等積變形中的面積重疊問題PPT課件

1、覆蓋中有重疊，數(shù)量關(guān)系有趣 （II）設(shè)k個(gè)小圖形面積之和為S，將這k個(gè)小圖形放入一個(gè)面積恰為S的大圖形內(nèi)（這k個(gè)小圖形沒有同時(shí)3個(gè)重疊的部分），則在面積為S的大圖形內(nèi)未被蓋住部分面積之和，等于k個(gè)小圖形重疊部分的面積。（II）的圖示 第1頁/共47頁 例1. ABC的面積為1,中線BM, CN相交于G. 求BGC的面積.注意看圖！第2頁/共47頁陳省身爺爺說：數(shù)學(xué)好玩！ 解: ABM與CAN的面積都等于0.5. 其面積和等于ABC的面積1. 因此，沒蓋住的BCG 的面積就等于重疊部分ANGM的面積. 連接AG，設(shè)AGN面積為x, AGM面積為y. 則 于是得x+y=1/3。 即ANGM的面積等

2、于1/3，也就是BGC的面積等于1/3.112,2.22xyxy第3頁/共47頁仰望天空，腳踏實(shí)地。 例2. 如圖梯形ABCD 中，AB/DC.綠色三角形的面積是14平方厘米，紅色部分的面積是29.5平方厘米。問：黃色三角形的面積是多少平方厘米？ 答：黃色三角形的面積是15.5平方厘米?？磮D：第4頁/共47頁 答：涂紅色兩塊圖形的面積大。 例3.右圖所示為一個(gè)長方形. AE:ED=9:5, BF:FC=7:4. 問：涂紅色的兩塊圖形的面積與涂藍(lán)色的兩塊圖形的面積相比較，哪個(gè)大? 請說明理由.第5頁/共47頁美麗花瓣中的數(shù)學(xué)問題 例4. 右圖是一個(gè)對稱的圖形（由分別與一個(gè)大圓相切的四個(gè)共點(diǎn)的小的

3、等圓組成），問黑色部分面積大還是陰影部分面積大？第6頁/共47頁答：一樣大。 理由：因?yàn)槭菍ΨQ圖形，四個(gè)小圓半徑相等，且恰好是大圓半徑的一半。這樣，每個(gè)小圓面積等于大圓面積的1/4，四個(gè)小圓面積之和正好等于大圓面積。 陰影部分是四個(gè)小圓相重迭的部分，而黑色部份則是由于重迭而空余出來的部分，所以這兩部份面積相等。第7頁/共47頁數(shù)學(xué)思維是美妙的 右圖是一個(gè)園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的3/4是草地；圓的6/7是竹林；竹林比草地多占地450平方米.問：水池占地多少平方米?第8頁/共47頁答：水池占地150平方米。 解：把水池的面積作為1個(gè)單位，那么草地的面積便是3個(gè)單位，而竹林面積是6個(gè)單位。（這是

4、由于把正方形面積分作4等分時(shí)，草地占3份而水池占l份；同理，把圓面積分成7等份時(shí)，竹林占6份而水池占1份）。從而竹林比草地多出的面積，是633個(gè)單位。3個(gè)單位的面積是450平方米，可見1個(gè)單位的面積是4503150平方米，這就回答了題中所問的問題。第9頁/共47頁六角形的花瓣，美妙的思維，簡潔的答案 例6如圖所示, 在面積為S平方厘米的圓O中, 有一個(gè)內(nèi)接的正六邊形ABCDEF,其面積為S0。陰影部分是以該正六邊形的3個(gè)頂點(diǎn)B、D、F為圓心，正六邊形邊長為半徑的圓弧圍成，求陰影部分的面積等于多少平方厘米?第10頁/共47頁想一想，你觀察到其中的奧妙了嗎？ 提示：分別以B、D、F為圓心，正六邊形

5、邊長為半徑的圓扇形，其面積都是圓O面積的1/3。三個(gè)扇形總面積等于圓O的面積S，并且重疊覆蓋在圓O內(nèi)部。陰影花瓣為重疊部分，面積為S0的六邊形外的六個(gè)弓形是未被蓋住的部分。根據(jù)面積重疊原理，陰影花瓣部分的面積等于S-S0平方厘米。 第11頁/共47頁想一想，試變條件作推廣。 思考：如圖所示, 在面積為S平方厘米的圓O中,有一個(gè)內(nèi)接的正六邊形ABCDEF,其面積為S0。陰影部分是以該正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正六邊形邊長為半徑的圓弧圍成，求陰影部分的面積等于多少平方厘米? （答: 等于2S-2S0平方厘米）。 第12頁/共47頁 例7點(diǎn)E和F分別是正方形ABCD的邊BC和CD的中點(diǎn)。線段AE和B

