：虛設(shè)單位力系，一次只能施加一個單位荷載。第24頁/共113頁25例5-2-1 已知桿AB和

13、BC在B處有折角 (見圖a)，求B截面下垂距離 。給定位移解：(1) 將制造誤差明確為剛體位移，即在B截面加鉸，見圖b)。(a)ABCl/32l/3ABCl/32l/3(b)第25頁/共113頁26NoImage2()09l l92(2) 虛設(shè)平衡力系如圖c所示。運(yùn)用虛功方程W=0得：22()099ll 虛設(shè)平衡力系(c)1/3ABCl/32l/32/312l/9給定位移(b)ABCl/32l/3第26頁/共113頁27例5-2-2 圖示簡支梁，已知在B左、右截面有豎向相對錯動 (見圖a) ，求 。ABCl/32l/3(a)BABCl/32l/312(b)12給定位移解： (1) 將制造誤差明

14、確為剛體位移，將截面B變?yōu)榛瑒勇?lián)結(jié)，見圖 b。第27頁/共113頁28(2) 虛設(shè)平衡力系如圖c所示 。由虛功方程W=0得：12121111()01()0llll 12()(c) 虛設(shè)平衡力系1/lABCl/32l/311/l1/l1/l(b)12給定位移BABCl/32l/312第28頁/共113頁29例5-2-3 已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度 。解：虛設(shè)平衡力系如圖所示，運(yùn)用變形體虛功方程得：iWW21111248CCCAAAllM dMdxMdxlRRRR 給定位移ABCRl/2l/2虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BCl/2l/2l/41/21/21第29頁/共113頁30三、廣義位移的計(jì)算三、廣

15、義位移的計(jì)算求圖a結(jié)構(gòu)A、B截面相對水平位移 。ABHAHBH (a) 給定位移qABAHBH,0 ,(b)AB1NQFFM,1+(c) 虛設(shè)單位荷載1AB1111,NQFFM(d) 虛設(shè)單位荷載2AB1222,NQFFM=第30頁/共113頁31虛設(shè)單位載荷如上頁圖(c)、(d)所示。1101AHQNMdsFdsFds2202BHQNMdsFdsFds1212012 =+=()()()ABAHBHQQNNMMdsFFdsFFds由上圖(b)可得：121212QQQNNNMMMFFFFFF所以得：0ABQNM dsFdsFds第31頁/共113頁32 所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在該

16、兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應(yīng)的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：11單位荷載(1)q求CCABC求C鉸兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角C第32頁/共113頁33AB1/l1/l單位荷載（力偶矩）ABlAVBV求AB+)/l=(AVBVAB(2)AB11求AV+BV(A、B截面豎向位移之和）1AB求AV -BV1(A、B截面相對豎向位移）ABFPAVBV原結(jié)構(gòu)(3)第33頁/共113頁34例5-2-4 因溫度變化底板AB彎曲成半徑R=10m之圓弧狀，求截面C、D的相對水平位移 。CD給定位移CR=10mD0.7mAB2m虛設(shè)平衡力系CD0.7AB110.7M 解：在截面C、

17、D上加一對大小相等 、方向相反、沿水平方向的單位荷載如圖所示。第34頁/共113頁35111=0.72=0.14 ()1010CDBAMdMdxRMdxm注意：AC、BD桿無彎曲變形。第35頁/共113頁365-3 支座移動和溫度變化時的支座移動和溫度變化時的位移計(jì)算位移計(jì)算一、支座移動時的位移計(jì)算說明：(1) 右邊的負(fù)號是公式推導(dǎo)而得出，不能去掉。(2) 若 與 方向相同，則乘積 為正，反之為負(fù)。RKFKCRKKF CRKKKFC 若靜定結(jié)構(gòu)只有支座移動而無其他因素作用，則結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生剛體位移而無變形，故對于桿件的任意微段，應(yīng)變、0、均為零。所以支座移動時的位移計(jì)算公式為：第36頁/共113頁

