《事件的獨(dú)立性》PPT課件

1、1.5 1.5 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性()P A B普通地普通地( )P A但在有些情況下，但在有些情況下，并不影響事件并不影響事件事件事件B B發(fā)生與否發(fā)生與否A A發(fā)生的時(shí)機(jī)發(fā)生的時(shí)機(jī). .當(dāng)事件當(dāng)事件B B對(duì)事件對(duì)事件A A沒有任何影響時(shí)沒有任何影響時(shí), ,應(yīng)有應(yīng)有B( )P A其中其中( )0P B 當(dāng)事件當(dāng)事件A A對(duì)事件對(duì)事件B B沒有任何影響時(shí)沒有任何影響時(shí), ,應(yīng)有應(yīng)有P B( )P B其中其中( )0P A 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , ( )0P B ( )P B()P AB()P A B( )P A( )P A()P AB( )P A( )P B當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , ( )0P A (

2、 )P A()P AB()P B A( )P B( )P B()P AB( )P A一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性P AA( )P B發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率 定義定義1.4 1.4 推論推論1 1 那么那么定義定義 滿足等式滿足等式,A B假設(shè)兩個(gè)事件假設(shè)兩個(gè)事件()P AB ( ) ( )P A P B簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 與與 獨(dú)立獨(dú)立. .AB那么稱事件那么稱事件 與與 AB是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的, ,對(duì)于兩個(gè)事件對(duì)于兩個(gè)事件A A與與B B 假設(shè)假設(shè) ( )0P B 與與 獨(dú)立獨(dú)立AB( )P A()P A B那么那么( )P B()P B A兩個(gè)事件兩個(gè)事件 與與

3、A,B假設(shè)其中任何一個(gè)假設(shè)其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率，事件發(fā)生的概率， 都不受另一個(gè)事件發(fā)生與否都不受另一個(gè)事件發(fā)生與否是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. .與與 獨(dú)立獨(dú)立AB那么稱事件那么稱事件 與與 AB的影響的影響, ,假設(shè)假設(shè) ( )0P A 例例 () ()PP BA 所以所以A,BA,B獨(dú)立獨(dú)立. .擲一枚均勻的骰子擲一枚均勻的骰子, ,(1)A(1)A表示表示“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于5 5, ,B B表示表示“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)那那么么( )P A 64( )P B 63()P AB 622312 13 ()P AB (2)A(2)A表示表示“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于4 4, ,B B表示表示“點(diǎn)數(shù)

4、為奇數(shù)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)那那么么() ()PP BA 所以所以A,BA,B不獨(dú)立不獨(dú)立. .( )P A 63( )P B 63()P AB 621212 14 ()P AB 例例 () ()PP BA 所以所以A,BA,B獨(dú)立獨(dú)立. .從一副不含大小王的撲克牌中從一副不含大小王的撲克牌中隨意抽出一張隨意抽出一張, ,記記A A為為 “抽到抽到 , ,K 為為B“抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, ,那那么么( )P A 524( )P B 522612 ()P AB 52245212 252 ()P AB 二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性定義定義1.5 1.5 ()jiP A A假設(shè)其中

5、假設(shè)其中對(duì)對(duì)n n個(gè)事件個(gè)事件兩恣意個(gè)都相互獨(dú)立兩恣意個(gè)都相互獨(dú)立, ,12,.,nA AA(2 )n 有有即對(duì)于即對(duì)于,1,2,., ,i jn ij () ()ijPP AA 那么稱這那么稱這 個(gè)事件個(gè)事件 n兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立. .這里共有這里共有個(gè)等式個(gè)等式. .2nC()jiP A A() ()ijPP AA 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , ()0jP A()jP A()jiP A A()iP A jA iP A()iP A n n個(gè)事件兩兩獨(dú)立個(gè)事件兩兩獨(dú)立, ,即其中任何一個(gè)事件即其中任何一個(gè)事件都不受另一個(gè)事件都不受另一個(gè)事件概率概率發(fā)生的發(fā)生的能否發(fā)生的影響能否發(fā)生的影響. .12,.,ki

