等參數(shù)單元等參元PPT課件

1、 對(duì)于矩形單元，由于它采用了雙線性位移模式，使得單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變不是常量而是按線性變化，它比常應(yīng)變?nèi)切螁卧茌^好地反映出結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)力分布狀態(tài)，但是它很難適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界；同時(shí)在劃分單元時(shí)，改變單元的大小也很困難，即不便于在不同部位采用大小不同的單元，因?yàn)橐寻衙總€(gè)單元的邊長之半 作為常量而引入單元?jiǎng)偠染仃囍校ㄒ娛?2.48)）。因此，矩形平面單元未能在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用。 為此，我們希望找到一種單元，一方面它具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布狀態(tài)，即或是單元網(wǎng)格劃分的比較疏些，也可以得到比較好的計(jì)算精度；另一方面，它又能很好地適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界

2、。等參元就具備了上述兩條優(yōu)點(diǎn)，因而得到廣泛應(yīng)用。ba ,第1頁/共65頁niiiniiivNvuNu11,niiiniiiyNyxNx11, 前面已談到：無論是三角形單元還是矩形單元，其單元內(nèi)位移用形函數(shù)表示為實(shí)際上不難證明：單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)同樣有上述關(guān)系，即 (3-1) (3-2)第2頁/共65頁 可見，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧獌?nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)插值公式與該點(diǎn)的位置坐標(biāo)變換式，都具有完全相同的形式。它們都是用同樣個(gè)數(shù)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)值（結(jié)點(diǎn)位移值或坐標(biāo)值）作為參數(shù)，并且用完全相同的形函數(shù)作為這些結(jié)點(diǎn)值前面的系數(shù)項(xiàng)。當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)位移時(shí)就得到位移函數(shù)插值公式；當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，就得到位置坐標(biāo)

3、插值公式（或位置坐標(biāo)變換式）。 常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧倪@種位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式之間的對(duì)應(yīng)協(xié)調(diào)關(guān)系，就是等參元的基本特征。所以，等參元的基本概念可簡單概括成：一個(gè)單元的位移函數(shù)插值結(jié)點(diǎn)數(shù)與其位置坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行插值者，稱為等參元。 顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧褪莾煞N最簡單的等參元。但是，本章所要研究的等參元，并不是這種單元，而是4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元和8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元。第3頁/共65頁xoy4 , 3 , 2 , 1,iyxii1o1,1111,1331,144 由前述知，具有雙線性位移模式的矩形單元

4、只適用于正交的、規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu)。對(duì)于非正交的、不規(guī)則形狀，可以用任意四邊形單元代替矩形單元進(jìn)行有限元分割。 在直角坐標(biāo)系（又稱整體坐標(biāo)系） 中，任取一任意四邊形單元1,2,3,4，四邊形的四個(gè)角點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的直角坐標(biāo)值為 。對(duì)于這種任意四邊形等參元，可令其實(shí)際形狀所構(gòu)成的單元為子單元，把子單元的各邊中點(diǎn)連線做一個(gè)局部坐標(biāo)系（或稱自然坐標(biāo)系） ，且令單元各結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)系分別是： ； ； ； 。這樣，就把子單元影射到局部坐標(biāo)系上，而成為正方形單元，稱此正方形單元為母單元。整體坐標(biāo)系適用于所有單元，即適用于整個(gè)求解區(qū)，而局部坐標(biāo)系只適用于每一個(gè)單元。,1212一位移插值函數(shù)式及坐標(biāo)變換式第4

5、頁/共65頁1oxoy 在子單元上再作各對(duì)邊的等分線，這些等分線影射到母單元上，也必然是母單元各對(duì)應(yīng)邊上的等分線。這樣，母單元與子單元之間的相應(yīng)點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系說明，在母單元 平面上平行于 或 的直線，在 平面內(nèi)的子單元上仍然是相對(duì)應(yīng)的直線。第5頁/共65頁niiiiiivNvuNu141),(,),(414141),(1,),(,),(iiiiiiiiNNN4141),(,),(iiiiiiyNyxNx 因此，我們就可以把矩形單元的位移函數(shù)插值式(3-1)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)變換式(3-2)，以及局部坐標(biāo)變換式（類似坐標(biāo)變換式），用在任意四邊形等參元上，并重新寫成(3-3