18、37例5-3-1 已知剛架支座B右移a，求CV、DH、C。(1) 求CV()( )44CVddaahh CABhd/2d/2aD求CVCAB1d/4hd/4h1/21/2D解： (計(jì)算出 可用公式直接計(jì)算)RKF第37頁/共113頁38CADB11/21/2h/dh/d求DHd/2d/2(2) 求DH1()()22DHaa CADB1/h1/h00求Cd/2d/211(3) 求C1()()CaahhCABhd/2d/2aD第38頁/共113頁39對于靜定結(jié)構(gòu)來講：溫度改變產(chǎn)生變形和位移，不引起內(nèi)力，變形和位移是由材料的自由膨脹和收縮產(chǎn)生。大跨度結(jié)構(gòu)要重視溫度變化產(chǎn)生的影響，因?yàn)榇藭r由于溫度變化

19、引起的位移值較大。二、溫度變化時的位移計(jì)算即：靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。第39頁/共113頁401、t1、t2是溫度改變值，而非某時刻的溫度。某時刻溫度C10C10另一時刻溫度C25C35t1,t2是溫度改變值Ct1510251Ct2510352 2、 溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。h1h2ht1t2t2 - t1dt截面上、下邊緣溫差：21-ttt 桿軸線處溫度改變值t0：hb第40頁/共113頁41101121(- )httdtttth11 21 11 211-( -)=hthththtt h hhh1 22 1=hth th對于矩形截面桿件， ， 。

20、12/2hhh012()/2ttt在溫度變化的情況下，桿件不引起剪應(yīng)變，引起軸向應(yīng)變和曲率。即：總變形是由軸向變形和彎曲變形共同形成的。亦即是說：t0引起軸向變形，t引起彎曲變形。h1h2ht1t2t2 - t1dt第41頁/共113頁423. 微段ds的應(yīng)變拉應(yīng)變00t dstds彎曲應(yīng)變21-1t dst dsdtdsdshh21ttt 4. 位移計(jì)算公式NM dsFds 0=NtMdsFt dsh0NtMdstF dsh熱膨脹系數(shù)，量綱是溫度每升高或降低一度桿件單位長度的伸縮量。剪應(yīng)變00h1h2ht1t2dsdst1dst2dst0第42頁/共113頁43小結(jié)：(1) 正負(fù)號規(guī)則： 及

21、溫度變化使桿件同一側(cè)纖維伸長(彎曲方向相同)，則乘積 為正，反之為負(fù)。MtMdsh(2)21ttt 0NMFtth 式中： 為 圖某桿的彎矩圖(軸力圖)的面積。M NF M NFNFt0以溫度升高為正，降低為負(fù)， 以拉力為正，壓力為負(fù)。第43頁/共113頁44例5-3-2 求圖示剛架C截面水平位移CH。已知桿件線膨脹系數(shù)為，桿件矩形橫截面高為h。o120=52tttCo=10-0=10tCCABddCt01Ct1021CAB dd圖MCAB圖NF1NF1NF解：(1) 在C點(diǎn)施加水平單位荷載，作 和 圖。NFM第44頁/共113頁45002105210(1)()NCHNMFtMdstF dsh

22、tthddddhh (2) 利用公式計(jì)算C點(diǎn)的水平位移22122MMdsdd2 12NNFF dsdd 第45頁/共113頁465-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算算一、 基本公式求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下D點(diǎn)的位移。給定位移、變形FPCABqD,0 ,DH,DV,D(MP,FQP,FNP)DCABDNQFFM,FP=1虛設(shè)平衡力系DV求第46頁/共113頁470()QNMFFds 若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計(jì)算一般公式為：PMEI0QPkFGANPFEA上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。QPNPPQNkFFMMdsFdsFdsEIGA

23、EA QQPNNPPkF FF FMMdsdsdsEIGAEA 在荷載作用下，應(yīng)變、0、與內(nèi)力MP、FQP、FNP的關(guān)系式如下：(式中k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù))材力結(jié)果第47頁/共113頁48正負(fù)號規(guī)則：正MMP正MMP負(fù)MMPQFQFQFQF(1) 不規(guī)定M和MP的正負(fù)號，只規(guī)定乘積MMP的正負(fù)號。 若M和MP使桿件同一側(cè)纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負(fù)；(2) FN和FNP以拉力為正，壓力為負(fù)；(3) FQ和FQP的正負(fù)號見下圖。第48頁/共113頁49 若結(jié)構(gòu)除荷載外，還有支座移動和溫度變化，則位移計(jì)算公式為：0( )QQPNNPPRKKNKkF FF FMMdsdsdsEIGAEAtF

