圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(史上最全的)

1、名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)圓的總結(jié)集合：圓：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡：1、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是：以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：線(xiàn)段的中垂線(xiàn)；3、到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是：角的平分線(xiàn)；4、到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；5、到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)在圓內(nèi)d<r點(diǎn) C在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上d=r點(diǎn)B在圓

2、上點(diǎn)在此圓外d>r點(diǎn)A在圓外直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系:直線(xiàn)與圓相離d>r無(wú)交點(diǎn)直線(xiàn)與圓相切d=r有一個(gè)交點(diǎn)直線(xiàn)與圓相交d<r有兩個(gè)交點(diǎn)AdrOBdCd=rrrdd圓與圓的位置關(guān)系 :外離（圖 1）無(wú)交點(diǎn)d>R+rdr外切（圖 2）d=R+rR有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖 3）有兩個(gè)交點(diǎn)R-r<d<R+r內(nèi)切（圖 4）有一個(gè)交點(diǎn)d=R-r內(nèi)含（圖 5）無(wú)交點(diǎn)d<R-r圖 4ddRrRr圖 1圖 2垂徑定理 :垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（ 2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦

3、所對(duì)的兩條?。唬?3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共 4 個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2 推 3 定理：此定理中共5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 AB 是直徑AB CDCE=DEBCBDACd rR圖 5dR r圖 32 個(gè)即可推出其它3 個(gè)結(jié)論，即：AD推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在 O 中， AB CD名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)ACDOOEAB圓心角定理CDB圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等此定理也稱(chēng)1 推 3 定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的 1 個(gè)相等， 則可以推出其它的3 個(gè)結(jié)論也即：AOB= DOE AB=D

4、EOC=OF BAED圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半即： AOB 和 ACB 是所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB=2 ACB圓周角定理的推論：推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧即：在 O 中， C、 D 都是所對(duì)的圓周角 C= D推論 2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑即：在 O 中， AB 是直徑或 C=90 ° C=90 ° AB 是直徑推論 3：三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形即：在 ABC 中， OC=OA=OBB AB

5、C 是直角三角形或 C=90 °注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的逆定理。弦切角定理 :弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。即： MN 是切線(xiàn)， AB 是弦 BAM= BCAN圓內(nèi)接四邊形EFODACBCBOADCBOACBACOAOCOBAM圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。D即：在 O 中，四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形C C+ BAD=180 ° B+ D=180 °DAE= C切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理BAE（ 1）判定定理：過(guò)半徑外

6、端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)即： MN OA 且 MN 過(guò)半徑 OA 外端MN 是 O 的切線(xiàn)（ 2）性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論 1：過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)推論 2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：即：過(guò)圓心過(guò)切點(diǎn)垂直切線(xiàn)中知道其中兩個(gè)條件推出最后一個(gè)條件MN 是切線(xiàn)MMN OA切線(xiàn)長(zhǎng)定理 : 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。P即： PA、 PB 是的兩條切線(xiàn) PA=PBPO 平分 BPA圓內(nèi)相交弦定理及其推論：（ 1）相交弦定

7、理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘積相等即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于點(diǎn) P PA· PB=PC· PA（ 2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。即：在 O 中，直徑 AB CDCE2DE2EAEB（ 3）切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)即：在 O 中， PA 是切線(xiàn)， PB 是割線(xiàn)PA2PCPB（ 4）割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等（如上圖）即：在 O 中， PB、 PE 是割線(xiàn) PC PBPD PEP圓公

8、共弦定理：連心線(xiàn)垂直平分公共弦即： O1、 O2 相交于 A 、B 兩點(diǎn) O1O2 垂直平分 AB兩圓公切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算公式：（ 1）公切線(xiàn)長(zhǎng)：在RtO1O2C 中，AB 2CO 12O1O22CO 22（ 2）外公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2 是半徑之差；內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)： CO2 是半徑之和圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（ 1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt BOD 中進(jìn)行， OD:BD:OB=1:OANBOACBOEADDB O PACAEDOCBAO1O2B3:2名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)（ 2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAE 中進(jìn)行， OE :AE:OA=（ 3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)

9、計(jì)算在Rt OAB 中進(jìn)行， AB:OB:OA=1:1:21: 3 : 2CBCOOOBDAAED B AA弧長(zhǎng)、扇形面積公式nROSl（ 1）弧長(zhǎng)公式：l18021n R（ 2）扇形面積公式：SlRB3602總結(jié)歸納： 圓的知識(shí)考點(diǎn)圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關(guān)圖形中的定定理及公式。一、圓的有關(guān)概念?動(dòng)?1、圓。 ? 封閉曲線(xiàn)圍成的圖形靜（集?合）?線(xiàn)、角、周長(zhǎng)、面積等知識(shí)。包括性質(zhì)定理與判2、弦、直徑、切線(xiàn)。直線(xiàn)3、弧、半圓。曲線(xiàn)4、圓心角、圓周角。5、三角形的外接圓、外心。用到：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)及性質(zhì)6、三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心。用到：角的平分線(xiàn)及性質(zhì)二、圓的有關(guān)性質(zhì) （涉及線(xiàn)段相等、角