6、)(3-4) (3-5)第6頁/共65頁 式(3-3)和(3-4)是任意四邊形在局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)和單元內(nèi)任一點(diǎn)局部坐標(biāo)插值公式，而式(3-5)是每個(gè)單元的局部坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換式。由這些公式看出，任意四邊形單元符合等參元條件，它當(dāng)然是等參元。 由于任意四邊形單元的位移插值函數(shù)(3-3)，在局部坐標(biāo)系下滿足形容條件，因此坐標(biāo)變換式(3-5)也就滿足相容條件，從而使得式(3-3)在整體坐標(biāo)下滿足相容條件。也就是說，在兩相鄰任意四邊形單元公共邊上的位移是連續(xù)的，坐標(biāo)變換后仍然是連續(xù)的，兩相鄰單元公共邊上的公共點(diǎn)在坐標(biāo)變換后仍為公共點(diǎn)，決不會(huì)出現(xiàn)重疊和開裂現(xiàn)象。第7頁/共

7、65頁xoy BiNxy ATedxdytBDBkiNxydxdy),(iN Bdxdy 利用任意四邊形等參元分析平面問題時(shí)，有了該單元的位移插值函數(shù)式(3-3)和坐標(biāo)變換式(3-5)，就可以應(yīng)用第二章已導(dǎo)出的一系列公式去求解。但是，這一系列公式都是在整體坐標(biāo) 下導(dǎo)出的，其中，應(yīng)變矩陣 的每個(gè)元素都是各結(jié)點(diǎn)形函數(shù) 對(duì)整體坐標(biāo) 進(jìn)行重積分，而任意四邊形等參元的形函數(shù) 又是針對(duì)局部坐標(biāo)的，因此需要對(duì) 和 進(jìn)行坐標(biāo)變換。這樣，就引出了坐標(biāo)變換矩陣和變換行列式。 和 的偏導(dǎo)數(shù)；單元?jiǎng)偠染仃?的每個(gè)元素又是各結(jié)點(diǎn)形函數(shù) 對(duì)整體坐標(biāo) 和 的偏導(dǎo)數(shù)的乘積，再對(duì)二坐標(biāo)變換矩陣及變換行列式第8頁/共65頁),(

8、, ),(yxvvyxuu),(),(, ),(),(141vvNvuuNuniiiiii),(),(, ),(),(141yyNyxxNxniiiiii 設(shè)任意四邊形在整體坐標(biāo)下的位移插值函數(shù)式為而該單元在局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)式(3-3)可以寫成： 這兩種形式的位移插值函數(shù)式通過坐標(biāo)變換式(3-5)聯(lián)系起來。為了方便，把式(3-5)寫成： (3-6) (3-7) (3-8)第9頁/共65頁yyvxxvvyyvxxvvyyuxxuuyyuxxuu,yyxxyyxx, 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，(3-6)，(3-7)，(3-8)三式之間有如下關(guān)系由式(3-9)可抽象出 (3-9)第10頁/共

9、65頁yxyxyxJJyxyx),(把上面二式寫成矩陣形式，得令 (3-11) (3-10)第11頁/共65頁JyxJ1Jyx 稱 為坐標(biāo)變換矩陣或雅克比矩陣，它是局部坐標(biāo)的函數(shù)。因此式(3-10)變成故有 (3-13) (3-12)第12頁/共65頁1JxxyyJJ11J ATedxdytBDBkdxdy 式中 稱為坐標(biāo)變換矩陣或雅克比逆陣，它也是局部坐標(biāo)的函數(shù)。式中的 是坐標(biāo)變換行列式。 另外，為了把 化成對(duì)局部坐標(biāo)的重積分，還需把微分面積 做相應(yīng)的變換。 (3-14)第13頁/共65頁P(yáng),ba ,ayx ,yxaa ,dyadxayx, 設(shè)任意四邊形等參元1,2,3,4內(nèi)任一點(diǎn) 沿局部坐

