田凌清華大學機械制圖6 投影變換

1、第第 章章投影變換投影變換6 6機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換內(nèi)內(nèi) 容容6.16.1 換面法換面法6.2 6.2 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法2機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換6.1 6.1 換面法換面法O1OV HABaabb 投影變換的原理極其易懂。但要因題而異、投影變換的原理極其易懂。但要因題而異、靈活運用，其方法是變化多端的。靈活運用，其方法是變化多端的。 P1 a1b1 研究如何改變空間幾何元素研究如何改變空間幾何元素與投影面的相對位置，借助所得與投影面的相對位置，借助所得到的新投影進行簡便地圖解作圖。到的新投影進行簡便地圖解作圖。 使空間幾何元素與投影面處使空間幾

2、何元素與投影面處于有利解題的位置，簡化作圖。于有利解題的位置，簡化作圖。 例如，求一般位置直線的實長，可用直角三例如，求一般位置直線的實長，可用直角三角形法，也可用投影變換完成角形法，也可用投影變換完成( (換面法或旋轉(zhuǎn)法換面法或旋轉(zhuǎn)法) )。 P1AB P1 Ha1b1 =AB XX16.1.1 6.1.1 投影變換的目的投影變換的目的3機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換4O1OV HABaabb P1 a1b1XX16.1.2 6.1.2 換面法的概念換面法的概念 換面法換面法空間幾何元素的空間幾何元素的位置保持不變，用一新的投影位置保持不變，用一新的投影面替換原有的某一投影

3、面，使面替換原有的某一投影面，使得幾何元素對新的投影面處于得幾何元素對新的投影面處于有利解題的位置。有利解題的位置。6.1.3 6.1.3 選擇新投影面的原則選擇新投影面的原則 有利于解題有利于解題 如：新投影面如：新投影面 (or (or ) ) 幾何元素幾何元素 ( (應熟練掌握特殊位置幾何元素的特性應熟練掌握特殊位置幾何元素的特性) ) 新投影面須垂直某一原投影面新投影面須垂直某一原投影面新投影面新投影面新投影軸新投影軸新投影新投影展平方法：展平方法： 新投影面新投影面P P1 1繞繞O O1 1X X1 1軸向外旋轉(zhuǎn)軸向外旋轉(zhuǎn)9090 再隨再隨H H面繞面繞OXOX軸向下旋轉(zhuǎn)軸向下旋轉(zhuǎn)

4、9090被替換投影被替換投影機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換56.1.4 6.1.4 點的換面點的換面 一次換面一次換面.aa X ax O H X1 P1 a1.aX1 新、舊投影的關(guān)系：新、舊投影的關(guān)系： aaaa1 1 O O1 1X X1 1軸軸 a a1 1a aX1X1= =aaaax x ( (新投影與新軸的距離等于新投影與新軸的距離等于 被替代的投影與原軸的距離被替代的投影與原軸的距離 同時向兩軸的外側(cè)度量同時向兩軸的外側(cè)度量) ) 二次換面二次換面 a1a2 O2X2a1a2 O2X2軸軸 a2aX2=aaX1a2aX2=aaX1P1 P2 X2 .a2aX2

5、V H P1 H P2 P1 O1 O2 機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換6 一般位置直線變換成一般位置直線變換成投影面平行線投影面平行線aO 空空 間：間：P1P1直線直線投投 影：影：O1X1O1X1軸軸直線的某投影直線的某投影新投影：反映直線的實長及某傾角新投影：反映直線的實長及某傾角a X bbVHX1 HP1a1b1L6.1.5 6.1.5 四個基本問題四個基本問題 一般位置直線一般位置直線平行線平行線 一般位置直線一般位置直線垂直線垂直線 一般位置平面一般位置平面垂直面垂直面 一般位置平面一般位置平面平行面平行面O1結(jié)論：一般位置直線變換成投影面平行線結(jié)論：一般位置

