二次函數(shù)教案

1、二次函數(shù)知識(shí)占八、一、二次函數(shù)概念：1.二次函數(shù)的概念：般地，形如y axbx c(a, b, c是常數(shù)，a 0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。【注意】和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0，而b ,c可以為零.二 次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2.二次函數(shù)y ax2bx c的結(jié)構(gòu)特征：等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，x的最高次數(shù) 是2.a, b , c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).例：？?=(?- 2)?2-?是關(guān)于X的二次函數(shù)，則m=()A.-1B.2C.-1或2D.m不存在二、二次函數(shù)的基本形式a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x

2、 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y有最小值0.向下y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0.1.二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì)：由此可知:a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小2.y ax2c的性質(zhì)：上加下減a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值c.向下y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c.3.y a x h彳的性質(zhì)：左加右減a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨

3、x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值0.向下X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0.4.y a x h k的性質(zhì):a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=hX h時(shí)，y隨X的增大而增大；x h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小值k.向下X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，例：已知以X為自變量的二次函數(shù)y (m 2)x2m2m 2的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，貝 Sm的值是三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式坐標(biāo)

4、h, k;k，確定其頂點(diǎn)保持拋物線(xiàn)y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h ,k處，具體平移方法如下:* y=a 只+k2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；K值正上移，負(fù)下移”.概 括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.方法二：(1) y ax2bx c沿y軸平移：向上(下)平移m個(gè)單位，y ax2bx c變成y ax2bx c m(或y ax2bx c m)y ax2bx c沿x軸平移：向左(右)平移m個(gè)單位，y ax2bx c變成y a(x m)2b(x m) c(或y a(x m)2b(x m) c)例:將一拋物線(xiàn)向下向右各平移2個(gè)單位得到拋物線(xiàn)的解析式為?= -?2,則原拋物

5、線(xiàn)的解析式是()A. ?= -(? - 2)2+ 2B. ? -(? + 2)2+ 2C.?= -(? + 2)2- 2D. ? -(? - 2)2- 2向上(k0)【或向下 k0) 【或下:k0)或左(h0)或左:h0)或左(h0)或下0)】平移IK個(gè)單位22四、二次函數(shù)yaxh k與yax bx c的比較從解析式上看，y ax h k與y ax2bx c是兩種不同的表達(dá)形式,2 2后者通過(guò)配方可以得到前者，即y a X 24a，其中2a4a, b 4ac b2h，k2a4a五、二次函數(shù)y ax2bx c圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2

6、k，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸 兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸 的交點(diǎn)0 , C、以及0,c關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)2h ,c、與x軸的交點(diǎn)xi,0,X2，0(若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)).畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)， 與y軸的交點(diǎn).例：已知二次函數(shù)？?= ? ? ?(? 0)的圖像如圖，則下列說(shuō)法：1c=0;該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-1;當(dāng)x=1時(shí),y=2a?+ ?+ ? 0(?工-1).其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4練習(xí)：(1) 二次函數(shù)y ax2bx c的圖像如圖1,則點(diǎn)M (

7、b,E)在()aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖2所示，？則下 列結(jié)論：a、b同號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0;當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)(1)(2)六. 二次函數(shù)y ax2bx c的性質(zhì)1當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x R，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab 4ac b22a 4a 當(dāng)x A時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，y隨X的增大而2a2a2增大；當(dāng)X A時(shí)，y有最小值4aA.2a 4a2當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x A，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a

8、當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x衛(wèi)時(shí)，y隨x2a2a例：如果二次函數(shù)？?= ?咎?的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程？?各?= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話(huà)的理解，解決下面的問(wèn)題：若m,n(mn)是關(guān)于x的方程1 - (x- a)(x -b) = 0的兩根，且(a b),則a,b,m,n的大小關(guān)系是()A.m a b nB. a m n bC. a m b nD. m a n b七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一 般式：y ax2bx c(a，b，c為常數(shù)，a 0)；2.頂點(diǎn)式：y a(x h)2k(a，h，k為常數(shù)，a 0)；3.兩根式：y a(x xj(x X2)(a

9、0，為，x?是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)).注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所 有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)即b24ac 0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析 式的這三種形式可以互化.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類(lèi)型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：例：已知一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(0,3),(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x5，求這3條拋物線(xiàn)的解析式。八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)ab 4ac b22a 4a的增大而減??；當(dāng)x2ba時(shí)，y有最大值窖二次函數(shù)y ax2bx c中，a作為二

10、次項(xiàng)系數(shù)，顯然a 0.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越 小，開(kāi)口越大；當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越 大，開(kāi)口越大.總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi) 口方向，a的大小決定開(kāi)口的大小.2.一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.在a 0的前提下，當(dāng)b 0時(shí)，舟0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；當(dāng)b 0時(shí)，A 0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；當(dāng)b 0時(shí)，衛(wèi)0,2a2a即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè).在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b 0時(shí)，0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)；2a當(dāng)b 0時(shí)，

11、舟0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；當(dāng)b 0時(shí)，衛(wèi)0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來(lái),在a確定的前提下,b決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸x在y軸左邊則ab 0，在y軸的2a右側(cè)則ab 0,概括的說(shuō)就是“左同右異”總結(jié)：3.常數(shù)項(xiàng)c當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在X軸上方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的 縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)所以，c決定了拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置.從而我們就知道，只要a ,b ,c都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的.例:如圖，如

12、果函數(shù)y kx b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2bx 1的圖像大致是()練習(xí)：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,0)、(xi,0)，且1xi2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O, 2)的下方.下列結(jié)論：ab04a+c0,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù) 為()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案：D二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待 定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)， 選擇適當(dāng)?shù)男问剑?才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1.已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（小）值，一般

13、選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)y ax2bx c關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bx c；y a x h彳k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y a x k；2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)y ax2bx c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h? k關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h? k；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y ax2bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h? k關(guān)

14、于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h? k；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180）y ax2bx c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2bx c -b-；y ax h? k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax h? k.5.關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱(chēng)y a x h彳k關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是2y a x h 2m 2n k例：已知拋物線(xiàn)y=x2+x-.22(1) 用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸.(2) 若該拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A B,求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).所以根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀 一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá) 式時(shí)

15、，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是 先確定原拋物線(xiàn)(或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn))的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向， 再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向， 然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物 線(xiàn)的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況)：一兀次方程ax2bx c 0是二次函數(shù)y ax2bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí) 的特殊情況圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):當(dāng)b24ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A xi,0 , B x2,0 區(qū) x?),其中的xi,X2是一元二次方程ax2bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間2當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);3當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)

16、有交點(diǎn).1當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y 0;2當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y 0.2.拋物線(xiàn)y ax2bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):的距離AB X2Xi.b24aca求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn) 化為頂點(diǎn)式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2bx c中a，b，c的符號(hào)，或 由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，

17、或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另 一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).(5)與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bx c(a 0)本 身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a 0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、 二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交占八、二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正兀次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且 次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x

18、=2，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A.（2，-3）B.（2，1）C.（2，3）D.（3,2）答案：C例:已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，10)，交x軸于A(Xi,O),B(X2,0)兩點(diǎn)(XiX2)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿(mǎn)足3A0=0B(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M使 銳角/MCONACO若存在，請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不 存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由(1)解：如圖T拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A(Xi,O) ,B(x2,O)，則XiX2=30,又TXiQ xi0,T30A=OB二X2=-3xi.Xi X2=-3Xi2=-3Xi2=1.Xi0,二Xi=-1.二.X2=3.