六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1、桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校14生化班六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)、常值函數(shù)（也稱(chēng)常數(shù)函數(shù)）y =C （其中C為常數(shù)）；常數(shù)曲數(shù)(y C)C0C0y JC Cy jy Cy 0Oi xO平彳"x軸的直線y軸本身定義域R定義域R第1頁(yè)桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校14生化班1）當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間為x （ , ） ,他們的圖形都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并當(dāng)a >1時(shí)在原點(diǎn)處與X軸相切。且a為奇數(shù)時(shí)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；a為偶數(shù)時(shí)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；2）當(dāng)a為負(fù)整數(shù)時(shí)。函數(shù)的定義域?yàn)槌=0的所有實(shí)數(shù)；3）當(dāng)a為正有理數(shù) m時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?, +8）, n為奇數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋? n

2、oo, + oo）,函數(shù)的圖形均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和（1 ,1）；n為奇數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槿?）如果m>n圖形于x軸相切，如果 m<n,圖形于y軸相切，且 m為偶數(shù)時(shí)，還跟 y軸對(duì)稱(chēng)；m, n 均為奇數(shù)時(shí)，跟原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；5）當(dāng)“為負(fù)有理數(shù)時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)榇笥诹愕囊磺袑?shí)數(shù);除x=0以外的一切實(shí)數(shù)。三、指數(shù)函數(shù)y ax（ x是自變量，a是常數(shù)且a 0, a無(wú)界函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的圖象2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；、性質(zhì)函數(shù)、'x .y a (a1)x 一-y a (0 a 1)定義域R值域(0, +00)奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過(guò)點(diǎn)（0, 1）,即x 0時(shí)，y 1單調(diào)性在（，）是增函數(shù)在（，）是

3、減函數(shù)1）當(dāng)a 1時(shí)函數(shù)為單調(diào)增，當(dāng)0 a 1時(shí)函數(shù)為單調(diào)減；2）不論x為何值，y總是正的，圖形在x軸上方；3）當(dāng)x 0時(shí)，y 1,所以它的圖形通過(guò)（0,1）點(diǎn)。第2頁(yè)桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校14生化班第5頁(yè)3.(選，補(bǔ)充)指數(shù)函數(shù)值的大小比較a Na.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)x1 xf(x) ax, f(x) a的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。 ；y1 xf (x) axf(x)-Oxb.1.當(dāng)a 1時(shí),a值越大,的圖像越靠近y軸;b.2.當(dāng)0 a 1時(shí)，a值越大，y的圖像越遠(yuǎn)離y軸。4.指數(shù)的運(yùn)算法則(公式)；a.整數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)(a 0, m,nQ) .，(2)nma(4)abxb.根式的性質(zhì)

4、; n. a a當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),c.分?jǐn)?shù)指數(shù)哥;(2)；(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a (a a(a0)0)Uam(a 0, m, n1)11*-m (a Qm,n Z ,n 1)m n m-n aa四、對(duì)數(shù)函數(shù)y logax(a是常數(shù)且a 0,a 1),定義域x (0,)無(wú)界1 .對(duì)數(shù)的概念：如果a(a >0, aw 1)的b次哥等于N,就是ab N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)， 記作loga N b ,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子loga N叫做對(duì)數(shù)式。對(duì)數(shù)函數(shù)y loga x與指數(shù)函數(shù)y ax互為反函數(shù)，所以y loga X的圖象與y ax的圖象 關(guān)于直線y X對(duì)稱(chēng)。2 .常用對(duì)

5、數(shù)：10g10 N的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的常用對(duì)數(shù)記作lg N。3 .自然對(duì)數(shù)：使用以無(wú)理數(shù)e 2.7182為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)10geN簡(jiǎn)記作1n N。4 .對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象：y X 1y i x 1'y y logaX (a 1)1)5 .對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì) 函數(shù)y loga x(a 1)y log a x(0 a 1)定義域(0, +00)值域R奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(1, 0),即x 1時(shí)，y 0單調(diào)性在(0,+ 8)上是增函數(shù)在(0,+ 8)上是減函數(shù)1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形為于 y軸的右方，并過(guò)點(diǎn)(1,0);2)當(dāng)a 1時(shí)，在區(qū)間(0,1)

6、, y的值為負(fù)，圖形位于 x的下方；在區(qū)間(1, + ), y值為正，圖形位于x軸上方，在定義域是單調(diào)增函數(shù)。a 1在實(shí)際中很少用到。c.換底公式:13a.如果 a> 0, aw1, M> 0, N>0,那么:loga MNlOgaM loga N(1) logb Nloga Nlogab(a 0,a般常常logaloga M loga N換為e或io為底的對(duì)數(shù)，即 logblogaMnnlog a Mln N或ln bb.對(duì)數(shù)恒等式:lg N logb N -7) lgba。a N(a 0且a 1, N 0)(2)由公式和運(yùn)算性質(zhì)推倒的結(jié)論:logan bnn I u 一l