24、CMdstF dsh 二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1、梁和剛架 在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計(jì)算公式為：=PMMdsEI第49頁/共113頁50 在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。對于深梁，即h/l較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。2、桁架 桁架各桿只有軸力，所以位移計(jì)算公式為：=NNPF FdsEANNPNNPF FF F ldsEAEAlds3、組合結(jié)構(gòu)NNPPF F lMMdsEIEA 用于彎曲桿用于二力桿第50頁/共113頁514、拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：式中： 實(shí)際荷載引起的內(nèi)

25、力；QPNPPFFM、 虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力。QNFFM、特別注意：截面形式截面形式系數(shù)系數(shù)k矩形矩形6/5圓形圓形10/9薄壁圓環(huán)形薄壁圓環(huán)形2工字形或箱形工字形或箱形A/A1(A1為腹板面積為腹板面積)*第51頁/共113頁52彈性支座是支座本身會產(chǎn)生彈性變形，且支座反力與其變形的大小成正比的支座。其比例系數(shù)k稱為剛度系數(shù)。剛度系數(shù)k在數(shù)值上等于使支座產(chǎn)生單位位移(線位移或角位移)時所需施加的力(集中力或力偶)。三、具有彈性支座的靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算1k 稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。彈性支座有兩種類型，一種是拉壓彈簧支座，另一種是轉(zhuǎn)動彈簧支座，見下頁圖。第52頁/共113頁531k1

26、k具有彈性支座結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算原理和方法，與無彈性支座的結(jié)構(gòu)是相同的(單位荷載法)，只要在位移計(jì)算公式的右邊增加一項(xiàng)虛擬狀態(tài)的彈性支座反力在實(shí)際狀態(tài)的彈性支座位移 上所做的虛功即可。對于具有彈性支座的梁和剛架，在荷載作用下的位移為RKFRPFkPRPRKKMMFdsFEIk 式中：FRP實(shí)際狀態(tài)中彈性支座的反力；k彈性支座的剛度系數(shù)?！?”為什么？第53頁/共113頁54例5-4-1 求簡支梁中點(diǎn)豎向位移CV，并討論剪切變形對位移的影響。EI=常數(shù)qxAMPFQPql/2xAMQF1/2ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/2如果 與 的方向相同，則乘積 為正，否則為負(fù)。RKFRPFRPR

27、KFFkMPM解：注意 和 規(guī)定同側(cè)受拉為正。第54頁/共113頁55qxAMPFQPql/2xAMQF1/2CVCQCM 1()(0)21(0)2PQPMqx lxxlFqlqxxl1(02)21(02)2QMxxlFxl/2/223004341112()()222115( )( ) ( )23242384llCMqxqx lx dxlxx dxEIEIqllqllEIEI 第55頁/共113頁56/2/200221112()()2221( )( ) ( )22228llCQkkqqlqx dxlx dxGAGAkqlllkqlGAGA若桿件截面為矩形，查表可得k=1.2；若有=1/3，則E

28、/G=2(1+)=8/3，I/A=h2/12 。222242)(56. 21123852.111408 .460538482 . 1lhlhlAIGEqlEIGAqlCMCQ若h/l=1/10，則%56. 2CMCQ若h/l=1/2，則%64CMCQ此時，剪切變形的影響不能忽略。第56頁/共113頁57例5-4-2 求圖示梁A端的豎向位移，梁的抗彎剛度為EI=常數(shù)。設(shè)梁的截面為矩形。(a)BAqlx(b)BAx1PF解：先求實(shí)際荷載作用下的彎矩MP，再求虛設(shè)單位荷載作用下的彎矩。取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，任意截面x的彎矩為：實(shí)際荷載212PMqx 虛設(shè)單位荷載Mx 第57頁/共113頁58彎曲變形引起

