空間解析幾何復(fù)習(xí)資料

1、空間解析幾何練習(xí)題1. 求點(diǎn) M (a, b, c) 分別關(guān)于( 1) xz 坐標(biāo)面( 2) x 軸( 3)原點(diǎn) 對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)2. 設(shè) A( 3, x, 2)與 B(1, 2, 4) 兩點(diǎn)間的距離為 29 ，試求 x3. 證明 A(1, 2, 3) B(3, 1, 5) C(2, 4, 3) 是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)4. 設(shè) ABC 的三邊 BC a ， CA b， AB c ，三邊的中點(diǎn)依次為 D，E，F(xiàn)，試用向量 a b c 表示 AD ， BE ， CF ，并證明： AD BE CF 0 5. 已知： a i j 2k ， b 3i j k 求 2a 3b， 2a 3b 6. 已知：向

2、量 a 與 x軸， y軸間的夾角分別為 600， 1200求該向量 a與 z 軸間的夾角 7. 設(shè)向量 a的模是 5，它與 x軸的夾角為 ，求向量 a在 x軸上的投影48. 已知： 空間 中的三 點(diǎn) A(0, 1, 2) ， B( 1, 3, 5) ， C(3, 1, 2) 計(jì)算：2AB 3AC ， AB 4AC9. 設(shè)a 2, 0, 1 ，b 1, 2, 2 試求 a b， 2a 5b，3a b10. 設(shè)： a 2, 2, 1 ，試求與 a 同方向的單位向量11. 設(shè)： a 3i 5j 2k ，b 2i 4j 17k，c 5i j 4k， u 4a 3b c試求( 1)u在 y軸上的投影；

3、( 2) u在 x軸和 z軸上的分向量； ( 3) u 2212. 證明： (a b) (a b ) a b 13. 設(shè)： a 3, 0, 1 ，b 2, 1, 3 求 a b ，(a b)14. 設(shè)a 2i x j k，b 3i j 2k且 a b 求x15. 設(shè) a 0, 1, 2 ，b 2, 1, 1 求與 a和 b 都垂直的單位向量16. 已知：空間中的三點(diǎn) A(1, 1, 0)， B( 2, 1, 3)，C(2, 1, 2)求 ABC的面積17. (1)設(shè) ab求 a b(2)若 a b 1求 a b18. 設(shè) a 3， b 5 ，試確定常數(shù) k使 a kb， a kb相互垂直19.

4、 設(shè)向量 a 與 b 互相垂直， ( a c) ， (b c) ，且 a 1， b 2 ， 36c 3 求 a b c 20. 設(shè)： a i 3j 5k，b2i j 3k求 a b21. 設(shè)： a 3i 6 j k ， b i 4 j 5k 求( 1) a a ；(2)(3a 2b) (a 3b)；(3)a與b 的夾角22. 設(shè)： (a b) 且 a 1 ， b 3 ，求 a b 623. 設(shè)： a 1, 1, 2 ， b 1, 2, 1 ，試求：( 1) a b ；(2) a b；(3) cos(a b) 24. 已知： a 3 ， b 26 ， a b 72 ，求 a b 25. 設(shè) a與

5、b相互垂直，且 a 3， b 4 ，試求( 1) (a b) (a b) ；(2) (3a b) (a 2 b) 26. 設(shè)： a b c 0 證明： a b b c c a27. 已知： a 3i 2j k ，b i j 2k ，求( 1)a b；(2)(a 2b) (2a 3b)；(3)(a b) i (4)a i b28. 求與 a 2, 2, 1 b 8, 10, 6 都垂直的單位向量29. 已知： a 3, 6, 1 ， b 1, 4, 5 ， c 3, 4, 12 求(a c)b (a b)c 在向量 c 上的投影30. 設(shè)： a b c d ， a c b d 且 b c ， a

6、 d 證明 a d 與 b c 必共線31. 設(shè)： a 3b與7a 5b垂直， a 4b 與7a 2b垂直，求非零向量 a與b的夾 角32. 設(shè)： a 2, 3, 6 b 1, 2, 2 向量 c在向量 a與b 的角平分線 上，且 c 3 42 ，求向量 c 的坐標(biāo)33. 設(shè)： a 4， b 3，（a b）求以 a 2b和a 3b為邊的平行四邊形面積34. 求過點(diǎn) P0（7, 2, 1），且以 n 2, 4, 3 為法向量的平面方程35. 過點(diǎn) P0（1,0,1） 且平行于平面xy3z5的平面方程36. 過點(diǎn) M（1,3,2）且垂直于過點(diǎn)A（2,2,1）與 B（3, 2, 1）的平面方程37.