6、iiAAA都有都有12(.)kiiiAPAA 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .假設(shè)對(duì)其中假設(shè)對(duì)其中k個(gè)事件個(gè)事件21() (). ()kiiiPP AP AA那么稱這那么稱這 個(gè)事件個(gè)事件 n定義定義1.6 1.6 對(duì)對(duì)n n個(gè)事件個(gè)事件12,.,nA AA(2 )n 恣意恣意( 2)kn2k 時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，3k 時(shí)，時(shí)，kn4k 時(shí)，時(shí)，()jiP A A () ()jiPP AA231()iiiPA AA 132() () ()iiiPP AP AA4312()iiiiA APAA 3412() () () ()iiiiPP APAPAA 12(,.,)nP A AA12() (). ()nP A

7、 P AP A 這里共有這里共有個(gè)等式個(gè)等式. .2nC3nC 4nC .nnC12,.,nA AA相互獨(dú)立相互獨(dú)立12,.,nA AA兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立. .12,.,kiiiAAA都有都有12(.)kiiiAPAA 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .假設(shè)對(duì)其中假設(shè)對(duì)其中k個(gè)事件個(gè)事件21() (). ()kiiiPP AP AA那么稱這那么稱這 個(gè)事件個(gè)事件 n定義定義1.6 1.6 對(duì)對(duì)n n個(gè)事件個(gè)事件12,.,nA AA(2 )n 恣意恣意可以證明可以證明, ,n n個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立, ,即其中任何一個(gè)即其中任何一個(gè)事件能否發(fā)生事件能否發(fā)生都不受另外一個(gè)都不受另外一個(gè)或幾個(gè)事件或幾個(gè)事

8、件生的影響生的影響. .能否發(fā)能否發(fā)如如1562()A A AP A 156()A A AP1562()A A AP A156() () ()AAPP AP 1562() () () ()PPPPAAAA2()P A ( 2)kn12,.,nA AA相互獨(dú)立相互獨(dú)立12,.,nA AA兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立. .例例 其中全紅、全黑、全白色其中全紅、全黑、全白色各一個(gè)各一個(gè), ,另一個(gè)是涂有紅、黑、白三色的彩球另一個(gè)是涂有紅、黑、白三色的彩球. .從中任取一個(gè)從中任取一個(gè), , 事件事件A A、B B、C C 分別表示取到的球上分別表示取到的球上有紅色、黑色、有紅色、黑色、 白色白色, , 判別判別

9、A,B,CA,B,C的獨(dú)立性的獨(dú)立性. .2的球的球解解 P A( ) 4P B( ) P C( ) 2424PCA() PBA() PP BA( ) ( ) PP CA( ) ( ) 1414PCB() PP CB( ) ( ) 14兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立. .PCAB() PP CABP( ) ( ) ( ) 14不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立. .此時(shí)此時(shí), ,PBC A() CP( ) PBA()PBCA()1 即即ABAB同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生影響了影響了C C發(fā)生的時(shí)機(jī)發(fā)生的時(shí)機(jī). .PCB A()BP( ) PCA B()AP( ) 同樣同樣一個(gè)袋中裝有一個(gè)袋中裝有4 4個(gè)球個(gè)球, ,ACB,ACB,

10、思索：思索：A A、B B獨(dú)立獨(dú)立A A、B B互斥互斥A,BA,B互斥互斥A,BA,B不獨(dú)立不獨(dú)立A,BA,B獨(dú)立獨(dú)立A,BA,B不互斥不互斥兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立與它們互斥與它們互斥這兩個(gè)概念有何聯(lián)絡(luò)這兩個(gè)概念有何聯(lián)絡(luò)? ?不影響不影響B(tài) B發(fā)生的發(fā)生的事件事件B B發(fā)生與否發(fā)生與否也不影響也不影響A A發(fā)生的概率發(fā)生的概率. .當(dāng)當(dāng) AB ()0P AB ( ) ( )P A P B ()P AB ( ) ( )P A P B0 AB 事件事件A A發(fā)生與否發(fā)生與否概率概率; ;AB 事件事件A A與與B B不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生. .P A( )0,P B()0 時(shí)時(shí), ,三、