10、標(biāo) 方向的微分矢量為 ，由于在 方向上只有 變化，而 不變，故微分矢量 在整體坐標(biāo)系的 軸上的投影 分別為第14頁/共65頁byx ,dybdxbyx,ba ,abFdydxdydxbbaaFyxyxab 同理，由于在 方向上只有 變化而 不變，故 在軸上的投影：兩個(gè)微分矢量所構(gòu)成的微小平行四邊形面積 ：第15頁/共65頁abFdydxFabddJddyxyxdydxdydxdydxyxyxJ而 又可以看成是在整體坐標(biāo)中的微分面積，故有式中 (3-15) （3-15）第16頁/共65頁 ek B, JJJ41414141),(),(),(),(iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNJ 為了進(jìn)

11、一步闡明和計(jì)算任意四邊形等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚰皯?yīng)力矩陣 （或應(yīng)變矩陣 ），需要把前述的 及 展成具體形式的表達(dá)式，為此，將(3-5)式代入(3-12)式，得第17頁/共65頁)1)(1 (41),(iiiN,J41414141)()()()(41iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyyxxyyxxJ 再將對(duì)然后代入 中得 (3-16)分別求偏導(dǎo)數(shù)，第18頁/共65頁ixJiyi,4 , 3 , 2 , 1, 4413412411414141,ayaxayaxByAxiiiiiiiiiiiiiiiiiiii 式(3-16)表明，只有給定整體坐標(biāo)下的單元四個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值 和 就完全由單

12、元的局部坐標(biāo)來決定了，而且它的每個(gè)元素都是 和 的線性函數(shù)，令常數(shù)項(xiàng)分別為第19頁/共65頁BaAaBaAaJ432141)()()(16134213241BaAaAaBaaaaaJ則(3-16)式可寫成由式(3-16)可以得出雅克比行列式 (3-16) (3-17)第20頁/共65頁,JAaAaBaBaBaAaAaBaaaaaAaAaBaBaJJ13243421324113241)()()()()(4)()(411J, 它也是 的線性函數(shù)。由(3-16)和(3-17)式可以直接寫成的逆陣：式中的每個(gè)元素變成 (3-18)的較復(fù)雜的函數(shù)。第21頁/共65頁1J0J0180 由式(3-18)看出

13、，為了確保 的存在，必須要求變換行列式 ，這個(gè)條件的實(shí)質(zhì)是，要求任意四邊形等參元在整體坐標(biāo)下的形狀必須是凸的四邊形，而不能有一個(gè)內(nèi)角等于或大于 。否則，在單元上將得不到整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)的變換關(guān)系，而使計(jì)算方法失效。因此，所謂任意四邊形等參元，其任意性還是有一定限度的，要求四邊形的任意兩對(duì)邊不能通過適當(dāng)?shù)难由於趩卧獌?nèi)出現(xiàn)交點(diǎn)。通常，在實(shí)際有限元計(jì)算中，為了盡量使其形狀接近于正方形比較好，但可以大小不一樣。第22頁/共65頁JJ1J ek Bdydx及 表達(dá)式中的有關(guān) 及 都換成局部坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式。此時(shí)，任意四邊形等參元的一切計(jì)算都可以立足在局部坐標(biāo)系下進(jìn)行了。 根據(jù)上述已求得

14、的 ， 及 等函數(shù)表達(dá)式，就可以將首先，由式(3-13)引出：第23頁/共65頁iiiiNNJyNxN1iiiiNNAaAaBaBaGNNAaAaBaBaBaAaAaBaaaaa1324132434213241)()()()()()()(4第24頁/共65頁iiiiiiNAaGNAaGyNNBaGNBaGxN)()()()(1324)()()(434213241BaAaAaBaaaaaG所以式中 (3-19)第25頁/共65頁 B B, B ATedxdytBDBk ek, 1111ddJtBDBkTe ek 然后，將式(3-19)代入 中，就把 的各元素化成 的函數(shù)；再將式(3-17)代入式

