兩個互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究

1、兩個互成角度的平面鏡成像規(guī) 律的研究兩個互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究廣東省珠海市第五中學(xué) 林遂弟內(nèi)容提要：本文運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的極坐標(biāo)知識及中學(xué)物理光的反射定律, 研究得出任意位置的物體通過互成任意角度的兩個平面鏡所成的像的 位置及個數(shù)的規(guī)律，并介紹此規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：兩個 平面鏡 成像 規(guī)律 一、從教學(xué)中引出的問題及思考高二課外培優(yōu)小組的學(xué)生在學(xué)習(xí)了第七章光的反射和折射后， 就兩道兩平面鏡組合成像的問題請教老師。題1：如圖1,兩平面鏡M1、Wb平行且兩鏡 面相對，兩鏡間一物點(diǎn)S到M1距離3cm,到 NL距離7cm,求離S點(diǎn)最近的5個像的位置。題2：如圖2,兩平面鏡鏡面的夾角為此60。

2、, 兩鏡面間有一物點(diǎn)S, S一共可成幾個像？上述兩題，均可以通過作圖法分析得出答案。圖1但是，作圖難免有誤差，因此，作出像點(diǎn)的位置 就不很準(zhǔn)確，甚至?xí)棺鲌D得到的成像個數(shù)與實(shí) 際不符，其次，兩鏡面所成夾角的大小有無數(shù)種 情況，不可能對每一角度都作圖分析，特別是當(dāng) 兩鏡面夾角很小時，所成像的個數(shù)很多，若采用作圖法更加困難，且不準(zhǔn)確。圖2如何通過計算式確定每一像點(diǎn)的位置，每一像點(diǎn)的位置及成像的 個數(shù)與鏡面夾角有何關(guān)系呢？對此問題，我查閱課本、教參書及其他 有關(guān)資料，都找不到有關(guān)這一問題的論述。因此，我反復(fù)對這一問題 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究。二、對兩平面鏡組合成像規(guī)律的研究通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩鏡面夾角6在0&

3、#176;到180。間變化時，6越大, 像的個數(shù)越少。對此，我曾試圖應(yīng)用平面幾何有關(guān)邊角關(guān)系、利 用平面解析幾何知識，建立平面直角坐標(biāo)系及兩點(diǎn)間的距離公式、 點(diǎn)到直線距離公式、兩直線垂直關(guān)系求垂足坐標(biāo)等方法來研究本問題,結(jié)果都因?yàn)橛嬎闾彪s，無法找出其規(guī)律，于是我改用平面解析幾何 中的極坐標(biāo)知識來討論，比較簡便地得出其規(guī)律，下面介紹其推導(dǎo)過 程。設(shè)兩平面鏡M、M2鏡面夾角為0 （單位為度，本文所述角度均 以度為單位，0° W8W18。），兩鏡面間有一物點(diǎn)S,分別通過兩鏡 面的直線相交于。點(diǎn)，且使這兩直線及物點(diǎn)S也處于同一平面上，令 OS=R, OS與Mj的鏡面夾角為a ,建立如下極坐

4、標(biāo)系：以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)， 以通過NL的射線OWL為極軸（如圖3）,根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)，則 物點(diǎn)S及各像點(diǎn)Si、S2> S3、S4、 的極坐標(biāo)標(biāo)示如圖（圖中用奇數(shù)下標(biāo)表示的像點(diǎn)S1、S3、S5、S7為通過平面鏡M1所成的像點(diǎn)，用偶數(shù)下標(biāo)表示的像點(diǎn)S2、S4、S6、S8、為通過平面鏡Mz所 成的像點(diǎn)）。1、各像點(diǎn)的位置由圖可以看到，物點(diǎn)s和各像點(diǎn)Si、S2、S3、S4、都在以。為 圓心，半徑為R的圓周上，各像點(diǎn)的位置可以用極坐標(biāo)的極徑和極角 確定，各像點(diǎn)的極角如下表（表中n=3, 7, 11, 15,等奇數(shù)）。 且像點(diǎn)Sn與Snj的極角互為相反數(shù)。像點(diǎn)極角像點(diǎn)極角S 1aS22 0 aS3一(

