數(shù)學(xué)分析中極限的求法綜述 畢業(yè)論文

1、畢 業(yè) 論 文學(xué)生姓名學(xué) 號學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)題 目極限求法綜述指導(dǎo)教師 講師/碩士2010年11月摘要：極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法, 1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限, 2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限, 3:利用兩個(gè)重要極限公式求極限, 4：利用單側(cè)極限求極限，5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限, 6：利用無窮小量的性質(zhì)求極限, 7：利用等價(jià)無窮小量代換求極限, 8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限, 9：利用中值定理求極限, 10：利用洛必達(dá)法則求極限, 11：利用定積分

2、求和式的極限,12：利用級數(shù)收斂的必要條件求極限, 13：利用泰勒展開式求極限, 14：利用換元法求極限。關(guān)鍵詞：夾逼準(zhǔn)則, 單調(diào)有界準(zhǔn)則, 函數(shù)的連續(xù)性，無窮小量的性質(zhì), 洛必達(dá)法則, 微分中值定理, 定積分, 泰勒展開式.Abstract：Mathematical analysis of the limit has been a focus of the content, while the series to Limit can be described as diverse, and concluded by induction, we set out the requirements

3、 of some commonly used method. This paper summarizes the mathematical analysis of fourteen methods of limit, 1: Limit of using two criteria, 2: the use of arithmetic nature of the limits of the Limit, 3: Limit use of two important limit of the Formula 4: Using a single side of the limit of limit, 5:

4、 Using the continuity of functions of limit, 6: the nature of the use of limit infinitesimals, 7: Substitution of equivalent limit Infinitesimal, 8: Using the definition of derivative of the Limit, 9: Using the value theorem of limit, 10: Using the Limit Hospital's Rule 11: the use of the defini

5、te integral summation type limit, 12: Convergence of the necessary conditions using the Limit, 13: Limit of using the Taylor expansion, 14: the use of Method substitution limit.朗讀顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音 字典 - 查看字典詳細(xì)內(nèi)容Keywords：Squeeze guidelines, criteria for bounded monotone function continuity, the nature

6、 of infinitesimals, Hospital's Rule, Mean Value Theorem, definite integral, the Taylor expansion.目錄一、引言二、極限的求法2.1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限2.2：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限2.3：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限2.4：利用兩個(gè)重要極限公式求極限2.5：利用級數(shù)收斂的必要條件求極限2.6：利用單側(cè)極限求極限2.7：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限2.8：利用無窮小量的性質(zhì)求極限2.9：利用等價(jià)無窮小量代換求極限2.10：利用中值定理求極限2.11：洛必達(dá)法則求極限2.12：利用定積分求和式的極限2.

7、13：利用泰勒展開式求極限2.14：換元法求極限結(jié)論參考文獻(xiàn)致謝數(shù)學(xué)分析中極限的求法綜述一、引言：極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。例如,3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計(jì)算圓周率 的。隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念也就明確提出。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數(shù)學(xué)界引起不少爭論甚至懷疑。直到19世紀(jì)，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認(rèn)。數(shù)學(xué)分析中的

8、基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)yf(x)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。二、極限的求法：2.1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。 (1)函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）：若一正整數(shù) N,當(dāng)n>N時(shí)，有且則有 . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同

9、極限值的數(shù)列和 ，使得。例1 求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)椋?）：單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。 例：1 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 又因?yàn)?所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的。 兩端除以 得 因?yàn)閯t, 從而 即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因?yàn)?解方程得 所以 2.2：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：若 (1) (2)(3)若 B0 則：

10、（4） （c為常數(shù)）上述性質(zhì)對于總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。例；求極限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因?yàn)?所以 2.3：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)記為 .即在這種方法的運(yùn)用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求

11、極限。表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 例：求 解：取f(x)= .則 2.4：利用兩個(gè)重要極限公式求極限兩個(gè)極限公式 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： 在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡后才可以利用公式。 例：求下列函數(shù)的極限4 (1) (2) 解：(1) 1(2) 12.5：利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 例： 求 解：設(shè) 則 = =0<1由比值判別法知收斂 由必要條件知02.6：利用單側(cè)極限求極限形如：(1) 求含的函數(shù)x趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)x趨于0的極限;(2)

12、求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4 含偶次方根的函數(shù)以及或的函數(shù)，趨向無窮的極限. 這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 2.7：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限即：這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。如果 u=g(x) 在點(diǎn)連續(xù) g()=,而y=f(u)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)在點(diǎn)連續(xù)。即也就是說，極限號可以與符號f互換順序。 例：求 解：令 ylnu, u 因?yàn)?lnu 在點(diǎn) 處連續(xù) 所以 12.8：利用無窮小

13、量的性質(zhì)求極限： 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果,g(x)在某區(qū)間有界，那么.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例：求 解： 因?yàn)?所以 02.9：利用等價(jià)無窮小量代換求極限：定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理3 當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有： 。說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成時(shí)（），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：當(dāng)時(shí)， ； 。 定理4 如果函數(shù)都是時(shí)的無窮小，且，則當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于，即=。 等價(jià)無窮小量：當(dāng)時(shí)，稱y,z是等價(jià)無窮小量：記為 yz 在求極

14、限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。 例：求 解：82.10：利用中值定理求極限： 1：微分中值定理：若函數(shù) f(x) 滿足 () 在 連續(xù) .()在(a,b)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 例2：求 解： 2：積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 上連續(xù);g(x) 在上不變號且可積，則在上至少有一點(diǎn)使得 例：求 解： 2.11：洛必達(dá)法則求極限：定理：若此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 要注意條件，也就是說，在沒有化為時(shí)不可求導(dǎo)。2、 應(yīng)用洛必達(dá)法則，要

15、分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時(shí)化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會引起錯(cuò)誤。4、當(dāng) 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。 例1：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述極限是待定型1(2) 它為型 由對數(shù)恒等式可得 = 2.12：利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例：求 解：由于 可取函數(shù) f(x)區(qū)間為上述和式恰好是 在 上n

16、等分的積分和。 所以 2.13：利用泰勒展開式求極限泰勒公式是本章的一大難點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見的麥克勞林展開式。實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用，大家可以通過多做一些相應(yīng)的練習(xí)題來體會。 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么 (其中在0與1之間) 例： 解：泰勒展開式 于是- 所以2.14：換元法求極限： 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例：3 求 解：令 則 1在實(shí)際學(xué)習(xí)中很多題是多種方法綜合運(yùn)用求解的。所以求極限時(shí)，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式選擇適當(dāng)方法，只有方法得當(dāng)，才能準(zhǔn)確、快速、靈活的求解極限。結(jié)論本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法,以上只是眾多求解極