積化和差與和差化積教師版正式版

1、三角函數(shù)的積化和差與和差化積08.10.8一、教學(xué)目的：1, 了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解此組公式與兩角和差的正弦、 余弦公式的聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。2,掌握三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式，能正確運(yùn)用此公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的 化簡(jiǎn)、求值和恒等式的證明。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：掌握三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式，能正確運(yùn)用此公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化 簡(jiǎn)、求值和恒等式的證明。三、新課講解：（一）三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式1、公式的推導(dǎo)sin (ot + S ) = sin a cos P +cosa sin P ,(S0c+p) sin(a - S )= s

2、in acosP -cosasin P, (S/) cosot + P )= cosot cosPsin ot sin P, (C) cos a - P )= cosot cos P + sin ot sin P,(% B) (Sc)十(S0f乎)，(S弁 A(S)(Ca般)+(Ca4)，(C邳)TCo),得sin工，P 廣 sin 二 一 ：=2 sin 二 cos: sini :工 T4)sin =一：=2cos 二 sin : cos 二 ： cos =一：=2cos二 cos： cos 二 ：-cos : 一 ：二-2sin 二 sin :即 sin 二 cos : =1 sin :工

3、，F(xiàn) i，sin - - - 1< 1 -21 cos ：- sin ' 二 一 sin!:= 一 P). sin > - - I :二 221 cos ：- cos - 二 一 bosi ：工-P 廠 cos - - - I:二 32sin 二 sin : = - Los 二 ：- cos - - - I :二 42公式<1><2><3><4>叫做積化和差公式。其特點(diǎn)為：同名函數(shù)之積化為兩角和與差余弦的和（差）的一半，異名函數(shù)之積化為兩角 和與差正弦的和（差）的一半，等式左邊為單角a、3,等式右邊為它們的和差角。在積化和差的

4、公式中，如果“從右往左”看，實(shí)質(zhì)上就是和差化積。為了用起來(lái)方便，在 + 0A _ CD積化和差的公式中，如果令 a十P = e, aP=中，則a =P =匕:22把這些值代入積化和差的公式 <1>中，就有日+甲日甲sin - cos221 . =-sin n sin日一邛, cos2m8 +中二 sin 二 sin = 2sin2同樣可得,:6：.7 -8 8e + <p e -<psin 日 - sin 平=2 cos sin22日+平日一邛cos 9 + cos 邛=2 cos cos22e + <p e - <pcos 9 - cos邛=-2 sin

5、sin22公式<5><6><7><8>叫做和差化積公式。其特點(diǎn)為：同名函數(shù)的和或差才可化積；余弦的和或差化為同名函數(shù)之積；正弦的和或差化為異名函數(shù)之積；等式左邊為單角。與華，等式右邊為-一與上二 的形式。22牢記兩組公式的區(qū)別與聯(lián)系，才能正確使用之。2、明確公式是由兩角和與差的三角函數(shù)公式推導(dǎo)而得，進(jìn)一步明確三角函數(shù)中公式雖然多， 但都不是孤立的，另外，弄清公式的來(lái)源以及公式的內(nèi)在聯(lián)系，才能更好地記憶和使用它們。3、典例分析例1.把下列各式化為和差的形式。一、.二5(1) sin cos n1212(2) 2cos35o - sin55o(3)

6、cosx-y ) cos(x+y)分析：利用積化和差公式。5 解：(1)法 1： sin cosn12121 .3一 2 一 45552 5 二法 2 ： sin cos c = cos 冗- cosc = cos2 12121212125二 、.31 cos-二 1 一 cos-1/ c=6 二 6 二2_ =12 一2 一2-24(2) 2cos350 - sin55o-sin 35o 55o -sin 35o -55o二 sin90o sin20o=1 sin20o(3)法 1 ： cos(x -y pos(x +y )=cosxcosy sinx sin y cosx cosy - s

7、in xsin y22. 2. 2=cos x cos y -sin x sin y221 -cos2x 1-cos2y=cos x , cos y - 22_ 1 cos2x 1 cos2y 1 - cos2x 1 - cos2y一 22221cle=-cos2x -cos2 y22法 2： cos(x - y ) cosx +y)二2收山7 x y 1 coslx-y - x /1=2 Los2x cos.;,-2y 11cle=cos2x cos2y22點(diǎn)評(píng)：(1)牢記積化和差公式，才能正確使用。(2)如求sin- - sin近 的值，可不用積化和差公式，用二倍角公式即可求值，即88si

