2019秋高中數(shù)學(xué)第二章平面向量單元評估驗收二含解析新人教A版必修4

1、 - 1 - 單元評估驗收(二) (時間：120分鐘 滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1若向量a(2，0)，b(1，1)，則下列結(jié)論正確的是( ) Aa·b1 B|a|b| C(ab)b Dab 解析：a·b2，所以A不正確；|a|2，|b| 2，則|a|b|，所以B不正確；ab(1，1)，(ab)·b(1，1)·(1，1)0，所以(ab)b，所以C正確；由于2×10×120，所以a，b不平行，所以D不正確 答案：C 2已知向量a，b不共線，若A

2、B1ab，ACa2b，且A，B，C三點共線，則關(guān)于實數(shù)1，2一定成立的關(guān)系式為( ) A121 B121 C121 D121 解析：因為A，B，C三點共線，所以ABkAC(k0)， 所以1abk(a2b)kak2b. 又a，b不共線，所以?1k，1k2，所以121. 答案：C 3(ABMB)(BOBC)OM化簡后等于( ) A.BC B.AB C.AC D.AM 解析：原式ABBOOMMBBCAC. 答案：C 4設(shè)非零向量a，b滿足|ab|ab|，則( ) Aab B|a|b| Cab D|a|b| 解析：由|ab|ab|，得(ab)2(ab)2， 得a·b0， 又a，b均為非零向量

3、，故ab. - 2 - 答案：A 5已知OA(2，2)，OB(4，1)，OP(x，0)，則當(dāng)AP·BP最小時，x的值是( ) A3 B3 C1 D1 解析：APOPOA(x2，2)，BPOPOB(x4，1)，AP·BP(x2)(x4)2x26x10(x3)21. 當(dāng)x3時，AP·BP取到最小值 答案：B 6設(shè)點A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，且AD2AB3BC，則點D的坐標(biāo)為( ) A(2，16) B(2，16) C(4，16) D(2，0) 解析：設(shè)D(x，y)，由題意可知AD(x1，y2)，AB(3，1)，BC(1，4)， 所以2AB3BC2(3，1

4、)3(1，4)(3，14) 所以?x13，y214， 所以?x2，y16. 答案：A 7設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，BC3CD，則( ) A.AD13AB43AC B.AD13AB43AC C.AD43AB13AC D.AD43AB13AC 解析：ADACCDAC13BCAC13(ACAB)43AC13AB13AB43AC. 答案：A 8在菱形ABCD中，若AC2，則CA·AB等于( ) A2 B2 - 3 - C|AB|cos A D與菱形的邊長有關(guān) 解析：如圖，設(shè)對角線AC與BD交于點O，所以ABAOOB. CA·ABCA·(AOOB)20 2. 答案：B 9

5、設(shè)D為邊長是2的等邊ABC所在平面內(nèi)一點，BC3CD，則AD·AC的值是( ) A.14 3 B14 3 C.43 D4 解析：由BC3CD可得，點D在ABC外，在直線BC上且BD4CD，則|CD|13|BC|23，AD·AC(ACCD)·AC|AC|2|CD|AC|cos 3423×2×1214 3. 答案：A 10在ABC中，AB4，ABC30°，D是邊BC上的一點，且AD·ABAD·AC，則AD·AB的值等于( ) A4 B0 C4 D8 解析：因為AD·ABAD·AC， 所以A

6、D·(ABAC)0， 所以AD·CB0，即ADBC. 所以ADB90°， 在RtADB中，B30°， 所以AD12AB2，BAD60°， 所以AD·AB|AD|AB|cos 60°2×4×1 24. 答案：C 11定義平面向量之間的一種運算“”如下：對任意的a(m，n)，b(p，q)，令a - 4 - bmqnp.下面說法錯誤的是( ) A若a與b共線，則ab0 Babba C對任意的R，有(a)b(ab) D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2 解析：根據(jù)題意可知若a，b共線，可得mqnp，

7、所以abmqnp0，所以A正確；因為abmqnp，而banpmq，故二者不相等，所以B錯誤；對于任意的R，(a)b(ab)mqnp，所以C正確；(ab)2(a·b)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正確 答案：B 12已知A，B，C是銳角ABC的三個內(nèi)角，向量p(sin A，1)，q(1，cos B)，則p與q的夾角是( ) A銳角 B鈍角 C直角 D不確定 解析：因為ABC為銳角三角形，所以AB> 2， 所以A> 2B，且A，B?0， 2， 所以sin A>sin? 2Bcos B，所以p

8、3;qsin Acos B>0，故p，q的夾角為銳角 答案：A 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分把答案填在題中的橫線上) 13已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，則m_ 解析：由題意可得，2×33m0，所以m2. 答案：2 14已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_ 解析：不妨令b(2，0)，a(cos ，sin )，則ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )， 令y|ab|ab| （2cos ）2sin2 （cos 2）2sin2 54cos 54cos ， 則y210 22516cos2.