7、 過點(diǎn) A（3,1,2）， B（4, 1,1） ， C （2, 0, 2） 的平面方程38. 過點(diǎn) P0（2,1, 1）且平行于向量 a2,1,1 和b 3, 2, 3 的平面方程39. 過點(diǎn) M o（1， 1， 1）且垂直于平面 x y z 1 0及2x y z 1 0的平面方 程40. 將平面方程 2x 3y z 18 0 化為截距式方程，并指出在各坐標(biāo)軸上的截距41. 建立下列平面方程（ 1）過點(diǎn)（ 3 ， 1 ， 2 ）及 z 軸；（2）過點(diǎn) A（ 3，1， 2 ）和 B（3，0，5）且平行于 x 軸；（ 3）平行于 x y 面，且過點(diǎn) A（ 3 ，1， 5）；（4）過點(diǎn) P1（1，

8、5，1）和 P2（3，2， 2 ）且垂直于 x z 面42. 求下列各對(duì)平面間的夾角（1） 2x y z 6， x y 2z 3 ；（2） 3x 4y 5z 9 0， 2x 6y 6z 7 043. 求下列直線方程（1）過點(diǎn)（ 2， 1， 3 ）且平行于向量 s3，2，1 ；（2）過點(diǎn) Mo（3，4， 2）且平行 z 軸；（3）過點(diǎn) M 1（1，2，3）和 M2（1，0，4）；（4）過原點(diǎn)，且與平面 3x y 2z 6 0 垂直44. 將下列直線方程化為點(diǎn)向試方程1）x 2y 3z 4 0；3x 2y 4z 8 02）x 2y 2 ；y z 43）3x 2z 1 0yz045. 將下列直線方程

9、化成參數(shù)式方程1）x 5y 2z 1 0 ；5y z 22)246. 求過點(diǎn)（ 1，1，1）且同時(shí)平行于平面x y 2z 1 0及 x 2y z 1 0 的直線方程47.求過點(diǎn)（ 3，1，48.x11 64求下列各對(duì)直線的夾角 x 1 y z 4（1）1 2 7求通過兩直線x 4 y 3 z2 ）且通過直線的平面方程21x 1 y 1 z 1的平面方程1z12x6122）5x 3y 3z 9 03x 2y z 1 02x 2y z 23 03x 8y z 18 049.x 1 y 證明直線41z1x 7y z 0 相互平行x y z 2 050.設(shè) 直線 l 的 方程 為 ：x11求 n 為

10、何 值 時(shí) ,直 線 l 與 平 面 n2x y z 5 0 平行？51. 作一平面，使它通過 z 軸，且與平面 2x y 5z 7 0的夾角為 3 52. 設(shè)直線 l 在平面 : x y z 1 0 內(nèi)，通過直線 l1 :與平面 的交點(diǎn)，且與直線 l1 垂直、求直線 l 的方程 53. 求過點(diǎn)（ 1， 2，1）而且與直線x 2y z 1 0x y z 1 02x y z 0 平行的平面方程xyz0y z 1 0x 2z 054. 一動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于它到平面 z 4 0 的距離，求它的軌跡方程55. 直線 l :2x y 1 032xx zy 21 00 與平面 : x 2y z 1

11、0 是否平行？若不平行，求直線 l與平面 的交點(diǎn)，若平行，求直線l 與平面 的距離x 3 4tx156. 設(shè)直線 l 經(jīng)過兩直線 l1 :1z 5，l2 :3: y 21 5t 的交點(diǎn)，而且與直線 z 11 10tl1與 l2 都垂直，求直線 l 的方程57.已知直線： l1 :x y z 1 0 2x y z 4 0及點(diǎn) p（3， 1，2） 過點(diǎn) p 作直線 l 與直線l1垂直相交，求直線 l 的方程58.方程： x2 y2z2 4x 2y 2z 19 0 是否為球面方程，若是球面方程，求其球心坐標(biāo)及半徑59. 判斷方程：22y2 z2 2x 6y 4z 11 是否為球面方程，若是球面方程，