8、n 一83 二 sin =sin 一-12 cos = sin=8244例2.把下列各式化成積的形式。/、1（1） cosx 2(2)sinx cosx分析：只要將以上兩題稍作變形,，一 ，1如將（1）中換成2cos , (2)中 cosx 看作 sin(900 -x)即可直接應(yīng)用公式進(jìn)行化積?！?、1解：(1) cosx 2JI=cosx 一 cos3x-2 sin 一冗+ 3 .271x 一一3sin2-2 sin 十一 sin 6/<26 J(2)法 1： sinx + cosx = sinx+sin(900x)= 2sin45o , cosx-450 ) =2cosx -450法

9、 2： sinx + cosx = &'怔sinx 十a(chǎn)cosx22=222cosx 一<2sinx)1）中工化為cos,= w'2(cos450 , cosx + sin45o - sinx) =2 cos x -45o點(diǎn)評(píng)：（1）只有同名函數(shù)的和（或差）才能化為積的形式，因此題（(2)中 cosx 化為 sin(900 -x )。（2）對(duì)于型如asinx +bcosx ,可化為 Ja2 +b2 sin（x +中）也能達(dá)到和差化積的形式之目的。例3.求值：sin70 +cos150 . sin80（1） cos70 -sin 150 , sin80（2） sin

10、2 20o cos2 80o、3sin200 cos800分析：（1）中注意7與15。和8。的關(guān)系；（2）中最常見(jiàn)的想法是降哥擴(kuò)角及積化和差 的應(yīng)用，但對(duì)偶式的應(yīng)用可能使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單。解：（1）sin7o +cos15o , sin8oo ； o； 0ocos7 -sin15 sin 8o ooosin(15 -8 )+cos15 sin8 cos 15o -80 -sin15o sin8osin15o cos8o -cos15o sin8o cos15osin8o cos150 cos8o sin15o sin8o -sin15o sin8o sin15o cos8ocos15o cos8

11、osin15oTocos15u tan15o_ sin30o_ 1 cos30o1一2:22 2 - 3d 32.31 2(2)法 1： sin220o +cos2 800 + 13sin200 cos80o1 -cos40o21 cos160o+2.3 sin200 cos80o131 - cos160o - cos40o sin1000 - sin6003八 3= 1-sin100 , sin60 sin100 -一24=- - sin1000 sin1000422點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)變換的靈活性更多地體現(xiàn)在拆角的靈活性上，題（1）對(duì)這一點(diǎn)展現(xiàn)地淋漓盡致；（2）中法1屬常規(guī)方法，只要有扎實(shí)的基本

12、功就可以正確完成，而法2很巧妙的運(yùn)用了對(duì)偶式使解答變得簡(jiǎn)單且浪漫。這種方法也可以求型如 cos200 cos400 cos800的求值題，試一下是不是很巧妙?學(xué)習(xí)不是一朝一夕的事情，需要平時(shí)積累，需要平時(shí)的勤學(xué)苦練。有個(gè)故事：古希臘大哲學(xué)家蘇格拉底在開(kāi)學(xué)第一天對(duì)他的學(xué)生們說(shuō)：今今天你們只學(xué)一件最簡(jiǎn)單也是最容易的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩。”說(shuō)著，蘇格拉底示范做了一遍，“從今天開(kāi)始，每天做300下，大家能做到嗎？”學(xué)生們都笑了，這么簡(jiǎn)單的事，有什么做不到的？過(guò)了一個(gè)月，蘇格拉底問(wèn)學(xué)生：每天甩手300下，哪個(gè)同學(xué)堅(jiān)持了，有 90 %的學(xué)生驕傲的舉起了手，又過(guò)了一個(gè)月，蘇格拉底又問(wèn)

13、，這回，堅(jiān)持下來(lái)的學(xué)生只剩下了80后。一年過(guò)后，蘇格拉底再一次問(wèn)大家：“請(qǐng)告訴我，最簡(jiǎn)單的甩手運(yùn)動(dòng)。還有哪幾個(gè)同學(xué)堅(jiān)持了？”這時(shí)，整個(gè)教室里，只有一個(gè)人舉起了手，這個(gè)學(xué)生就是后來(lái)成為古希臘另一位大哲學(xué)家的柏拉圖。同學(xué)們，柏拉圖之所以能成為大哲學(xué)家，其中一個(gè)重要原因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優(yōu)秀品質(zhì)。要想成就一番事業(yè)，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動(dòng)天帝，移走太行、王屋二山。正是因?yàn)樗哂绣浂簧岬木?。戎馬一生，他前十次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時(shí)候，推翻了清王朝的統(tǒng)治，建立了中華民國(guó)。這些故事，情節(jié)不同，但意義都是一樣的，它告訴無(wú)們