7、og a b md.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)1的對(duì)數(shù)是零，即loga1 0；同理ln1 0或lg1(2)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即log a a 1 ；同理ln e 1或lg10 1第7頁(yè)桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校14生化班五、三角函數(shù)1.正弦函數(shù)y sinx,有界函數(shù)，定義域 x （,），值域y 1, 1圖象：五點(diǎn)作圖法：0, 3, 2221 尸im法R2.余弦函數(shù)y cosx,有界函數(shù)，定義域 x （,），值域y 1, 1-.一,性質(zhì) 函數(shù)y sinx(k Z)y cosx (k Z)定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性T 2T 2對(duì)稱(chēng)中心(k ,0)(k -,0)2對(duì)稱(chēng)軸x k 2(k -，0)

8、 2單調(diào)性在x 2k,2k一上是增函數(shù)22在x 2k,2k上是減函數(shù)22在x 2k,2k 上是增函數(shù)在x 2k ,2k上是減函數(shù)最值x 2k 二時(shí)，ymax 12x 2k 二時(shí)，ymin 12x 2 k 時(shí)，ymax1x 2k時(shí)，ymin 16.正、余切函數(shù)的性質(zhì);"性質(zhì) 函數(shù)、y tanx（k z）y cotx（k z）定義域x k2x k值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性TT單調(diào)性在（一k , k ）上都是增函數(shù) 22在（k ,（k 1）上都是減函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心kc、（2，0）k（2,0）令點(diǎn)（k ,0）（k -,0） 28.余割函數(shù)y CSCX1 y secx的圖像二,無(wú)界函數(shù)，定義

9、域 xx k ,(k Z),值域cscx 1sin xyy cscx的圖像9.正、余割函數(shù)的性質(zhì)；生質(zhì) 函數(shù)y secx (k Z)y cscx (k Z)定義域x x k2Xx k值域(,1 1,)(,1 1,)奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T 2T 2單調(diào)性3(2k-,2k ) (2k,2k)22減(2k ,2k 一) (2k,2k)增223(2k ,2k-) (2k ,2k2 )減223 (2k-,2k) (2k,2k)22增續(xù)表:生質(zhì) 函數(shù)y secx (k z)y cscx (k Z)對(duì)稱(chēng)中心(k 一，0) 2(k ,0)對(duì)稱(chēng)軸x kx k 2漸近線x - k 2x k六、反三角函數(shù)1 .

10、反正弦函數(shù) y arcsinx,無(wú)界函數(shù)，定義域-1,1，值域0,:- - 上的反函數(shù)稱(chēng)為反正弦函數(shù)，記為 2 2a.反正弦函數(shù)的概念：正弦函數(shù) y sin x在區(qū)間y arcsin x2 .反余弦弦函數(shù) y arccosx,無(wú)界函數(shù)，定義域-1,1，值域0,b.反余弦函數(shù)的概念：余弦函數(shù) y cosx在區(qū)間0, 上的反函數(shù)稱(chēng)為反余弦函數(shù)，記為y arcsin x的圖像y arccosx的圖像3.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);生質(zhì) 函數(shù)y arcsin xy arccosx定義域-1,1-1,1值域0,0,奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)4 .反正切函數(shù) y arctan x,有界函數(shù)，定義

11、域 x （,），值域2 2c.反正切函數(shù)的概念：正切函數(shù)y tanx在區(qū)間 , 上的反函數(shù)稱(chēng)為反正切函數(shù)，記為2 2y arctanx5 .反余切函數(shù) y arc cot x ,有界函數(shù)，定義域 x （,），值域0,d.反余切函數(shù)的概念：余切函數(shù) y cotx在區(qū)間 0,上的反函數(shù)稱(chēng)為反余切函數(shù)，記為6.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);函數(shù) 性質(zhì)'y arctanxy arc cot x定義域R值域2,20,奇偶性奇函數(shù)非奇非偶單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)第12頁(yè)桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校14生化班2cos第13頁(yè)三角函數(shù)公式匯總一、任意角的三角函數(shù)二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：sin csc 1 ,

12、cos sec, sin , cos商數(shù)關(guān)系：tan , cot cossin平方關(guān)系：sin2cos21, 1 tan2三、誘導(dǎo)公式x軸上的角，口訣：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限;y軸上的角，口訣：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限,1, tan cot 122sec , 1 cot2 csc在角 的終邊上任* 一點(diǎn)P(x, y),記：rJx2 y2正弦：siny余弦：cosxrr正切：tany余切：cotxxy正割：secr余割：cscrxy四、和角公式和差角公式sin()sincoscossintan()tantansin()sincoscossin1 tantancos()coscossinsintan

13、()tantancos()coscossinsin1 tantan五、二倍角公式sin 22sincostan22 tan1 tan2cos22 cos2 sin2cos21 12sin2二倍角的余弦公式常用變形：(規(guī)律：降幕擴(kuò)角，開(kāi)幕縮角)2cos22cossin 2(sincos1 cos2 . 2,sin21 cos22)21 sin 21 sin 2 工 ,tan22sin2(sin cos )21 cos2 sin 2sin 21 cos2桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校14生化班2c第15頁(yè)六、三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin(一 3)sin(3cos34cos33 cos4 coscos(一 3)cos(一 3tan33tan, 3tan21 3tan2tantan)tan(3七、和差化積公式sin sin2sincos22coscos2coscos22sin sin2cossin 22coscos2 sinsin22八、輔助角公式'2. 2.,asin x bcosx ,a b