15、(3-15)，并將式(3-15) 及 代入，就把的重積分，其被積函數(shù) 應(yīng)該指出， 中的每個(gè)元素都含有對(duì) 和 的重積分，盡管其積分區(qū)域變得十分簡單，而其被積函數(shù)都比較復(fù)雜，需要采用數(shù)值積分（通常是采用高斯求積法），由于任意四邊形等參元的應(yīng)力 是 和 的函數(shù)，因此在求解單元應(yīng)力時(shí)，必須指明是求哪一點(diǎn)的應(yīng)力，而且各單元之間的應(yīng)力是不連續(xù)的。的每個(gè)元素化成對(duì)局部坐標(biāo)的函數(shù)式。都是 和 的復(fù)雜函數(shù)，對(duì)于各單元的應(yīng)力 也可以化成是 和第26頁/共65頁 四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元盡管比矩形單元好，比三角形單元的精度高，但是它對(duì)結(jié)構(gòu)的曲線邊界仍然要以許多小直線段去逐漸逼近，計(jì)算精度仍不夠理想，為了進(jìn)一步提高計(jì)算

16、精度，可在四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元的基礎(chǔ)上，增加結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，選用高冪次結(jié)構(gòu)模式的等參元。一般常用的是八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元。一位移插值函數(shù)及坐標(biāo)變換第27頁/共65頁xoy8 , 2 , 1,iyxii1o 左圖是8結(jié)點(diǎn)平面等參元在整體坐標(biāo) 下的實(shí)際形狀，它除了四個(gè)角點(diǎn)1，2，3，4 之 外 ， 又 在 每 邊 中 點(diǎn) 選 一 個(gè) 結(jié) 點(diǎn) 5 或 6 ， 7 ， 8 ， 各 結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 坐 標(biāo) 值為 。類似于4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元，這種子單元映射到局部坐標(biāo)系 上，就變成邊長為2的8結(jié)點(diǎn)正方形母單元。第28頁/共65頁2162152141321211109282726524321aaaaaa

17、aavaaaaaaaau821,aaai)8 , 2 , 1(ii 現(xiàn)在，我們首先考慮在局部坐標(biāo)系下的8結(jié)點(diǎn)正方形母單元。由于它的8個(gè)結(jié)點(diǎn)共有16個(gè)位移分量，故必須選擇局部坐標(biāo)的雙二次多項(xiàng)式，做為它的位移模式。式中 是由單元8個(gè)結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值 和來決定的待定常數(shù)。 (3-20)第29頁/共65頁iivu ,ii,1621,aaa8181),(,),(iiiiiivNvuNu),(iN)8 , 3 , 2 , 1(ii 可用類似于以前用過的方法，將8結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入式(3-20)，得到以 為未知數(shù)，以 及 為已知數(shù)的16個(gè)聯(lián)立方程組，求解這個(gè)方程組即得 的表達(dá)式。然后再回代到(3-20)中

18、，經(jīng)整理 式中 是第 (3-21)個(gè)結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。1621,aaa第30頁/共65頁iNiNiN 應(yīng)該指出，用上式求解聯(lián)立方程組的方法來導(dǎo)出式(3-21)，比較麻煩，特別是當(dāng)待定系數(shù)比較多時(shí)，欲導(dǎo)出形函數(shù) 的顯式是非常煩瑣的。為了簡化求導(dǎo) 的過程，我們可以利用 的特點(diǎn)來決定各結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)顯式。iNiNiNvu ,iNvu ,iN由第二章知，各種單元的形函數(shù)都有兩個(gè)特點(diǎn)時(shí)， 或 是 的二次函數(shù)；當(dāng)固定 時(shí)， 或 又是的二項(xiàng)函數(shù)。 1) 是形如單元位移模式的同冪次多項(xiàng)式，對(duì)于8結(jié)點(diǎn)曲邊形等參元，它的 一定是局部坐標(biāo) 和 的雙二次多項(xiàng)式，固定 第31頁/共65頁iNi)(ijj0),(jjiN4 ,

19、 3 , 2 , 1),(iN8 , 3 , 275,43,328 , 3 , 201,01,01) 1)(1)(1(8 , 3 , 2) 1)(1)(1() 1)(1)(1(),(1kN2) 在 結(jié)點(diǎn)的值為1，在其余結(jié)點(diǎn) ， 根據(jù)形函數(shù)的這兩個(gè)特點(diǎn)，先求8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元四個(gè)角點(diǎn) 的形函數(shù)。對(duì)于角點(diǎn)1，根據(jù)第2)個(gè)特點(diǎn)， 在結(jié)點(diǎn) 的值全為零，而直線 通過 等七個(gè)結(jié)點(diǎn)，故這三條直線的方程分別為 同時(shí)，由 組成的函數(shù)，在 結(jié)點(diǎn)上的值恰好都等于零；另外，根據(jù)第1)個(gè)特點(diǎn)，函數(shù)也恰好是雙二次函數(shù)。因此，可設(shè)第32頁/共65頁k111) 1,1(1N41k) 1)(1)(1 (41),(1N) 1