14、，做事要有恒心。旬子講：“鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤。這句話充分說(shuō)明了一個(gè)人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒(méi)有恒心，再簡(jiǎn)單的事也做不成。學(xué)習(xí)是一條慢長(zhǎng)而艱苦的當(dāng)下市面上關(guān)于教授學(xué)習(xí)方法的書籍不少，其所載內(nèi)容也的確很有道理，然而道路，不能靠一時(shí)激情，也不是熬幾天幾夜就能學(xué)好的，必須養(yǎng)成平時(shí)努力學(xué)習(xí)的習(xí)慣。所以我說(shuō)：學(xué)習(xí)貴在堅(jiān)持！ 當(dāng)讀者實(shí)際應(yīng)用時(shí)，很多看似實(shí)用的方法用來(lái)效果卻并不明顯，之后的結(jié)果無(wú)非是兩種：要么認(rèn)為自己沒(méi)有掌握其精髓要領(lǐng)，要么抱怨那本書的華而不實(shí)，但最終肯定還是會(huì)回歸到當(dāng)初的原點(diǎn)。這本學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)在一開(kāi)始并沒(méi)有急于兜售自己的方法，而是通過(guò)測(cè)試讓讀者真正了解自己，從

15、而找到適合自己思維方式的學(xué)習(xí)方法，書的第一部分就是左腦還是右腦思維測(cè)試和視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)和動(dòng)覺(jué)學(xué)習(xí)模式測(cè)試，經(jīng)過(guò)有效分類后，針對(duì)不同讀者對(duì)不同思考和接收接受學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，有針對(duì)性的分別給出建議，從而不斷強(qiáng)化自己的優(yōu)勢(shì)。在其后書中的所有介紹具體學(xué)習(xí)方法章節(jié)的最開(kāi)始，都是按照不同學(xué)習(xí)模式給出各種學(xué)習(xí)方法不同的建議，這是此書區(qū)別于其他學(xué)習(xí)方法類書籍的最大特點(diǎn)，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，除了能夠得到最適合自己的有效的學(xué)習(xí)方法也能更深入的認(rèn)識(shí)客觀的自己，不論對(duì)學(xué)習(xí)還是生活都有幫助。除了“針對(duì)性”強(qiáng)外，本書第二大特點(diǎn)就是“全面”，全書都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者PPT課件

16、合集，每個(gè)學(xué)習(xí)方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節(jié)內(nèi)容安排的比較混亂，所幸每一章節(jié)關(guān)聯(lián)性并不太強(qiáng)，每個(gè)章節(jié)都適合獨(dú)立檢索來(lái)閱讀學(xué)習(xí)。其內(nèi)容從“時(shí)間規(guī)劃” 、 “筆記” “閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學(xué)習(xí)中的常遇問(wèn)題，文中文字精煉沒(méi)有過(guò)分的渲染，完全是純純的“干貨” ，可以設(shè)身處地的想象：當(dāng)自己面對(duì)學(xué)海之中手足無(wú)措之時(shí)，長(zhǎng)篇大論的方法肯定會(huì)無(wú)心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時(shí)間讓讀者得到最有用的信息，是一部值得學(xué)習(xí)的人們不斷自我提高的有力武器。曾經(jīng)看到一個(gè)有意思的心理測(cè)試 : 用“正確的方法” 、 “錯(cuò)誤的方法”和“積極的行為

17、” 、 “消極的行為” ，來(lái)自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結(jié)果， “正確方法”配合“積極的行為”無(wú)疑是最好的結(jié)果，然而我們會(huì)很“慣性”想當(dāng)然的認(rèn)為， “錯(cuò)誤的方法”和“消極的行為”搭配是最壞的結(jié)果，其實(shí)“錯(cuò)誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的結(jié)果，這會(huì)讓人在錯(cuò)誤的路上越走越遠(yuǎn)，學(xué)習(xí)也是同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會(huì)離成功越來(lái)越遠(yuǎn)，而好的學(xué)習(xí)方法加上積極的學(xué)習(xí)態(tài)度無(wú)疑會(huì)讓你如虎添翼。這是每個(gè)人都需要的，起碼在學(xué)生的時(shí)候如果遇到，或者人生會(huì)少一些遺憾，我只恨我遇見(jiàn)的晚了點(diǎn)，可是現(xiàn)在已是終身學(xué)習(xí)的年代，錯(cuò)過(guò)了最恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，但只要有心又怎會(huì)嫌晚呢？本書歸類為學(xué)習(xí)方