12、求其球心坐標(biāo)及半徑60.將曲線：z25x繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程y061.將曲線：224x2 9y2 36繞 yz0軸旋轉(zhuǎn)一周，求所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程62.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的2x1) x32z 10 ；322) x2 y z242；63.2 2 23) x y z1；224) (z a) x2y指出下列方程在空間中表示什么樣的幾何圖形221) 3x2 4y2 1；2x2)22y2 1 ；323) z2 4x ；24) 4y2自測(cè)題 (A)(一 ) 選擇題1點(diǎn) M (4, 1,5) 到 x y 坐標(biāo)面的距離為( )A 5B4C1D 422點(diǎn) A (2, 1,3) 關(guān)于 y

13、 z 坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)( )A(2, 1, 3) B( 2, 1,3) C (2,1, 3)D( 2,1, 3)3已知向量 a 3,5, 1,b 2,2,2 ,c 4, 1, 3 ，則 2a 3b 4c ()A 20,0,16B 5,4, 20 C 16,0, 20 D 20,0,164設(shè)向量 a 4i 2j 4k ，b 6i 3j 2k ，則 (3a 2b)(a 3b)=()A 20B 16C 32D 325已知： A(1,2,3),B(5, 1,7),C(1,1,1),D(3,3,2)，則 prj AB=()1A 4B1CD 226設(shè) a 2i j k，b i 2j k，則(a b) (

14、a b) ( )A i 3j 5kB 2i 6j 10kC 2i 6j 10kD3i 4j 5k7設(shè)平面方程為 x y 0 ，則其位置( )A 平行于 x 軸B平行于 y 軸C平行于 z 軸D過 z 軸8平面 x 2y 7z 3 0 與平面 3x 5y z 1 0 的位置關(guān)系()A 平行 B垂直C相交 D重合x 3 y 4 z9直線與平面 4x 2y 2z 3 0 的位置關(guān)系( )2 7 3A 平行B垂直C斜交D直線在平面內(nèi)y1010設(shè)點(diǎn) A(0, 1,0) 到直線 的距離為( )x 2z 7 01 11A 5B CD 658(二) 填空題1設(shè) A( 3, x,2)與B(1， 2，4)，兩點(diǎn)間

15、的距離為 29，則x 2設(shè) ua 3b 2c ， v 2a b c ，則 2u 3v 3當(dāng) m= 時(shí)， 2i 3j 5k 與 3i mj2k 互相垂直4設(shè) a 2ijk，b i 2j 2k ，c 3i 4j2k，則prjc(a b) = 4 設(shè) a 2ijk ， b i 2j 3k ，則 (2a b)(a 2b) = 5 與 A(3,2, 1)和B(4, 3,0) 等距離的點(diǎn)的軌跡方程為 6 過點(diǎn)(5，1，7)，(4，0， 2)且平行于 z 軸的平面方程 7 設(shè)平面： x y z 1 0,與2x 2y 2z 3 0 平行，則它們之間的距離8 過點(diǎn)(2， 8，3)且垂直平面 x 2y 3z 2

16、0 直線方程為 2 2 210曲面方程為： x2 y2 4z2 4 ，它是由曲線 繞旋轉(zhuǎn)而成的(三) 解答題1求平行于 a 6,3, 2 的單位向量 2已知作用于一點(diǎn)的三個(gè)力 F12,3, 4 ,F2 1,2,3 , F3 3, 4,5 求合力的大小與方向3 如果 a 2, 1,1 ， b 1,2, 1 求a 在 b上的投影4 用向量方法，求頂點(diǎn)在 (2, 1,1), (1, 3, 5),(3, 4, 4) 的三角形的三個(gè)內(nèi)角5 設(shè) a i 2k ， b 2i j k ， c i 2j 2k ，試將下列各式用 i, j,k 表示(1) (a b) c； (2) (a b) (a c)6 求經(jīng)過

