1.5.1曲邊梯形的面積.PPT

1、.1.2三國時期的數(shù)學家劉徽的割圓術“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽當邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積.3三國時期的數(shù)學家劉徽的割圓術“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽當邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積.4“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術：劉徽在九章算術注中講到劉徽當邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積.5觀察圖觀察圖1 1和圖和圖2 2，如何求直邊圖形的面積？，如何求直邊圖形的面積？圖圖3 3中，如何求曲邊圖形的面積？中，如何求曲

2、邊圖形的面積？xy0 xy0直線直線幾條線段連成的折線幾條線段連成的折線曲線？曲線？xyo.6 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標系中，由在直角坐標系中，由連續(xù)曲線連續(xù)曲線y=f(x)y=f(x)，直線，直線x=ax=a、x=bx=b及及x x軸所圍成的圖形叫做軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。曲邊梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b.7 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點來代替點P附附近的曲線，也就是說：在點近的曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以看附近，曲線可以看作直線（作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲即在很小范圍內(nèi)以

3、直代曲）P放大放大再放大再放大PPl.8 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得.9A A1+ A2用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2.10A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4.11 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，

4、陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 .12（1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個區(qū)間的長度為過各區(qū)間端點作過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個小個小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy例例1.1.求拋物線求拋物線y=xy=x2 2、直線直線x=1x=1和和x x軸所圍成的曲邊梯軸所圍成

5、的曲邊梯形的面積形的面積。.1335.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo 軸的直線段近似用平行于就是從圖形上看值處的函數(shù)等于左端點不妨認為它近似地個常數(shù)近似等于一的值變化很小可以認為函數(shù)上在區(qū)間很小時即很大當如圖記近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 .1435.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 則有以直代曲即在局部小范圍內(nèi)近似地代替的面積用小矩形上間在區(qū)這樣圖邊地代替小曲邊梯形的曲

6、.15 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 為中陰影部分的面積圖由求和n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 612113nnnn.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值從而可得 .6121121222 nnnn可以證明.16 .31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 從而有趨向于時于趨向即趨向于無窮大當可以看到圖等份等分成分別將區(qū)間取極限 55.1圖圖oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.17.勢

7、數(shù)值上看出這一變化趨我們通過下表還可以從n1 , 0的的等等分分數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間nSS的的近近似似值值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0.18 ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情況又怎樣情況又怎樣作為近似值作為近似值的函數(shù)值的函數(shù)值處處取任意取任意嗎嗎這個值也是這個值也是若能求出若能求出的值嗎的值嗎用這種方法能求出用這種方法能求出處的函數(shù)值處的函數(shù)值點點上的值近

8、似地等于右端上的值近似地等于右端區(qū)間區(qū)間在在如果認為函數(shù)如果認為函數(shù)中中近似代替近似代替在在探究探究 .19 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin(過剩近似值).20 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(過剩近似值).21 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值處的值點上任意一在區(qū)間取可以證明abxy xfy o af bf15.1 圖圖.,15.1,值的方法求出其面積值的方法求

9、出其面積似代替、求和、取極似代替、求和、取極也可以采用分割、近也可以采用分割、近我們我們所示的曲邊梯形所示的曲邊梯形對如圖對如圖一般地一般地限限.221. 當當n很大時，函數(shù)很大時，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替。近似代替。 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f練 習.23B2 2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.A.只能是左端點的函數(shù)值只能是左端點的函數(shù)值B.B.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值C.C.只能是右端點的函數(shù)值只能是右端點的函數(shù)值 D.D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxf1,iixx.24小結小結: :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y=f(x)y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法對應的曲邊梯形面積的方法2.2.有理由相信，分點越來有理由相信，分點越來越密時，即分割越來