11、相互獨(dú)立的性質(zhì)三、相互獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 中的恣意一部分事件中的恣意一部分事件假設(shè)假設(shè) 個(gè)事件個(gè)事件n12,.,nA AA相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .那么它那么它們們換成各自的對(duì)立事件后換成各自的對(duì)立事件后, ,所得所得也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立. .的的n n個(gè)事件個(gè)事件n=2n=2時(shí)，時(shí)，A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立與與 獨(dú)立獨(dú)立AB與與 獨(dú)獨(dú)立立AB與與 獨(dú)獨(dú)立立ABn=3n=3時(shí)，時(shí)，A,B,CA,B,C相互獨(dú)立相互獨(dú)立,A B C,A B C相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立,A B C相互獨(dú)立相互獨(dú)立P AB P AABPP A P A P B證證 BA 與即即A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立. .P

12、BA() P ABA ()P A P B1()P B P A反之反之, ,那么由上面證明那么由上面證明, ,BA A與與 獨(dú)立獨(dú)立, ,設(shè)設(shè)A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立, ,獨(dú)立獨(dú)立. .與與 獨(dú)立獨(dú)立, ,ABA A與與B B獨(dú)立獨(dú)立與與 獨(dú)立獨(dú)立AB與與 獨(dú)獨(dú)立立AB與與 獨(dú)獨(dú)立立AB 假設(shè)假設(shè)證證相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .性質(zhì)性質(zhì)2 2 假設(shè)假設(shè) 個(gè)事件個(gè)事件n相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .那么那么有有nA AA12,.,nP AAA121nP AAA12 1nP A AA12. 1 nP AP AP A12.nA AA12,.,nA AA12,.,nP AAA12 nP AP AP A

13、121 P ABC P A B C1 PAPBPC 0.6 甲、乙、丙譯出密碼甲、乙、丙譯出密碼“譯出密碼譯出密碼例例 他們能譯出的他們能譯出的概率分別為概率分別為111,534問能將密碼譯出的概率是多少問能將密碼譯出的概率是多少? ?解解 設(shè)設(shè)A B C,分別表示分別表示 A B C,相互獨(dú)立相互獨(dú)立. . D表示表示 DABC 那么那么P D() P ABC1三人獨(dú)立地去破譯一個(gè)密碼三人獨(dú)立地去破譯一個(gè)密碼, ,1 4523343511.47n 12nP A AA設(shè)設(shè)B B表示表示要求要求( )P B 0.999999 0.3n 例例 同時(shí)分別破譯一個(gè)密碼同時(shí)分別破譯一個(gè)密碼, ,假設(shè)每人

14、能譯出的概率都是假設(shè)每人能譯出的概率都是0.7假設(shè)要以假設(shè)要以99.9999%的把握的把握可以譯出可以譯出, ,問問n n至少為幾至少為幾? ?解解 “第第 人譯出密碼人譯出密碼i表示表示 in(1,2,.,) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,12,.,nA AA那那么么從而從而也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立. .12,.,nA AA“密碼被破譯密碼被破譯12.nBAAA ( )P B 12.nP AAA 1 1 12nAP APP A1 1 0.3n10.999999 610 設(shè)設(shè)0.3n 610 n n至少為至少為1212， 才干保證譯出的概率超越才干保證譯出的概率超越99.9999%99.9999% 1(

15、)P B 由由n n個(gè)人組成的小組個(gè)人組成的小組, ,設(shè)設(shè)iA四、貝努利概型四、貝努利概型定義定義只需兩種對(duì)立結(jié)果只需兩種對(duì)立結(jié)果假設(shè)一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)假設(shè)一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)這樣的實(shí)驗(yàn)稱為這樣的實(shí)驗(yàn)稱為貝努利實(shí)驗(yàn)貝努利實(shí)驗(yàn). .例如例如, ,從中隨機(jī)抽取一個(gè)從中隨機(jī)抽取一個(gè)15%進(jìn)展檢驗(yàn)進(jìn)展檢驗(yàn), , 抽取的結(jié)果只需兩個(gè)抽取的結(jié)果只需兩個(gè): :一批產(chǎn)品的次品率為一批產(chǎn)品的次品率為正品或次品正品或次品抽到次品抽到次品0.15 抽到正品抽到正品0.85 拋擲一枚硬幣一次拋擲一枚硬幣一次, ,出正面出正面又如又如, ,結(jié)果只需兩個(gè)結(jié)果只需兩個(gè): :或出反面或出反面. .出正面出正面出反面出反面又如又如, ,p一