20、)(1)(1 (41),() 1)(1)(1 (41),() 1)(1)(1 (41),(432NNN式中 是待定常數(shù)。將1結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值 和 代入上式，并考慮 這一特點(diǎn)，可求得同理可得 (3-22)，于是第33頁/共65頁8 , 7 , 6 , 5),(5N8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 143,32,2101,01,01) 1)(1(28 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1) 1)(1(2iN) 1)(1(),(215kN1k101)0,1(5N211k)1)(1 (21),(25N 再來求8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元各邊中點(diǎn) 的形函數(shù)。對(duì)于5結(jié)點(diǎn)，根據(jù)第2)個(gè)特點(diǎn)，

21、 在 結(jié)點(diǎn)的值全應(yīng)等于零，而直線 通過上述七點(diǎn)，這三條直線的方程分別為 于是，函數(shù) 在結(jié)點(diǎn) 上的值恰好都等于零；另外，函數(shù) 也符合 的第1)個(gè)特點(diǎn)。因此，可設(shè) 式中 也是待定常數(shù)。將5結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值 和 代入上式，并考慮 這一特點(diǎn)，可求得 ，于是第34頁/共65頁)1)(1 (21),()1)(1 (21),()1)(1 (21),(282726NNNii00,8 , 2 , 1)1)(1)(1 (21)1)(1)(1 (21) 1)(1)(1 (41),(22022202220000iNiiiiiii 同理可得 (3-23)，則可將(3-22)和(3-23)式合并成一個(gè)通式 (3-24)如

22、令第35頁/共65頁iNuvuvuv 從式(3-24)看出， 是雙二次函數(shù) ，從而使單元任一點(diǎn)的位移插值函數(shù) 和 式(3-21)也是雙二次函數(shù)：單元每一條邊上的和 是 或 的二次函數(shù)，它完全由邊上的3結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值唯一決定，而且在相鄰兩單元的公共邊上，其三個(gè)結(jié)點(diǎn)有相同的函數(shù)值。因此，這種單元的位移插值函數(shù) 和 ，以及形函數(shù)能完全滿足變形連續(xù)性條件和相容條件，結(jié)構(gòu)變形后，各單元之間和每個(gè)單元都不能出現(xiàn)開裂和重疊現(xiàn)象。 由于 是雙二次函數(shù)，它對(duì)結(jié)構(gòu)線性函數(shù)都是精確成立的，故可用類似于4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元曾用過的方法，直接寫出單元內(nèi)任一點(diǎn)的局部坐標(biāo)的線性插值式。iN8181),(,),(iiiiii

23、NN (3-25)第36頁/共65頁81),(1iiN8181),(,),(iiiiiiyNyxNxiN且有 以及該點(diǎn)的整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)之間的變換式由于 的相容性，式(3-27)也滿足相容條件。(3-26)(3-27)第37頁/共65頁J1JJxyx,y81818181,iiiiiiiiiiiiyNyyNyxNxxNx 8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的坐標(biāo)變換矩陣 和其逆陣 以及變換行列式 ，仍可以采用(3-12)、(3-14)和(3-15)，但這三式中及項(xiàng)，需做如下改變 (3-28)所共同包含的第38頁/共65頁iNiN8 , 2 , 1)1 ()1 (21)1 ()1 ()2()1 (41)1

24、()1 (21)1 ()1 ()2()1 (4122220220202222022020iNNiiiiiiiiiiiiiiiiiiii而式(3-28)中的和，可將式(3-24)分別對(duì),求得： (3-29)的偏微分而第39頁/共65頁 最后，由式(3-13)可直接引出8 , 2 , 1,1iNNJyNxNiiii (3-30)第40頁/共65頁J1JJxNiyNi ek 將式(3-29)代入式(3-28)，再將式(3-30)分別代入式(3-12)，(3-14)及(3-15)中，即可求得8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的坐標(biāo)變換矩陣和其逆陣 ，以及坐標(biāo)變換行列式 的具體表達(dá)式。這些表達(dá)式都是局部坐標(biāo) 和 的