5、2 0 a )S42 0 + aS5-(2 0 + a )S64 0 aS7一(48 a )S 84。+ aS9(4 8 + a )S io6 0 aS n-1S S n+1S n+22、成像的個數(shù)由圖 3 可以看到，Z S 10 S2= 2 0 , NS30s4=4 8, Z S50 S 6= 6 9 , NS70s8=8 0 , Z S 9 0 S io= 10 0 ,其余類推。因此可以得出：當(dāng)兩平面鏡鏡面夾角為0 ° （0° W。W180。）時，物 點(diǎn)S經(jīng)兩平面鏡所成的像的個數(shù)為m = 2X360° 4-2 9 即 m=36O+04對上式，有幾點(diǎn)必須說明：（

6、1）.當(dāng)m為偶數(shù)時，成像個數(shù)為m,但最后兩個像重合于同一點(diǎn)， 且在SO直線上，該點(diǎn)與O點(diǎn)距離等于OS,所以實(shí)際看到的像是（m -1 ）個。例如，當(dāng)。= 60°時，成6個像，而實(shí)際看到的像是5個 （如圖4 ）。6（2 ）.當(dāng)m為奇數(shù)時，成像個數(shù)與實(shí)際看到的像的個數(shù)都為m。例如 當(dāng)。=7 2 °時，m= 5 ,所成的像和實(shí)際看到的像都是5個（如圖 5 ）（3） .當(dāng)m為非整數(shù)時，成像個數(shù)與看到的像的個數(shù)一致，但可能是 小于m的最大整數(shù)，也可能是大于m的最小整數(shù)（不能采用四舍五入 的規(guī)則），這要根據(jù)物點(diǎn)的位置而定。例如，當(dāng)。=50°時，m=7.2, 即成像可能是7個也可

7、能是8個，當(dāng)a =25°時，成8個像（如圖6 ）, 當(dāng)a=10°時，成7個像（如圖7）。圖6（4） .當(dāng)0 = 0°時，R-oo,成像為無限多個。（5 ）.當(dāng)0=180。時，m=2,即成像為2個，實(shí)際看到的像是1 個，相當(dāng)于單塊平面鏡成像的情況。（6 ）當(dāng)兩鏡面的夾角大于180。時， 當(dāng)物點(diǎn)在兩鏡背面的夾角的對角范圍 內(nèi)時則成兩個像（否則只是單個平面 鏡成像），因?yàn)榇藭r從物點(diǎn)發(fā)出的光 線經(jīng)其中一平面鏡反射后不能再射到 另一平面鏡上（如圖8）。三、兩平面鏡組合成像規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用得出上述規(guī)律之后，我為培優(yōu)小組的學(xué)生講解這個規(guī)律及推導(dǎo)過 程，他們對這個規(guī)律表現(xiàn)出濃厚的興趣，并應(yīng)用這個規(guī)律來解決課外 練習(xí)上的同類問題。例如，學(xué)生在末掌握兩平面鏡組合成像的規(guī)律之 前采用作圖法討論兩鏡面成30。角時的成像個數(shù)，有的成10個像，有 的成11個像，有的成12個像（最后兩個像不重合），到底應(yīng)成多少個 像呢？學(xué)生覺得不可思議，當(dāng)學(xué)生掌握這一成像規(guī)律后，就輕易地解 決了這一問題。對此，學(xué)生的體會是：把作圖法和計算法結(jié)合起來， 解答這類問題便更加簡單、準(zhǔn)確。由此，我深深體會到，教師在教學(xué)中不但要幫助學(xué)生理解和掌握教 材中已經(jīng)得出的規(guī)律，而且要善于歸納和推導(dǎo)教材中沒有給出的規(guī)律, 以指導(dǎo)和幫助學(xué)生解決有