17、點(diǎn)( 1,2,0)且通過 z 軸的平面方程7在平面 x y 2z 0上找一點(diǎn) p，使它與點(diǎn) (2,1,5), (4, 3,1) 及( 2, 1,3)之間的 距離相等8 求過 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 的圓的方程，并求該圓在坐標(biāo)平面 x y 上的投影 曲線方程9求過點(diǎn)( 1,2,1)且同時(shí)平行 2x 3y z 1 0和 3x y z 5 0兩平面的直線 方程10方程： 2x2 y2 z2 1表示什么圖形？自測(cè)題( B)(一 ) 選擇題1設(shè)2, 3,1,b 1, 1,3,c 1, 2,0 ，則 (a b) c (AB10C 0, 1, 1D 2,1,212設(shè)1, 1,2 ,b

18、 2, 2,2 ，則同時(shí)垂直于 a 和 b 的單位向量(A1 1 1 1 , ,0 B 2 ,2,0C 2, 2,0D 2,2,03若a 6i 3j 2k，b / a，且14，則b (A(12i 6j 4k)B (12i 6j)C (12i 4k)D(6j 4k)4若M1(1,1,1),M 2 (2,2,1), M 3 (2,1,2)，則M 1M 2與M1M 3的夾角AB2C3D45過M1(2， 1，4), M 2 ( 1，3， 2)和M 3 (0，2，3) ，的平面方程(A14x 9y z 15 0B 2x 7y 8z 6 0C14x 9y z 15 0D 14x 9y z 15 06求平面

19、 x y 2z 6 0與平面 2x y z 5 0 的夾角(A2B6C3D47直線A1 x B1y C1z D1 01 1 1 1 各系數(shù)滿足(A2 x B2y C2z D2 0條件，使它與 y 軸相交A A1 A2 0BB1D1C C1 C2B2 D2D D1 D2 08設(shè)點(diǎn) M o(3, 1,2)，直線 l x y z 1 0 ，則2x y z 4 0MO到的距離為(32A2B35535 C4D29直線 x1 2y 3 z 4y 3 z24與平面 2x y z 6夾角為A30oB60oC90oD arcsin 5610過點(diǎn) ( 1, 2, 5) 且和三個(gè)坐標(biāo)平面都相切的球面方程(2 2 2

20、 2A (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 522 2 2B (x 5)2 (y 5)2 (z 5)2522 2 22C (x 2)2 (y 2)2 (z 2)2 522 2 2D (x 5)2 (y 5)2 (z 5)252(二) 填空題1設(shè)a i 2j 3k ，b 2i j ，c i j k ，則a b與c是否平行2設(shè) a 3,5,8 ， b 2, 4, 7 ， c 5,1, 4 ，則 4a 3b c在 x 軸上的投影3化簡：(a b c) c (a b c) b (b c) a4直線 l5x 3y 2z 5 0 和平面 :4x 3y 7z 7 0 的2x y z 1 0置關(guān)系5過直

21、線4x y z 1 0 且與 x 軸平行的平面方程x 5y z 2 06原點(diǎn) (0,0,0)到平面2x y kz 6，的距離為 2，則k7與平面 2x y 2z 5 0 ，且與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成的四面體體積為1 的平面方程8動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)( 0,0,5)的距離等于它到 x 軸的距離的曲面方程為2 2 29曲面方程： 16x2 9y2 9z2 25 則曲面名稱為z 2 x 2 y210曲線2 2 在 y z 面上的投影方程 z （x 1）2 （y 1） 2（三） 解答題1設(shè) a 1,1,1, b 0,1,1, c 1,1,0并令 d xa yb zc（x ,y ,z 為數(shù)量）求 （1）d ； （2）當(dāng)

22、d 1,2,3時(shí)， x, y, z2求平行于 a 6,3, 2 的單位向量3確定 k 值，使三個(gè)平面： kx 3y z 2,3x 2y 4z 1,x 8y 2z 3 通過同 一條直線4已知兩個(gè)不平行的向量 a與b，a b 2， a 1， b 4，設(shè) c 2（a b） 3b， 求（ 1） a （b c） ； （2） c ； （3） b與c的夾角余 弦5求以向量 i j, j k,k i 為棱的平行六面體的體積6垂直平分連接 A（ 4,3, 1）, B（2,5,3） 的線段的平面方程7求與平面 2x 6y 3z 4 平行平面，使點(diǎn) （3,2,8）為這兩個(gè)平面公垂線中點(diǎn)8在平面 x y 2z 0上找