9、因為2516cos29，25， 所以y216，20 又y0， - 5 - 所以y4， 25 答案：4 25 15若a(2，3)，b(4，7)，ac0，則c在b方向上的投影為_ 解析：ac(2，3)c0，所以c(2，3)， 設(shè)c與b夾角為，則c在b方向上的投影為|c|·cos |c|·c·b|c|b |c·b|b | （2，3）·（ 4，7）（4 ）272655. 答案：655 16若兩個向量a與b的夾角為，則稱向量“a×b”為“向量積”，其長度|a×b|a|b|·sin ，若已知|a|1，|b|5，a·b

10、4，則|a×b|_ 解析：由|a|1，|b|5，a·b4得cos 45， 又0，所以sin 35. 由此可得|a×b|1×5×353. 答案：3 三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17(本小題滿分10分)如圖，ABCD是一個梯形，ABCD且|AB|2|CD|，M，N分別是DC，AB的中點，已知ABe1 ，ADe2，試用e1，e2表示下列向量AC，MN. 解：因為ABCD，|AB|2|CD|， 所以AB2DC，DC12AB. (1)ACADDCe212e1. (2)MNMD DAAN 12DCAD12A

11、B - 6 - 14e1e212e1 14e1e2. 18(本小題滿分12分)不共線向量a，b的夾角為小于120°的角，且|a|1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范圍 解：|c|2|a2b|2|a|24a·b4|b|2178cos (其中為a與b的夾角) 因為0°<<120°. 所以1 2<cos <1， 所以13<|c|<5， 所以|c|的取值范圍為 (13，5) 19(本小題滿分12分)如圖所示，在ABC中，AQQC，AR13AB，BQ與CR相交于點I，AI的延長線與邊BC交于點P . (1)用AB和A

12、C分別表示BQ和CR； (2)如果AIABBQACCR，求實數(shù)和的值； (3)確定點P在邊BC上的位置 解：(1)由AQ12AC， 可得BQBAAQAB12AC. 因為AR13AB， 所以CRCAARAC13AB. (2)將BQAB12AC，CRAC1 3AB代入AIABBQACCR， - 7 - 則有AB?AB12ACAC?AC13AB， 即(1)AB12AC13AB(1)AC， 所以?113，121，解得?45，35. (3)設(shè)BPmBC，APnAI. 由(2)知AI15AB25AC， 所以BPAPABnAIABn?15AB25ACAB2n 5·AC?n51ABmBCmACmAB

13、， 因為AB與AC不共線， 所以?mn51，m2n 5，解得?m23，n53， 所以BP23BC，即BP PC2， 所以點P在BC的三等分點且靠近點C處 20(本小題滿分12分)在四邊形ABCD中，AB(6，1)，BC(x，y)，CD(2，3)，BCDA. (1)求x與y的關(guān)系式； (2)若ACBD，求x、y的值以及四邊形ABCD的面積 解：如圖所示 - 8 - (1)因為ADABBCCD(x4，y2)，所以DAAD(x4，2y) 又因為BCDA，BC(x，y)， 所以x(2y)(x4)y0，即x2y0. (2)由于ACABBC(x6，y1)， BDBCCD(x2，y3) 因為ACBD，所以A

14、C·BD0， 即(x6)(x2)(y1)(y3)0，又x2y0， 所以y22y30，所以y3或y1. 當(dāng)y3時，x6， 于是BC(6，3)，AC(0，4)，BD(8，0) 所以|AC|4，|BD|8， 所以S四邊形ABCD12|AC|BD|16. 當(dāng)y1時，x2，于是有BC(2，1)，AC(8，0)，BD(0，4) 所以|AC|8，|BD|4，S四邊形ABCD16. 綜上可知?x6，y3或?x2，y1， S四邊形ABCD16. 21(本小題滿分12分)已知a(2xy1，xy2)，b(2，2) (1)當(dāng)x，y為何值時，a與b共線？ (2)是否存在實數(shù)x，y使得ab，且|a|b|？若存在

15、，求出xy的值；若不存在，請說明理由 解：(1)因為a與b共線，所以存在實數(shù)，使得ab， 所以?2xy12，xy22， 解得?x13，yR， - 9 - 所以當(dāng)x13，y為任意實數(shù)時，a與b共線 (2)由ab?a·b0?(2xy1)×2(xy2)×(2)0?x2y30. 由|a|b|?(2xy1)2(xy2)28. 聯(lián)立解得?x1，y1，或?x53，y73， 所以xy1或xy35 9. 所以存在實數(shù)x，y，使得ab，且|a|b|， 此時xy1或xy35 9. 22(本小題滿分12分)已知三角形ABC是等腰直角三角形，ABC90°，D是BC邊的中點，BEAD，延長BE交AC于點F，連接DF.求證：ADBFDC(用向量方法證明) 證明：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2，0)，C(0，2)，則D(0，1) 于是AD(2，1)，AC(2，2) 設(shè)F(x，y)，由BFAD， 得BF·AD0， 即(x，y)·(2，1