18、法-青年讀物，是本工具書，學(xué)習(xí)手冊(cè)，但不能阻止她成為經(jīng)典。這本書的副標(biāo)題為“增加學(xué)習(xí)技能與腦力” ，正是本書的宗旨，本書系統(tǒng)化地闡述了學(xué)習(xí)技能提升的各個(gè)方面，可謂事無(wú)巨細(xì)的令人發(fā)指啊。整體來(lái)講主要包括 7 個(gè)方面，分別是學(xué)習(xí)模式，時(shí)間管理和學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃，筆記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應(yīng)試技巧，拾遺。全書的結(jié)構(gòu)采取的是總分的形式，前三個(gè)方面是總的部分，算是增加學(xué)習(xí)技能的準(zhǔn)備，從認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)模式開(kāi)始，然后采取任何事都需要的時(shí)間管理技巧，再總體地講一下學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃的事項(xiàng)。然后底下是分的部分，將學(xué)習(xí)的包含的各個(gè)方面的技巧進(jìn)行分開(kāi)闡述，分別有筆記記錄，閱讀，記憶，應(yīng)試以及最后的拾遺。系統(tǒng)地講述了學(xué)習(xí)的

19、幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實(shí)踐的話不僅能在學(xué)習(xí)上得到提高，在腦力上或者說(shuō)理解力上肯定會(huì)受益匪淺。在此，說(shuō)句題外話，我一直覺(jué)得日本人寫書在細(xì)節(jié)上做的是無(wú)與倫比的，但是這本書讓我對(duì)這個(gè)看法有了一定的動(dòng)搖，因?yàn)樗锩娴闹v述部分讓我覺(jué)得美國(guó)是個(gè)應(yīng)試教育的國(guó)家嗎，簡(jiǎn)直比我們中國(guó)還要應(yīng)試。那個(gè)考試應(yīng)對(duì)細(xì)節(jié)的部分放在中國(guó)，一點(diǎn)也沒(méi)有違和感的，好嗎？所以他們能出現(xiàn)這樣的情況，從沒(méi)到過(guò)日本的人能夠?qū)懗雒鑼懭毡救说臅?，然后讓日本人都覺(jué)得是經(jīng)典的，沒(méi)有在企業(yè)里做過(guò)實(shí)務(wù)管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全世界不得不說(shuō)，美國(guó)的教育真不是蓋的。細(xì)節(jié)上，我印象比較深的是，作者開(kāi)篇開(kāi)始傳授如何應(yīng)該認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)

20、模式，運(yùn)用了一些測(cè)試題目，然后根據(jù)結(jié)果找出與自己最近似的學(xué)習(xí)模式，她把學(xué)習(xí)模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺(jué)的，聽(tīng)覺(jué)的，動(dòng)作的。我看了一下，確實(shí)有跟自己近的類型，我就是視覺(jué)的，對(duì)號(hào)入座后就可以比較直接的去揚(yáng)長(zhǎng)避短了。然后，作者說(shuō)了，做任何事情，時(shí)間管理技巧都是世可缺少的，她世僅教導(dǎo)的是學(xué)習(xí)的技能，還有很多其他的道理，對(duì)我們?nèi)松际怯幸娴模蚁嘈?，如果我們的孩子從小就學(xué)習(xí)這些，將會(huì)受用終生。還有，作者提到了學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃里的家庭檔案系統(tǒng)，將我們現(xiàn)在工作中的管理引進(jìn)了學(xué)習(xí)中，這是一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如果孩子持續(xù)的做，嚴(yán)格地做，獲得的收益將無(wú)法估量，因?yàn)?，這在我們現(xiàn)在工作中都必須要用的管理信息的技能，實(shí)在是太可貴了，孩子將這種技能與閱讀結(jié)合起來(lái)，保管好自己思維歷程，可以獲得持續(xù)的提高，直到最后展翅翱翔，他最可貴的是，可以系統(tǒng)地提升自己，從而達(dá)到書中簡(jiǎn)介里提到的那樣，碰到世會(huì)的領(lǐng)域的時(shí)候，可以很快的用這些方法，工具建