在自身倉庫容量有限條件下的隨機存貯策略

1、在自身倉庫容量有限條件下的隨機存貯策略摘要本文旨在通過建模的方法針對貯存和銷售問題，研究在倉庫容量有限，且允許缺貨的條件下建立一個貯存管理模型。通過對期望值的分析，討論了庫存量隨時間和銷售量的變化，對庫存費的影響。并求出最優(yōu)解，使得總損失費用達到最低。首先對L的范圍進行分類討論，在隨機到貨時間X和L兩個變量同時作用下，分出五種情況進行討論。通過求和公式和期望值的運用，得到單商品貯存模型。再針對某個大型超市給出的三種商品銷售情況和貨物到達時間，運用該模型求出三種商品各自相應的最優(yōu)訂貨點。再考慮實際情況中多種商品需要同時訂貨的情形下，依據(jù)此模型進一步推廣，得出在同時訂購M種商品時的最優(yōu)訂貨點。關鍵

2、詞： 倉庫容量，貯存管理，數(shù)學期望，隨機到貨一、 問題重述工廠生產(chǎn)需定期地定購各種原料，商家銷售要成批地購進各種商品。無論是原料或商品，都有一個怎樣存貯的問題。存得少了無法滿足需求，影響利潤；存得太多，存貯費用就高，也影響利潤。因此說存貯管理是降低成本、提高經(jīng)濟效益的有效途徑和方法。 1.問題一給出信息：某商場銷售的某種商品，市場上這種商品的銷售速率假設是不變的，記為；每次進貨的訂貨費為常數(shù)與商品的數(shù)量和品種無關；使用自己的倉庫存貯商品時，單位商品每天的存貯費用記為，由于自己的倉庫容量有限，超出時需要使用租借的倉庫存貯商品，單位商品每天的存貯費用記為，且；允許商品缺貨，但因缺貨而減少銷售要造成

3、損失，單位商品的損失記為；每次訂貨，設貨物在X天后到達，交貨時間X是隨機的；自己的倉庫用于存貯該商品的最大容量為，每次到貨后使這種商品的存貯量補充到固定值為止，且；在銷售過程中每當存貯量降到時即開始訂貨。要求給出使總損失費用達到最低的訂貨點（最優(yōu)訂貨點）的數(shù)學模型。2.問題二給出某個大型超市的三種商品的相關真實數(shù)據(jù)，要求按問題一所建立的模型分別計算出這三種商品各自相對應的最優(yōu)訂貨點。3. 實際生產(chǎn)生活中，訂貨的情形會和問題一描述的有很大差別，會遇到庫存容量有限、多種商品需同時訂貨的情形，這時需要充分利用庫存體積。多種商品的訂貨流程和規(guī)則類似問題一中一種商品訂貨的情形。要求建立模型制定出最優(yōu)的訂

4、貨方案使商場的總損失費用達到最低。二、基本假設1. 假設每次到貨后，每次貨物補充所需的時間可忽略不計，銷售時會先銷售租 來倉庫中的貨物。2. 假設商品在貯存和銷售過程中不會過期，不會變質(zhì)，不影響貨物的正常銷售。3. 支付的費用按天結算，每天結束時支付，若未結算前銷售完畢，則不支付該 天的費用。4. 各項費用不會隨時間的變化而變化。三、符號說明商品的銷售速率每次進貨的訂貨費自身倉庫單位商品每天的存貯費用租借倉庫單位商品每天的存貯費用缺貨時單位商品每天的損失費用每次訂貨的交貨時間租賃倉庫存貯量的銷售時間銷售的最長時間訂貨前的銷售時間自身倉庫存貯該商品的最大容量該商品的最大存貯量該商品的訂貨點商品的

5、最優(yōu)訂貨點平均每天的損失費用四、問題分析4.1問題一的分析該問題要求對商場訂貨的方案進行優(yōu)化處理，假設某商場對某種商品進行訂貨，其中涉及到的成本有訂貨費、自己倉庫的存貯費、租賃倉庫的存貯費以及出現(xiàn)缺貨時而減少銷售所造成的損失，且交貨時間使隨機的，存貯容量為有限值,在銷售過程中每當存貯量降到時即開始訂貨。我們將問題分為三種情形，分別列出不同情形下?lián)p失費用和之間的關系式，并利用求平均每天所損失費用的期望最小值，給出使總損失費用達到最低的訂貨點（最優(yōu)訂貨點）的數(shù)學模型,從而求得最優(yōu)的訂貨點。4.2 問題二的分析本問在問題一建立模型的基礎上，對來自某大型超市的三種商品的真實數(shù)據(jù)進行分析，首先對給出的數(shù)