16、射手的命中率為一射手的命中率為他射擊一次他射擊一次, ,p( 01) 結(jié)果只需兩個(gè)結(jié)果只需兩個(gè): :擊中或沒擊中擊中或沒擊中. .擊中擊中p 沒擊中沒擊中1p相應(yīng)的概率模型稱為相應(yīng)的概率模型稱為貝努利概型貝努利概型. . P P P P P P0.50.5從而可以把實(shí)驗(yàn)歸結(jié)為從而可以把實(shí)驗(yàn)歸結(jié)為雖然不只兩種，雖然不只兩種，有些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果但假設(shè)我們但假設(shè)我們僅關(guān)懷事件僅關(guān)懷事件A A能否發(fā)生，能否發(fā)生， 那么可以把那么可以把A A作為一個(gè)結(jié)果，作為一個(gè)結(jié)果，把把 作為對(duì)立的結(jié)果作為對(duì)立的結(jié)果. .A貝努利實(shí)驗(yàn)貝努利實(shí)驗(yàn). .設(shè)事件設(shè)事件A A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為定義定義

17、1.71.7 一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列一個(gè)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列一個(gè)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列. .那么此隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列稱那么此隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列稱為為假設(shè)它的各實(shí)驗(yàn)的假設(shè)它的各實(shí)驗(yàn)的結(jié)果之間結(jié)果之間是相互獨(dú)立的，是相互獨(dú)立的，那么事件那么事件 發(fā)生的概率發(fā)生的概率為為A1p q p( 01)p 由一個(gè)貝努利實(shí)驗(yàn)由一個(gè)貝努利實(shí)驗(yàn)定義定義1.81.8獨(dú)立反復(fù)進(jìn)展獨(dú)立反復(fù)進(jìn)展, ,構(gòu)成構(gòu)成的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列稱為貝努利實(shí)驗(yàn)序列稱為貝努利實(shí)驗(yàn)序列. .由一個(gè)貝努利實(shí)驗(yàn)由一個(gè)貝努利實(shí)驗(yàn) 獨(dú)立反復(fù)進(jìn)展獨(dú)立反復(fù)進(jìn)展n n次次, ,隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列隨機(jī)實(shí)驗(yàn)序列構(gòu)成的構(gòu)成的稱為稱為n n 重貝努利實(shí)驗(yàn)重貝努利實(shí)驗(yàn). .每一次實(shí)驗(yàn)

18、每一次實(shí)驗(yàn), , 事件事件A A發(fā)生發(fā)生p,p1q 在在n n 重貝努利實(shí)驗(yàn)中，重貝努利實(shí)驗(yàn)中，的概率都是的概率都是用用X X表示表示重貝努利實(shí)驗(yàn)中重貝努利實(shí)驗(yàn)中n事件事件A A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，能夠取值能夠取值: :XPnkX.210 事件事件 發(fā)生的概率都是發(fā)生的概率都是A0,1, 2, 3,.,nPnkX.210設(shè)設(shè) 表示表示 iA 第第 次發(fā)惹事件次發(fā)惹事件A A iiP A()2p.0P X12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAA()iP Ap1p qnq1P X231.(.nAAPAA 213.nAAAA 11.)nnAAA231.().nA APAA132

19、.()nP A A AA11.).(nnAAPAp1nq1nC2P X312.(.nPAAAA.121.)nnnAAAA2nC2nq132() () (). ()nPPP APAAA.121() (). () ()nnAAAPPP APP Xk11.(. .nkkAAPAA11.).nn kknAAAA .P Xn12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAAnpknCkpn kqnq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp12() (). ()nPPPAAA11(). () ()nnAAPP AP.用用 表示表示X重貝努利實(shí)驗(yàn)中重貝努利實(shí)驗(yàn)中n事件事件A A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)定理定理1.31.3(, , ,., )0 1 2knkp貝努利定理貝努利定理在每一次實(shí)驗(yàn)中在每一次實(shí)驗(yàn)中, ,事件事件A A發(fā)生發(fā)生k k的次的概率為的次的概率為p,p1q 那么在那么在n n 重重的概率都是的概率都是 事件事件 發(fā)生的概率都是發(fā)生的概率都是Ap( 01) 貝努利實(shí)驗(yàn)中，貝努利實(shí)驗(yàn)中，事件事件A A發(fā)生發(fā)生b k n p( ; ;)記記n kqknCPnkX.210.nq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp定理定理1.41.4