25、函數(shù)。最后，再把式(3-29)代入式(3-30)中，就把 和 轉(zhuǎn)化成為局部坐標(biāo)的函數(shù)，這對(duì)于立足于局部坐標(biāo)去計(jì)算單元應(yīng)力 和單元?jiǎng)偠汝?是非常方便的。 應(yīng)該指出，為了保證8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的坐標(biāo)變換能順利進(jìn)行，對(duì)整體坐標(biāo)下8個(gè)結(jié)點(diǎn)位置 的配置必須做一定的限制。既不能使單元太偏斜，又要求任意兩條對(duì)邊經(jīng)過適當(dāng)延伸也不能在單元內(nèi)出現(xiàn)交點(diǎn)。通常，在劃分單元網(wǎng)格時(shí)，盡量把每個(gè)單元配置成接近正方形。)8 , 2 , 1,(iyxii第41頁/共65頁 將式(3-21)代入平面問題的幾何方程中，便得出8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元的應(yīng)變分量計(jì)算式 81821iiieeBBBBBxvyuyvxu (3-31)二單元

26、分析第42頁/共65頁iB B8 , 2 , 100ixNyNyNxNBiiiii e 8 , 2 , 1821ivuTiiTiTTTTe式中 單元應(yīng)變矩陣 的第i個(gè)子矩陣單元結(jié)點(diǎn)位移列陣第43頁/共65頁 eTeexyyxSSSSBD821 S iS8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元的應(yīng)力表達(dá)式式中 和應(yīng)力矩陣及其子矩陣，對(duì)于平面應(yīng)變問題(3-32) 8 , 2 , 1212112ixNyNyNxNyNxNEBDSiiiiiiii第44頁/共65頁 應(yīng)用虛功方程，仍可以導(dǎo)出這種單元的剛度矩陣。 1111ddJtBDBdxdytBDBkTATe (3-33) ijk 8, 2 , 1,1111 jiddJt

27、BDBkjTiij把式(3-33)寫成分塊矩陣，可分成88個(gè)子矩陣，每個(gè)子矩陣都是22階矩陣 ： (3-34)第45頁/共65頁J1JJJ ijk 將式(3-29)代入式(3-28)中，再將式(3-28)代入式(3-12)、(3-14)和(3-15)即可求得8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的 , 及 ；然后將式(3-29)代入式(3-30)中，再將式(3-30)及已求得 的代入式(3-34)中，經(jīng)過局部坐標(biāo)的積分，可得到 ，其中被積函數(shù) xNxNyNyNyNxNxNyNxNyNyNxNyNyNxNxNEBDBjijijijijijijijijTi2121212112 (3-35)第46頁/共65頁 ek

28、 ek K eF F FK e e e或 的具體數(shù)值；最后把各單元的 組集結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，把各單元的結(jié)點(diǎn)力列陣 組集成整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力列陣 ，并組成結(jié)構(gòu)剛度方程 ，再考慮結(jié)構(gòu)約束條件，即可求解出離散結(jié)構(gòu)上各結(jié)點(diǎn)的位移分量列陣 和各單元的結(jié)點(diǎn)位移分量列陣 。 求得了各單元的 后，再把 和已計(jì)算過的式(3-30)一起代入式(3-32)中，且要給出各單元需要求應(yīng)力的局部坐標(biāo)值，就可以求得各單元內(nèi)需要求應(yīng)力那些點(diǎn)的各應(yīng)力分量值。第47頁/共65頁 應(yīng)該指出，無論是8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元或者是4 結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元，其單元內(nèi)每一點(diǎn)的應(yīng)力 都是不相同的，且 是點(diǎn)的局部坐標(biāo)復(fù)雜函數(shù)，因而這種單元的精度比