6、據(jù)交貨時間進行處理，判斷其服從于哪種分布,并根據(jù)其分布特點求得的期望，將其代入問題一建立的模型，分別計算出三種商品各自相對應的最優(yōu)訂貨點。4.3 問題三的分析本問要求多種商品同時訂貨的情況下，在考慮充分利用存貯體積的前提下，對模型進行綜合分析，這是需要考慮各種商品體積之和不能大于倉庫總容積（自身倉庫中商品的體積之和不能大于自身倉庫容積；租借倉庫中商品的體積之和不能大于租借倉庫的容積）。且還要考慮各種商品的銷售速率不同對體積變化的影響，當各種商品的體積之和降到L時，各種商品同時進貨，即每一種商品到達訂貨點的時間相同。五、模型的建立和求解5.1 問題一在問題中，商品的銷售過程中商品需求是確定的，即

7、銷售速率是不變的，倉庫的最大存貯量為固定值。每次進貨的訂貨費為常數(shù)，需要重點分析的是貨物的存貯費和缺貨條件造成的損失費。首先，根據(jù)具體問題，定義銷售周期為從貨物最大存貯容量銷售至下一次貨物補充到存貯容量最大值之間的時間段。租賃其它倉庫存貯量的銷售時間為；為銷售的最長時間；為訂貨前的銷售時間，計算使對它們向下取整?？紤]一個銷售周期內(nèi)可能存在的不同情況大致有三種：情況一、整個銷售周期內(nèi)銷售的商品均來自租賃的倉庫，參數(shù)之間的關系為： 假設產(chǎn)生的平均每天的損失費用為,且是關于變量和的函數(shù)。通過計算可得每天損失的費用為：情況二、還未銷售完租借倉庫的貨物就開始訂貨，在銷售自己倉庫的時候貨物到達，不出現(xiàn)缺貨

8、現(xiàn)象，此時參數(shù)的條件為： 通過計算得到：情況三、還未銷售完租借倉庫的貨物就開始訂貨，缺貨時貨物才到達。此時的參數(shù)條件為： 通過計算得到：情況四、在一個銷售周期內(nèi)，先銷售租賃倉庫里的貨物，再銷售自己倉庫里的貨物時開始訂貨，且不會出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，此時的參數(shù)條件為： 通過計算可得：情況五、在一個銷售周期內(nèi)，先銷售租賃倉庫里的貨物，在銷售自己貨物的時候開始訂貨，且出現(xiàn)了缺貨現(xiàn)象，參數(shù)關系為： 通過計算可得每天損失的費用為：假設服從某一分布，且的數(shù)學期望表達式為,，將其代入上面五個損失費用表達式，可以得到關于訂貨點的函數(shù)表達式，令其對求導，可以得到的最小值，即為所求的最優(yōu)訂貨點。5.2 問題二問題二中，要

9、對利用問題一所建立的模型對三組具體數(shù)據(jù)進行分析，計算相應的最優(yōu)訂貨點 ，以康師傅精裝巧碗香菇燉雞面為例，具體步驟如下：5.2.1商品一康師傅精裝巧碗香菇燉雞面的具體數(shù)據(jù)為：=12盒/天；=10元；=0.01元/盒.天；=0.02元/盒.天；=0.95元/盒.天；=40盒；=60盒。共有連續(xù)的36次訂貨后到達時間天數(shù)記錄如下：3 3 7 1 2 3 3 0 3 4 6 3 1 4 3 3 2 5 2 3 2 5 3 2 3 3 0 3 4 3 1 4 5 4 3 1。首先對訂貨到達的天數(shù)利用軟件SPSS進行分析，判斷其分布類型。并求出數(shù)學期望?？倲?shù)均值均值的標準誤差中值標準差方差362.9722

10、0.253531.521022.313對數(shù)據(jù)進行分析可以得知三個實際問題中的交貨時間都服從泊松分布，可以看出“康師傅”的訂貨天數(shù)服從參數(shù)為2.97的泊松分布，所以它的數(shù)學期望。因為到貨的天數(shù)為整數(shù)，所以為2天，將數(shù)據(jù)帶入第一個問題中的模型，得到相應的值為,判斷得到的值是否滿足 的相互約束，如果不滿足則應該舍棄值，并在中選取最小的即為最優(yōu)值。具體步驟如下，主要運用maple軟件進行分析，將本個實際問題的數(shù)據(jù)帶入情況一的參數(shù)條件：對進行求解可以發(fā)現(xiàn)無解，此情況舍去。將數(shù)據(jù)帶入情況二的參數(shù)中由于為整數(shù)，可以解得的取值范圍為。關于的函數(shù)為：利用maple進行計算可得與的關系圖像如下：當時，此時最小，為