29、的位移為：關(guān)鍵：在寫彎矩表達(dá)式時，注意坐標(biāo)取向必須一致，兩種狀態(tài)下規(guī)定同側(cè)受拉為正。2401()()2( )8lPxqxMMqldsdxEIEIEI lM 圖MP 圖22ql實(shí)際用不到這兩個圖！第58頁/共113頁59例5-4-3 求圖示剛架C點(diǎn)的豎向位移CV 和角位移C ，EI=常數(shù)。ABqCxxaa解：1、求CV (1) 虛設(shè)單位力系，如圖b。FP=1AB(b)Cxx(2) 寫出各桿的彎矩方程BC桿桿：212PMqxMx BA桿桿：212PMqaMa 注意：坐標(biāo)原點(diǎn)的選取應(yīng)使M、MP 一致，且以內(nèi)側(cè)受拉為正。第59頁/共113頁60(3) 代入公式計(jì)算2、求C (與前面的步驟相同)FP=1

30、AB(c)Cxx45( )8PCVMMqadsEIEI BC桿：2112PMqxM AB桿：2112PMqaM 求得： 32()3PCMMqadsEIEI 第60頁/共113頁61例5-4-4 求圖示桁架C點(diǎn)的豎向位移CV，各桿EA相同。解：(1) 虛設(shè)單位力系(3) 計(jì)算位移(a)ABdddddCFPFPFNP 圖00FPFP-FPPF2PF2BCFP=1(b)A-1222222222121圖NF(2) 求 (并將結(jié)果標(biāo)在相應(yīng)圖中)NNPFF 、第61頁/共113頁6212(2)()2221()( 1) 2(2 ) 226.83( )NNPCVPPPPF FlFdEAEAFdFdF dEA

31、計(jì)算時需注意的是：不要忘記乘以桿長。(a)ABdddddCFPFPFNP 圖00FPFP-FPPF2PF2BCFP=1(b)A-1222222222121圖NF第62頁/共113頁63例5-4-5 在例5-5-4中求CD桿的轉(zhuǎn)動角度。解：關(guān)鍵是虛設(shè)單位力系，在C、D兩點(diǎn)施加垂直CD桿的一對大小相等方向相反的集中力( )形成單位力偶矩 。計(jì)算 ，可求得 ( )。12d1mEAFPCDNFDBC(c)A 圖NFdFP21d42dFP21d2/1d4/1d4/1d42d42第63頁/共113頁645-5 圖乘法圖乘法當(dāng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜或結(jié)構(gòu)受力相對復(fù)雜時，用積分法計(jì)算工作量是相當(dāng)大的。圖乘法是一種求積分的簡

32、化方法，它把求積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標(biāo)的乘積的運(yùn)算。一、圖乘法基本公式為方便討論，把積分 改寫成 。dsEIMMPdsEIMMki設(shè)有 兩個彎矩圖，現(xiàn)在看兩圖的圖乘結(jié)果，即可獲得圖乘法的基本公式。KiMM 、第64頁/共113頁65BikAM MdxEI ()EIconst()kM d xd()iMxtg0()BAxdx 00()x tgy yxMk圖d=MkdxMk(x)xx0dxABMi圖yxMi(x)=xtgxx0ABy01BikAM M dxEI 1BiAM dEI 1BAxtgdEI 1BAtgxdEI 01x tgEI 01yEI 第65頁/共113頁66(1) 圖乘

33、法的適用條件：AB桿為等截面直桿，即EI等于常數(shù)；Mi與Mk圖形中有一個是直線圖形。(2) y0與的取值： y0一定取自直線圖形，則取自另一個圖形，且取圖形的形心位置對應(yīng)的直線圖的標(biāo)距為y0。(3) 若y0與在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積y0取正號；若y0與不在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積y0取負(fù)號。對桿系結(jié)構(gòu)每根桿件求和有：0PyMMdsEIEI 公式說明：第66頁/共113頁67二、二、 常見圖形的幾何性質(zhì)常見圖形的幾何性質(zhì)l/2l/2二次拋物線h23lh二次拋物線3l/4l/4hlh315l/83l/8二次拋物線hlh32注意拋物線的頂點(diǎn)書中的三角形比較簡單書中的三次和n次拋物線的頂點(diǎn)第67