6、F交于點(diǎn)K。問三角形AKF與四邊形KECF的面積哪個(gè)大？ 答：三角形AKF的面積大。 第13頁/共47頁提示提示：PBM、QMN、RNC面積之和與長方形EBCF的面積相等，都等于60平方厘米。所以沒重疊的部分面積相等。易知等于15平方厘米。 例8. 長方形ABCD的面積為120平方厘米.EF是一組對邊AB、CD的中點(diǎn)連線. M、N是BC邊上兩點(diǎn)，P、Q、R為AD邊上的點(diǎn)。試求圖中4塊陰影面積的總和是多少平方厘米？第14頁/共47頁例9如圖所示長方形ABCD的面積為120平方厘米. 四邊形OEFG的面積是9平方厘米。試求圖中3塊陰影圖形的總面積。 提示：AFC、DBF面積之和為60平方厘米. 中

7、間有重疊部分四邊形OEFG的面積是9平方厘米。所以圖中非陰影部分面積為60-9=51平方厘米。因此圖中3塊陰影圖形的總面積為69平方厘米。第15頁/共47頁數(shù)學(xué)是鍛煉思維的健美操 例10. 如圖，圓O中直徑AB與CD互相垂直. AB=10厘米。以C為圓心，CA為半徑畫得 . 則月牙形（陰影部分）的面積是 平方厘米. AEB第16頁/共47頁答：月牙形的面積是25平方厘米. 理由：半圓的面積= 平方厘米。 ABC的面積=25平方厘米. 所以AC2=50. 扇形 的面積= 半圓ABD的面積。 根據(jù)面積重疊原理（I）可知： 月牙形（陰影部分）的面積=ABC的面積 =25平方厘米.2152CAEBC第

8、17頁/共47頁數(shù)學(xué)是理性思維的演練場 例11.如圖正方形面積為16平方厘米.A點(diǎn)在矩形DEGF的邊EF上,G點(diǎn)在BC上. 若FG與AB交于點(diǎn)P, 求PAF與PBG 面積之差是多少平方厘米?第18頁/共47頁答： PAF與PBG 面積之差是 2.16平方厘米 提示: 連接AG.易知正方形ABCD邊長為4厘米. ADG面積為8平方厘米.也就是矩形DEGF的面積為16平方厘米.所以 厘米.可以求得AE=2.4厘米, CG=3厘米.由重疊原理, 知S + S = S + S.所以 S - S = S - S.而 S=6平方厘米, S=3.84平方厘米.所以 S - S = S - S=6-3.84=

9、2.16平方厘米.163.25DE 第19頁/共47頁 例12如右圖所示, 是一個(gè)正方形，幾塊陰影部分的面積如圖所示，則四邊形的面積為_。 答.24. 解：假設(shè)是“房間”，是“地毯”. 因?yàn)锳ND面積=CDM面積=0.5ABCD的面積，如果這兩個(gè)地毯不重疊，它們完全可以覆蓋房間.因此，重疊部分的面積即等于未被覆蓋表面的面積，即DPQR面積= APM面積+？面積+ CRN面積，所以， “？面積”=51-15-12=24.第20頁/共47頁數(shù)學(xué)是個(gè)好東西，社會主義需要數(shù)學(xué) 例13. 在面積是1的正方形ABCD中, 如圖, E為BC上一點(diǎn),BE=2CE , F為CD上一點(diǎn), CF=2DF，連接AE，

10、AF分別交BD于M，N. 試求兩個(gè)陰影三角形面積的和.第21頁/共47頁 解：易知，ABE的面積= ，ADF的面積= .ABD的面積= . 顯然，ABE的面積與ADF的面積 之和等于ABD的面積，由覆蓋重疊原理可知，兩個(gè)陰影部分三角形面積的和，等于AMN的面積. 因此，要求兩個(gè)陰影三角形面積的和，只需求出AMN的面積即可.而要求AMN的面積，只需計(jì)算出MN：BD就可以了. 為此，連接BF，DE.ABF的面積與ADE 的面積都等于 . 由于 ，所以 ，所以 。因此所以 也就是，題圖中兩個(gè)陰影三角形面積的和=16121312123132ABEADESBMMDS2.5BMBD116132ADFABF

11、SDNBNS1.4DNBD2171.5420MNBD 7177.2022040AMNABDSS7.40第22頁/共47頁數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙 例14. 如圖，半徑為5厘米的大圓內(nèi)有半徑為3厘米和4厘米的兩個(gè)小圓.兩個(gè)小圓與大圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別是P和Q. 如果兩個(gè)小圓相交部分的面積為15平方厘米，陰影（甲）的面積為7平方厘米，則陰影（乙）的面積為多少平方厘米.第23頁/共47頁答：陰影（乙）的面積為8平方厘米. 解：大圓面積是 平方厘米，兩個(gè)小圓面積和為 ， 即大圓面積等于內(nèi)部的兩個(gè)小圓面積之和，所以，兩個(gè)小圓相交重疊部分的面積（15）等于陰影（甲）、（乙）面積之和，由于陰影（甲）的面