11、2.82。即此時的損失費用為2.82元每天。繼續(xù)將數(shù)據(jù)帶入到情況三，參數(shù)條件為：此時無解。將數(shù)據(jù)帶入情況四，參數(shù)條件為： 解得的取值范圍為。關于的函數(shù)為：利用maple計算計算可得與的關系圖像如下： 第四種情況下，當時，此時最小，為2.82。即此時的損失費用為2.82元每天。將數(shù)據(jù)帶入到情況五，參數(shù)條件為：解得的取值范圍為。關于的函數(shù)為：利用maple計算計算可得與的關系圖像如下：有圖像可知當為13到23時，的值最小，此時的為2.256。綜上可知，商品一的最優(yōu)訂貨點為，即當康師傅精裝巧碗香菇燉雞面的庫存量降到13到23盒時，便開始訂貨，此時損失的費用最小。5.2.2 商品二對商品二心相印手帕紙

12、進行分析同商品一，具體數(shù)據(jù)為=15盒/天；=10元；=0.03元/盒.天；=0.04元/盒.天；=1.50元/盒.天。共有連續(xù)的43次訂貨后到達天數(shù)記錄如下：4 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 4 3 2 3 2 2 4 2 3 4 3 3 2 3 2 3 2 2 1 3 2 5 3 2 4 2 2。利用SPSS軟件對到貨天數(shù)進行分析可得到以下結果：總數(shù)均值均值的標準誤差中值標準差方差432.53490.1303720.854930.731運用maple軟件進行分析，將本個實際問題的數(shù)據(jù)帶入情況一的參數(shù)條件：解得的取值范圍為。關于的函數(shù)為：利用maple計算計算可得

13、與的關系圖像如下：由圖像可知的取值范圍為時，值恒定為6.3。將數(shù)據(jù)帶入情況二的參數(shù)中由于為整數(shù)，可以解得的取值范圍為。關于的函數(shù)為：利用maple進行計算可得與的關系圖像如下：由圖表可知，到貨時間的數(shù)學期望為，在進行具體計算時對到貨時間向下進行取整，可知，將數(shù)據(jù)帶入得到最優(yōu)訂貨點為39，即當心相印手帕紙的庫存量為39時，開始進貨，此時損失費用最小。5.2.3商品三商品三中匯香米的數(shù)據(jù)為=20袋/天；=10元；=0.06元/袋.天；=0.08元/袋.天；=1.25元/袋.天；=20袋；=40袋。共有連續(xù)的61次訂貨后到達天數(shù)記錄如下：3 4 4 2 3 3 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1

14、 1 1 1 1 2 2 5 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 5 6 3 4 3 1。利用SPSS軟件對到貨時間進行分析可得：總數(shù)均值均值的標準誤差中值標準差方差611.95080.1486321.160841.348由圖表可知，到貨時間的數(shù)學期望為，在進行具體計算時對到貨時間向下進行取整，可知，將數(shù)據(jù)帶入得到最優(yōu)訂貨點為40，即當中匯香米的庫存量為40時，開始進貨，此時損失費用最小。綜合以上結果可知三種商品的最優(yōu)訂貨時間點位35,39,40。5.3 問題三5.3.1 模型的建立 問題三與問題一有如下不同：(1) 商品為個，而問題一的模型只有一個商品。(2)六、模型的評價與推廣模型的評價：優(yōu)點：1.本文從理論上介紹了隨機規(guī)劃的一般性表示形式和期望值模型。通過對數(shù)據(jù)進行分類討論處理，使數(shù)據(jù)的可分析性大大提高，數(shù)學期望值的應用提高了數(shù)據(jù)處理的準確性，減少誤差。通過對所給出的一組隨機到貨天數(shù)進行數(shù)學期望值的估計，對數(shù)據(jù)蘊藏信息作出科學、合理、貼切的評價。2.該模型充分考慮到實際情況中貯存費的支付方式，每天的存貯費用是在該天結束后支付的，取以天為單位的整數(shù)，符合實際情況。3.問題三在要求多種商品同時訂貨的情況下，綜合考慮各個商品的銷售速率，體積變化