10、相等，求線(xiàn)、角）軸對(duì)稱(chēng)1、圓的對(duì)稱(chēng)性。中心對(duì)稱(chēng)2、垂徑定理及其推論。3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理4、圓周角定理及推論。同圓、等圓，同弧、等弧，圓周角5、切線(xiàn)的性質(zhì)定理。6、切線(xiàn)長(zhǎng)定理。三、判定定理名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)切線(xiàn)的判定兩種思路：連半徑，證垂直；作垂直，證半徑四、點(diǎn)、直線(xiàn)、圓與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系點(diǎn)在圓外d>r點(diǎn)在圓上d=r點(diǎn)在圓內(nèi)d<r2、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系相離d>r相切d=r相交d<r3、圓與圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系外離d>R+r外切d=R+r相交R-r<d<R+r內(nèi)切d=R-r內(nèi)含d&l

11、t;R-r五、正多邊形和圓1、有關(guān)概念正多邊形的中心、半徑、中心角及其度數(shù)、邊心距2、方法思路：構(gòu)造等腰 （等邊）三角形、直角 三角形，在三角形中求線(xiàn)、角、面積。六、圓的有關(guān)線(xiàn)的長(zhǎng)和面積。1、圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)C=2 r,l=nr1802、圓的面積、扇形面積、圓錐的側(cè)面積和全面積S 圓 = r 2，S 扇形 = nr 2，或 S 扇形 = 1 lr（即 S 扇形 = n r 2= 1 lr ）36023602S 圓錐 =r 底面圓l 母線(xiàn)名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)3、求面積的方法直接法由面積公式直接得到間接法即：割補(bǔ)法（和差法）進(jìn)行等量代換與圓有關(guān)的計(jì)算一、周長(zhǎng)：設(shè)圓的周長(zhǎng)為C，半徑為r,扇形的弧長(zhǎng)為ln

12、,扇形的圓心角為. 圓的周長(zhǎng)： C R；扇形的弧長(zhǎng)： ln r。180例題 1(05 崇文練習(xí)一）某小區(qū)建有如圖所示的綠地，圖中4 個(gè)半圓，鄰近的兩個(gè)半圓相切。兩位老人同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由 A 處到 B 處散步，甲老人沿ADA1、A1EA2、A2FB 的線(xiàn)路行走，乙老人沿 ACB 的線(xiàn)路行走，則下列結(jié)論正確的是 ()（A ）甲老人先到達(dá)B 處 （B）乙老人先到達(dá) B 處（ C）甲、乙兩老人同時(shí)到達(dá)B 處（ D ）無(wú)法確定例題 2如圖， ABC 是正三角形，曲線(xiàn) CDEF 叫做正三角形的 “漸開(kāi)線(xiàn) ”，其中 CD 、 DE 、 EF 的圓心依次按 A 、B 、C 循環(huán)，將它們依次平滑相連接。

13、如果AB=1 ，試求曲線(xiàn) CDEF 的長(zhǎng)。例題3（06蕪湖）已知如圖，線(xiàn)段ABCD，CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm ， O 的半徑為 10cm,從 A 到 D 的表面很粗糙，求 O 從 A 滾動(dòng)到 D ，圓心 O所經(jīng)過(guò)的距離。例題 4如圖，一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)和與它的一邊相外切的圓的周長(zhǎng)相等，當(dāng)這個(gè)圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無(wú)滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)直至回到原出發(fā)位置時(shí)，則這個(gè)圓共轉(zhuǎn)了（）圈。A4B3C5D3.56.例題 5 (08 大興二模 )如圖，一個(gè)人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動(dòng)板子帶動(dòng)圓柱向前滾動(dòng)，假設(shè)滾動(dòng)時(shí)圓柱與地面無(wú)滑動(dòng)，板