34、頁/共113頁68以上給出了位移計(jì)算中幾種常見圖形的面積和形心的位置。在應(yīng)用拋物線圖形圖乘時，必須注意在頂點(diǎn)處的切線應(yīng)與基線平行。三、圖乘技巧與特殊問題的處理1、若兩個互乘的圖形都是直線圖，則標(biāo)距y0 可取自任一圖。 y0MP圖y0 M 圖第68頁/共113頁692、若一個圖形是曲線圖，另一個圖形是折線圖，則應(yīng)分段計(jì)算(以轉(zhuǎn)折點(diǎn)為分段點(diǎn)) 。DBCDPPPPAABCMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABCDABCDMPM 分段 圖均應(yīng)分為對應(yīng)的若干段，然后進(jìn)行計(jì)算。PMM、分別利用圖乘公式注意：如果AB、CD段是拋物線時還要分塊圖乘。第69頁/共113頁703、若兩個圖形都是梯形

35、，可以不求梯形面積的形心，而把其中一個梯形分為兩個三角形(見紅線)或一個矩形和一個三角形(見藍(lán)線)(另一個不分塊)，分別應(yīng)用圖乘法。其中標(biāo)距y1和y2可用下式計(jì)算：cadbM 圖Mp圖 1 2y1y2)(112211yyEIyEIdsEIMMiiPdcydcy3231313221第70頁/共113頁714、若直線圖中具有正負(fù)號部分時，圖乘時可將其中一個圖形看作底相同、高分別為a和b的兩個三角形。y2 1 2y1cabd M 圖MP圖)(112211yyEIyEIdsEIMMiiP其中標(biāo)距y1和y2可用下式計(jì)算：1221331233ycdycd 12/2/2albl ，第71頁/共113頁72注

36、意：正負(fù)號部分是指彎矩圖沿桿出現(xiàn)不同側(cè)受拉現(xiàn)象。可以證明：三角形補(bǔ)齊的面積，上下兩部分相等，且其形心位于同一豎線上，不影響計(jì)算結(jié)果。5、當(dāng)M圖為疊加圖時，圖乘時可以分解分別圖乘，但需注意、y0 的異同側(cè)(注意疊加時的新基線)。ABABMMP1MP2分塊(解) 只對 或 中的一個圖形進(jìn)行分塊，另一個圖形不分塊。(一般分解 )PMMPM第72頁/共113頁731212()BBBBPPPPPAAAAMMM MMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEI分塊后分別圖乘左圖受荷簡支梁即有如上彎矩圖。將 圖分解為 和 圖分別與 圖進(jìn)行圖乘，然后相加，即得原結(jié)果。 PMPM PM M=+8/2ql8/2qlA

37、MBMAMBMPMPM PM lAMBMq第73頁/共113頁74四、 圖乘法舉例6、若圖乘計(jì)算時，積分桿件具有突變截面，則應(yīng)分段圖乘計(jì)算。且要注意各段抗彎剛度EI的值。7、若桿件為小曲率曲桿時，也可以使用圖乘法。例5-5-1 圖a所示懸臂梁，求A點(diǎn)的豎向位移AV。FPCBEI1EI2A(a)解：1、構(gòu)造單位荷載力系(圖b)。ACBEI1EI2FP=1(b)第74頁/共113頁752、作 圖和 圖，如圖c、d所示。MPM分段： ， 分為AC、CB兩段。分塊： 圖的CB段分為兩塊。MPMM1122331211()AVyyyEIEI3、圖乘計(jì)算MPFPCBy1y2y3EI1EI2A(d)MACBE

38、I1EI21231(c)第75頁/共113頁76此題還可以這樣處理：先認(rèn)為整個AB桿的剛度是EI2，再加上剛度為EI1的AC段，再減去剛度為EI2的AC段即可。112222212111AVyyyEIEIEICBACACA122MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACMEI2EI2EI1EI2y2y2+-y11第76頁/共113頁7716A4CB1MPy2例5-5-2 求CV， EI等于常數(shù)。1242 133 212 222 11y 12336) 4311632(2yACB2m2m2kN/mA1CB2M2y1注意：兩直線圖圖乘的技巧112211422.67()(12 12)( )3CV