23、一點(diǎn) p 使它與點(diǎn) （2,1,5）, （4, 3,1）及（ 2, 1,3）之間的距離 相等229方程： 4x2 y2 8x 4y 4 0 表示什么曲面？222x2 y2 z2 6x 4y 09 方程組圖形是什么？若是一個(gè)圓，求出它的中心與2x y 2z 1 0半徑參考答案4）第掛限練習(xí)題1（1）第掛限；（2）第掛限；（ 3）第掛限；2可能在第、掛限2) (a, b, c) ；3) ( a, b, c) 3（1） （a, b,c）；4 x 1或x5 5略6算出距離后，證明滿足勾股定理7M (0, 3,0) 8a9A1A2u；A2A3u v ；A3A4v；A4A5u；A5A6(u v)；A6 A1

24、v 10當(dāng) a與 b方向相同時(shí)等號(hào)成立 118a 9b 7c 12AD13AA'1(AB AC) 21(AB AC) ；211BB' (AC 2AB) ； CC' (AB 2AC)2214ADBE a b ；2cCF b c2152a 3b 11i j k ；2a 3b7i 5j 7k 1645 或135 17x1 x2中點(diǎn) x x1 2x2,yy1 y22z1,z2z21852 2 19A( 2,3,0) 202AB 3AC 11,8,18, AB 4AC 11,4, 13 21a b 1,2,1, 2a 5b 9, 10, 12,3a b 7, 2, 5222 2

25、1 單位向量為 32, 23,31 231） 7； （2） u 在 x 軸的分向量 13i ， u 在 z 軸的分向量 9k ；3) u 299 24利用數(shù)量積運(yùn)算法則9 35 25 a b 9 ； (a b) arccos 7026272829303132333435363738394041424344454647x =4單位向量：1(i 4 j 2k) S ABC 2 17 (1)若 a與b 同向，則a b a b ，若 a 與 b 反向，則 a b a b2) cos(a b) 3 k5a b c 17 6 3 a b 16 81)46； (2) 2； (3) (a b) arccos

26、4833211)3； (2) 3i 3j 3k ； (3) 2 301)24； (2) 60略1)3i 7j 5k； (2) 21i 49j 35k ； (3) j k；4)i 2j 141 2 2 13, 23 ,32423713提示：驗(yàn)證 (a d) (b c)是否為 0(a b) ，提示： c d則 c d 0 3c 3,15,12,或c 3. 15. 12 302x 4y 3z 3 0 x y 3z 4 0 x 2z 3 0 3x 3y z 8 0 5x 3y 7z 0 y z 2 0截距式： x y z 1 ，在 x y ,z 軸截距分別是 9, 6,189618(1)平行于x z

27、面；(2)過原點(diǎn)；(3) 平行于 z 軸；(4)平行于 x 軸且過原點(diǎn)1)x 3y 0 ； (2) y z5 0； (3) z 50；(4) 3x 2z 51)；(2)32x2y1z3x 3 y4 z 2 ；(1)；(2)；321001x1y2z3xyz(3)；(4)021312x4y6z 4 ；x 2 yz4(1)；(2)；2138211x1y1z1(3)233x2 5tx 6 2t(1) y1 t ；(2) y 2z3 5tz 1 5t8x 9y 22z 59 0 5x 3y z 1 0 1)22 arccos272) 2n=4x 3y 0 或 3x y 0 x y 1 z48495051525354555658596061626364666768692 3 1 7022x2 y28(z 2) 711l/ ,l與 間的距離為 1672x17365x34y 1622y11z137z2174球心：(2,1, 1) ，半徑 575球心：(1, 3,2) ，半徑 5762y2 z2 5x 774x2229y2 4z2 36 781)由322x2 y2 104 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成 z03)(4)79802y24 z0x222y02 (z a)2 y01)3)1)2 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成1繞 x2x繞z母線平行于母線平行于軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成軸