14、子與圓柱也沒(méi)有滑動(dòng)已知板子上的點(diǎn)B （直線(xiàn)與圓柱的橫截面的切點(diǎn)）與手握板子處的點(diǎn)C 間的距離BC 的長(zhǎng)為 L m ，當(dāng)手握板子處的點(diǎn)C 隨著圓柱的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)到板子與圓柱橫截面的切點(diǎn)時(shí)，人前進(jìn)了 _ m 例題 6(08 房山二模 )如圖， ACB 60 ，半徑為 2 的 0 切 BC 于點(diǎn) C，若將 O 在 CB 上向右滾動(dòng)，則名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)當(dāng)滾動(dòng)到 O 與 CA 也相切時(shí)，圓心O 移動(dòng)的水平距離為.Sr,，弧長(zhǎng)為 .二、面積：設(shè)圓的面積為，半徑為扇形的面積為S扇形l圓 的 面 積 ： Sr 2n r21 lr扇形的面積：S扇形0弓形面積：3 62S弓形S扇形S例題 1（05 豐臺(tái)練習(xí)二）如圖

15、，ABC 內(nèi)接于 O， BD 是 O 的直徑，如果 A 120°， CD 2，則扇形OBAC 的面積是 _。例題 2（江西?。┤鐖D， A、 B 、 C 兩不相交，且半徑半徑都是0.5cm.圖中的三個(gè)扇形（即三個(gè)陰影部分）的面積之和為（）Acm2B8cm2Ccm2Dcm21264例題 3(08 大興 )北京市一居民小區(qū)為了迎接2008 年奧運(yùn)會(huì)， 計(jì)劃將小區(qū)內(nèi)的一塊平行四邊形ABCD 場(chǎng)地進(jìn)行綠化， 如圖陰影部分為綠化地，以 A 、B、 C、D 為圓心且半徑均為3m 的四個(gè)扇形的半徑等于圖中 O 的直徑，已測(cè)得AB 6m ，則綠化地的面積為 () m2459A. 18 B. 36 C.

16、 D. 42例題 4如圖， O 的半徑為20，B 、 C 為半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)， A 為半圓的直徑的一個(gè)端點(diǎn)，求陰影部分的面積。例題 5 (08 房山 )如圖1 是一種邊長(zhǎng)為60cm 的正方形地磚圖案，其圖案設(shè)計(jì)是： 三等分 AD （AB=BC=CD ） 以點(diǎn) A 為圓心，以 AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD 于 B、交 AG 于 E； 再分別以 B 、E 為圓心， AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD 于C、交 AG 于 F 兩弧交于 H ； 用同樣的方法作出右上角的三段弧圖2 是用圖 1 所示的四塊地磚鋪在一起拼成的大地磚，則圖2 中的陰影部分的面積是 _cm2（結(jié)果保留）例題6.(08西城)如圖,在Rt

17、ABC中,BAC90 ,AB=AC=2, 若以 AB 為直徑的AC圓交 BC 于點(diǎn) D,則陰影部分的面積是.DB例題 7. (08 朝陽(yáng) ) 已知：如圖，三個(gè)半徑均為1 m 的鐵管疊放在一起，兩兩相外切，切點(diǎn)分別為C、D、E，直線(xiàn) MN （地面）分別與 O2、 O3 相切于點(diǎn)A 、 B（1）求圖中陰影部分的面積；（ 2）請(qǐng)你直接寫(xiě)出圖中最名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)上面的鐵管（ O1）的最低點(diǎn)P 到地面 MN 的距離是 _m例題 8 (08 海淀 )如圖，一種底面直徑為8 厘米，高 15 厘米的茶葉罐，現(xiàn)要設(shè)計(jì)一種可以放三罐的包裝盒，請(qǐng)你估算包裝用的材料為多少（邊縫忽略不計(jì)）。三、側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱側(cè)面展

18、開(kāi)圖是形 ,它的長(zhǎng)是底面的,高是這個(gè)圓柱的；圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是形，它的半徑是這個(gè)圓錐的，它的弧長(zhǎng)是這個(gè)圓錐的底面的。例題 1 (05 豐臺(tái) )圓柱的高為 6cm，它的底面半徑為4cm，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()A. 48 cm2B.24 cm2C.48cm2D. 24cm2例題 2（05 豐臺(tái)）如果圓錐的底面半徑為4cm，高為 3cm，那么它的側(cè)面積是 ()A. 15 cm2B.20 cm2C. 24cm2D.40cm2例題 3(05海淀）如圖圓錐兩條母線(xiàn)的夾角為120，高為 12cm，則圓錐側(cè)面積為 _，底面積為_(kāi)。例題 4（05 朝陽(yáng)）如果圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，底面半徑為 2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是（）A. 10 cm2B.10cm2C. 20 cm2D. 20cm2例題 5.如果一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,它的邊長(zhǎng)為 4cm,那么它的全面積是 ()2222A. 8 cm B. 10 cmC. 12 cmD. 9 cm四、正多邊