39、yyEIEIEI 解：作M圖MP圖，如右圖所示。分段： M、MP分為AC、CB兩段。分塊： MP圖的AC段分為兩塊。第77頁/共113頁78 若將AC段的MP圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。 16A4CPM圖例5-5-3 求B，EI等于常數(shù)。4kN5kN2kN/m12kNm4kNm7kN4m4mACB4kNm4kN2kN/m2mAC作M圖和MP圖，如下頁圖所示。解：第78頁/共113頁79118 142 21/2y 12120(412)333y 32324433 313(1 1/2)24y 1/21My21y3圖1BAC2116 8642 11223311201323()(464)3234180

40、40( 328)33ByyyEIEIEIEI （）MP圖（kNm)32161244y1ACB8注意該圖的分解和圖乘第79頁/共113頁80例5-5-4 求B，EI等于常數(shù)。6kN/m7kN6kNm17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y1M圖2yPM圖1412613（kNm)注意：y2的計(jì)算解： 作M圖及MP圖，如右所示。分段：M，MP分為AB、BC兩段。分塊：MP圖的BC段分為兩塊。第80頁/共113頁813324 1232313y 1122331()124221( 1432)933315617.33()9ByyyEIEIEIEI1/61/62/31/312y3y1M圖2yP

41、M圖1412613（kNm)2212421224146233333y 1112122 14142339y 第81頁/共113頁82例5-5-5 求圖示梁中點(diǎn)的撓度CV，已知EI=104 5kNm2。* 1 2181.5(c)MP 圖、圖乘計(jì)算。2m2mABC(a)kNFP12mkNq/3(b)M 圖1y1y21/22/31PF解：、虛設(shè)單位力系(b)；、作 圖；PMM、因直線圖是折線圖，應(yīng)分段圖乘，MP 圖是疊加圖分為兩部分1 和2 。第82頁/共113頁83= =3/2181822111y = =2/125 . 123222y ( ) = =+= -mmmEIyyEICV52. 01052.

42、 026)(232211 該題容易出的錯誤是：MP 圖作出后，將C點(diǎn)作為全拋物線的頂點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。值得提出的是：分塊后2 是一具有頂點(diǎn)的全拋物線，頂點(diǎn)是在其中點(diǎn)處。需指出的是：頂點(diǎn)的切線平行于基線(此時新的基線是MP圖的疊加線)；不具有頂點(diǎn)的拋物線，其面積和形心的公式不能應(yīng)用。第83頁/共113頁844、 討論： 當(dāng)只有均布荷載q，沒有集中力作用時，MP 圖是在C點(diǎn)具有頂點(diǎn)的全拋物線，圖乘時為一個三角形和一個拋物線相乘。其結(jié)果為CV =10/EI。8/58623211y)(10)(211EIyEICV* 16MP 圖mkNq/3M 圖1y15/81PF第84頁/共113頁856MP 圖* 2 1

43、1.5注意：圖乘符號。 當(dāng)C點(diǎn)的集中力向上作用時，計(jì)算CV，此時 圖不變。M1112 6622/3y 11222()2( 41)0.12( )CVyyEImmEI 2222 1.5231/2y FP=12kN2m2mmkNq/3M 圖1y1y21/22/31PF第85頁/共113頁86另外，如果考慮到MP 圖的拋物線，因支反力為零，則在支座處是拋物線的頂點(diǎn)，可直接圖乘。6MP 圖* 1結(jié)果與前相同，但計(jì)算要簡單一些。 對于原題，可將原荷載進(jìn)行分解，分別考慮簡支梁在荷載FP=12kN及q=3kN/m作用下C點(diǎn)的撓度，然后疊加也可以，但是，一般不這樣做。1112 6433/4y 1126()CVy