12、積為7平方厘米，因此陰影（乙）的面積為15-7=8平方厘米.25223491625 第24頁/共47頁例15. P是長方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，三角形 PAB的面積等于5，三角形PBC的面積等于13.問三角形PBD的面積是多少？第25頁/共47頁看一看，想一想，思維長翅膀例16. 如圖，已知凸四邊形ABCD中，邊AB和CD的中點(diǎn)為M和N，BC與AD的中點(diǎn)為P和Q，AN、CM、BQ、DP的交成四邊形WXYZ.證明：四邊形WXYZ 的面積等于四個(gè)小三角形的面積之和.第26頁/共47頁證明，就是精準(zhǔn)簡練的實(shí)話實(shí)說 例17.如右圖，已知凸四邊形ABCD中，邊AB和CD的中點(diǎn)為K和M，BM與CK的交點(diǎn)為P，A

13、M與DK的交點(diǎn)為Q.證明三角形BPC與三角形AQD的面積之和等于四 邊形MQKP的面積.第27頁/共47頁請先積極、獨(dú)立地思考 例18.ABCD為任意四邊形，M, N分別為 AD, BC中點(diǎn)，MB交AN于P; MC交DN于Q. 若四邊形ABCD的面積為150，四邊形MPNQ的面積是50，求：四個(gè)三角形APM，DQM，BPN和CQN的面積和是多少? (第8屆華杯賽總決賽一試試題) 第28頁/共47頁遇到困難可看下面的解答第29頁/共47頁圖中輔助線是本題最簡單的證法例19. 凸四邊形ABCD的兩組對邊中點(diǎn)連線EF, GH相交于O.求證: 兩塊紅色四邊形的總面積=四邊形ABCD面積的一半。第30頁

14、/共47頁如何證，自己想，試試你的分析能力 例20. 凸四邊形ABCD的兩組對邊中點(diǎn)連線EF, GH相交于O.連接AH，CG分別交EF與M，N. 則 （1） （2）.M O HNO GAEMCFNSSSS.AMOGCNOHBGNFDHMESSSS第31頁/共47頁答：三角形PQR的面積是1/7。例21.如圖 中，若 ，求 的面積.111,.333AFABBDBCCECAABCPQR1ABCS這樣添線第32頁/共47頁答：三角形PQR的面積是81/560 例22.如圖 中， 若 ，求 的面積.ABC111,.236AFABBDBCCECA1ABCSPQR注意：分步解題，步步細(xì)心，最后綜合，可得解

15、答。第33頁/共47頁此題設(shè)計(jì)精巧，試試你的身手例23. 過ABC內(nèi)部的一點(diǎn)O引平行于各邊的線段AA1，BB1，CC1分ABC為四個(gè)三角形和三個(gè)四邊形，如圖所示.證明：分別以A，B，C為頂點(diǎn)的三個(gè)陰影三角形的面積之和等于第四個(gè)陰影三角形的面積.第34頁/共47頁獨(dú)立解答此題，理應(yīng)沒有問題例24. 如圖所示，平行四邊形ABCD的面積為24平方厘米.ADM與BCN的面積之和為7.8平方厘米，求陰影四邊形FMON的面積是多少平方厘米？ (第13屆華杯賽決賽試題)第35頁/共47頁答：六邊形A1B1C1D1E1F1的面積是670平方厘米 例25.一個(gè)六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米。已知AB

16、C，BCD，CDE，DEF，EFA，F(xiàn)AB的面積都等于335平方厘米。又圖中6個(gè)陰影三角形面積之和為670平方厘米。則六邊形A1B1C1D1E1F1的面積是 平方厘米。 (第15屆華杯賽決賽小學(xué)A卷試題13)第36頁/共47頁答：例26. 右圖中, ABC，BCD，CDE， DEF，EFA， FAB的面積之和等于六邊形ABCDEF的面積. 又圖中的6個(gè)陰影三角形面積之和等于六邊形ABCDEF的面積的. 求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積與六邊形ABCDEF的面積之比. (第15屆華杯賽決賽小學(xué)A卷試題13)1 1 11 1 11.3A BC D E FABCDEFSS第37頁/共47頁 答：41cm2. 例27. 梯形ABCD的面積是100cm2, AE=BF， CE與BF相交于O，若 cm2, 則 cm2.（2009“數(shù)學(xué)解題能力展示” 初一年級初試8題）18DOECOFSSDAEEOFFBCSSS第38頁/共47頁第39頁/共47頁第40頁/共47頁試試你的分析問題的能力 （第26屆莫斯科數(shù)學(xué)競賽試題，1963）第41頁/共47頁要仔細(xì)分析圖形中的數(shù)量關(guān)系第42頁/共47頁歷史名題，值得學(xué)習(xí) 例29如圖所示，在以AB為直徑的半圓上取一點(diǎn)C，分別以AC和BC為直徑在ABC外作半圓AEC和