29、較高。但是，在相鄰單元公共邊上的應(yīng)力函數(shù)仍然是不連續(xù)的（其位移是連續(xù)的）。因此，通常是求單元各高斯積分點(diǎn)處的應(yīng)力。（見3.4） 8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元基本和4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算方法相同?，F(xiàn)以8結(jié)點(diǎn)四邊形等參元為例，討論如何把單元上的載荷化成等效結(jié)點(diǎn)力。三等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算第48頁/共65頁 TyxPPP P 8 , 2 , 100iPPNNPNFFFyxiicieiyixeiciNiNiNciN P 1. 集中力：設(shè)單元上任意點(diǎn)c受有集中載荷，則 被移置到單元各有關(guān)受載結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力，可按第2章2-8節(jié)中講過的方法直接寫成 (3-36)式中 代表 在集中力作用點(diǎn)處c的取值，把

30、c點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入形函數(shù) ，再去計(jì)算 。實(shí)際計(jì)算時(shí)，應(yīng)盡量把集中力作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，而把 直接加到該結(jié)點(diǎn)上。第49頁/共65頁 TyxQQQ Q 8 , 2 , 11111 iddJtQQNFFFyxieiyixei 2. 體積力：設(shè)單元上的體力為 ， 移置到單元各結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力。按式(2-38)可寫成式中t是單元厚度。 (3-37)第50頁/共65頁 Tyxqqq dstqqNFFFyxieiyixeids3. 面力：設(shè)單元的某邊界上受有面力上有關(guān)結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)力按式(2-39)可寫成式中 是單元作用有面力的邊界域； 是在 邊界域的一個(gè)微弧長；i為受面力邊界上的結(jié)點(diǎn)號(hào)碼。，這條邊界(3-

31、38)第51頁/共65頁xqyqnqtqnqtqnqtq 應(yīng)指出，式(3-38)中所給出的面力分量 和 ，實(shí)用時(shí)不太方便。在實(shí)際結(jié)構(gòu)上往往是給出沿單元曲線邊界的法線和切線方向的面力 和 ，故需對(duì)式(3-38)做適當(dāng)修改。 規(guī)定：法向面力 以沿邊界曲線的外法線方向?yàn)樨?fù)，切向面力 以沿單元邊界逆時(shí)針方向前進(jìn)者為正。圖中指出的 和都是正的。第52頁/共65頁483nqtqnq090dsdxdsdy)(cos;)(sindsdxqdsdyqqqqdsdyqdsdxqqqqntntyntntx)2(sin)(sin)2(cos)(cos 設(shè)圖中8結(jié)點(diǎn)平面等參元的 邊界上受有面力 及 ，且與x軸的夾角為

32、。則 與x軸的夾角就是 。由圖知而第53頁/共65頁xqyq 8 , 4 , 3idxqdyqdyqdxqNtdstdsdxqdsdyqdsdyqdsdxqNFFFntntintntieiyixei),(, ),(),(81yyxxNxiiidydydydxdxdx,把 和 代入(3-38)式得由(3-21)知，故x或y對(duì)和的重積分為(3-39)第54頁/共65頁4831dydydxdx,dxdy 1111dxqyqyqxqNtFFFntntieiyixei 對(duì)于圖中等參元的 邊界，其局部坐標(biāo) ， 是變化的，因此x或y對(duì)局部坐標(biāo)的全微分應(yīng)為 將 和 代入式(3-39)得 (3-40)xNi,y

33、1由于，及都是的復(fù)雜函數(shù)（因的積分也要用數(shù)值積分法（常用高斯求積法來求解）。），故式(3-40)第55頁/共65頁 TT0110 dydxtDBHHHTieiyixei0iB DddJTtNNEdydxTtNNEHHHyixiyixieiyixei 1111,11 4. 溫度荷載考慮溫度變化產(chǎn)生的初應(yīng)變則任意結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力是將 和 代入上式，可以寫成第56頁/共65頁 TeeTEDBDBDBDBD01118210此時(shí)，計(jì)算應(yīng)力的（3-32）式改寫為第57頁/共65頁 111111111111),(,),(,)(dddfddfdfff 在前二節(jié)的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算公式中，都需要做如下形式的積分運(yùn)算 顯然，被積函數(shù) 一般是很復(fù)雜的，往往不能得出它的顯式。因此，在有限單元法的計(jì)算中都用數(shù)值積分。我們?cè)趩卧獌?nèi)選出某些點(diǎn)（稱為積分點(diǎn)），算出被積函數(shù)