44、EIEI M 圖1y13/41PF第86頁/共113頁87例5-5-6 圖a所示為懸臂梁，在A點(diǎn)作用荷載FP，求中點(diǎn)C的撓度C 。(a)CABFPlFPl/6l/2l/2MP 圖y0(b)l/21l/2l/2l/6CABM 圖 解：作出MP和 圖，圖乘計(jì)算有：M形心與右端的距離為l/6。討論：現(xiàn)在用另一種方式進(jìn)行圖乘。212228lll 056PF ly EIlFlFlEIyEIPPC485)658(11320第87頁/共113頁88l/21CABM 圖CABFPlFPl/3MP 圖 這種算法錯在哪里？圖乘運(yùn)算時，y0必須取自直線圖，但這里的 圖是折線圖，而不是直線圖，這是一種常見錯誤。M在

45、MP圖中22121lFllFPPM在 圖中6/0ly )(12)62(11320EIlFllFEIyEIPPC第88頁/共113頁89例5-5-7 求圖a所示三鉸剛架C鉸兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角C，EI=常數(shù)。qll/2C(a)l/2CFP=1FP=1(b)l/2l/2解：1、虛設(shè)單位力系(圖b)，在C點(diǎn)兩側(cè)施加一對方向相反的單位力偶。2、作出MP 、 圖(圖c、d)；M第89頁/共113頁90CMP 圖(c)ql2/8ql2/8C1111M 圖(d)3、圖乘計(jì)算。本題特點(diǎn)：C點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)。22321211()2833828CqlqllqllEIEI 第90頁/共113頁91例5-5-8 求CH

46、，EI等于常數(shù)。ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m解：作MP圖和 圖見下頁圖。分塊：MP圖的AB段分為兩塊。M第91頁/共113頁921122331832 421.533412 48(124)422324 4233yyy 1122331()1832(1.58 42)336.67()CHyyyEIEIEI 43y2=4121MP圖(kNm)2m2y32y1M圖12ABC4書中其他例題自學(xué)，注意圖乘方式第92頁/共113頁93例5-5-9 求圖示結(jié)構(gòu)A點(diǎn)的水平位移AH。已知：各桿EI=常數(shù)。123224,EIEIkkll。k1lqABCDk2l(a)彈性支座結(jié)構(gòu)，根據(jù)前述公式可求得A點(diǎn)的水

47、平位移為PRPAHRKKMMFdsFEIk 解：分別求出實(shí)際狀態(tài)中彈性支座的反力FRP和虛擬狀態(tài)中相應(yīng)的支座反力FRK，并做出MP圖和M圖。見圖(b)和圖(c)。第93頁/共113頁942222412111311212324223231121()12AHlqlllqlllqllEIqlqlqllkkEI (b) 圖,PRPMF22ql2ql2ql2qlAB(c) 圖,RKMF1ll1AB第94頁/共113頁95也可以轉(zhuǎn)換為等效支座移動問題來計(jì)算。412( )4AVqlqlkEI232()24BqlqlkEI qABCD(d) AV BPAHRKKKMMdsFCEI 22243411131121

48、23242232311( 1)()()42412lqlllqlllqllEIqlqlqllEIEIEI 在荷載作用下，A點(diǎn)將產(chǎn)生豎向位移AV，截面B將產(chǎn)生轉(zhuǎn)角B，分別為第95頁/共113頁965-6 5-6 互等定理互等定理 互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、 功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。PbFPaFQFMNF狀態(tài)IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF狀態(tài)I第96頁/共113頁97120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA Md

49、sdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：PbFPaFQFMNF狀態(tài)IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF狀態(tài)I第97頁/共113頁98同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA PPFF 即：1122PPPaaPbbFFFF 定理：在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。所以1221WW 第98頁/共113頁991221WW即：例5-6-1 同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，驗(yàn)證功的互等定理。FPlAB()BEIlFPB22mlAB()EImlB22BEImlFFWPBP2212EIlmFmWPB2221有：2112WW即BBPmF第99頁/共113頁100二、 位移互等定理狀態(tài)II2PF122212狀態(tài)I1PF122111212121PPFF由功的互等定理可得：在線性變形體系中，位移ij與力FPj的比值是一個常數(shù)，稱為位移影響系數(shù)，記作ij，即：ijijPjF 第100頁/共1