6、直線變換成投影面平行線變換一次即可變換一次即可機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換7X2 P2 P1 a2b2空空 間：間：P1P1直線，且直線，且P1P1H H投投 影：影：O1X1O1X1軸軸直線的某投影直線的某投影新投影：反映直線的實長及某新投影：反映直線的實長及某 傾角實際大小傾角實際大小 一般位置直線變換成投影面一般位置直線變換成投影面垂直線垂直線對于投影面平行線：對于投影面平行線：空空 間：間：P2P2直線直線，且，且P2P2P1P1投投 影：影：O2X2O2X2軸軸直線直線的某投影的某投影新投影：積聚為一點新投影：積聚為一點O2aO a X bbVHX1 HP1a1b

7、1LO1結(jié)論：一般位置直線變換成投影面垂直線結(jié)論：一般位置直線變換成投影面垂直線變換兩次，即：變換兩次，即：一般位置直線一般位置直線投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換8 一般位置平面變換成投影面垂直面一般位置平面變換成投影面垂直面X O acbab c11V H X1 H P1a1,11b1c1空空 間：間：P P1 1面面，且，且 P P1 1H H 投投 影：影：O O1 1X X1 1軸軸面面上投影面平行線反映實長的投影上投影面平行線反映實長的投影新投影：投影面平行線積聚為點，面積聚為線新投影：投影面平行線積聚為點，面積聚為線

8、( (垂直面垂直面) ) 且反映平面的某傾角實際大小且反映平面的某傾角實際大小O1結(jié)論：一般位置平面結(jié)論：一般位置平面變換變換成投影面垂直面成投影面垂直面變換一次即可變換一次即可面的投影變換，應以面的投影變換，應以面上的某一條線為主。面上的某一條線為主。 當該當該線線某某投影面時，投影面時，則此面在該投影面上的投則此面在該投影面上的投影積聚為一直線。影積聚為一直線。 為簡化作圖，此線應為簡化作圖，此線應為面上一投影面平行線。為面上一投影面平行線。機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換9 一般位置平面變換成投影面平行面一般位置平面變換成投影面平行面X Oacbabc11VHX1 HP1

9、a1,11b1c1空空 間：間：P1P1面面( (且且P1P1H H) )投投 影：影：X1X1軸軸面面上投影面平行線上投影面平行線 反映實長的投影反映實長的投影新投影：投影面平行線積聚為點，新投影：投影面平行線積聚為點， 面積聚為線面積聚為線( (垂直面垂直面) )X2 P1P2b2a2c2實形空空 間：間：P2P2面面( (即即P2P2P1P1) )投投 影：影：O2X2O2X2軸軸積聚為線積聚為線 的投影的投影新投影：反映圖形的實際新投影：反映圖形的實際 形狀、及夾角實形狀、及夾角實 際大小際大小( (平行面平行面) )O1O2結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成 投影面平行

10、面投影面平行面旋轉(zhuǎn)兩次旋轉(zhuǎn)兩次機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換10例：求已知直線與平面的例：求已知直線與平面的夾角夾角的的實際大小。實際大小。m nnm步驟步驟1 1：求求MNMN與與ABCABC的交點的交點K(K(求交求交) )過過M M作作MD MD ABCABC求求 MDMD與與 ABCABC的交點的交點L(L(求交求交) )求求MKLMKL( (MKL)MKL)的實形的實形即即acbabc1 122 d de e步驟步驟2 2：過過M M作作MD MD ABCABC求求 NMDNMD( (MND)MND)的實形的實形 與與NMDNMD互為余角互為余角步驟步驟3 3：換面

11、法換面法? ?如何換如何換? ?換幾次換幾次? ?機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換11例：求已知直線與平面的例：求已知直線與平面的 夾角夾角的的實際大小。實際大小。m nnmacbabc1 1b1 O1 O X1 HP1 a1 ,11 c1 m1 n1 X V H 步驟步驟1 1：求求MNMN與與ABCABC的交點的交點K(K(求交求交) )過過M M作作MDMDABCABC求求 MDMD與與 ABCABC的交點的交點L(L(求交求交) )求求MKLMKL( (MKL)MKL)的實形的實形即即 步驟步驟2 2：過過M M作作MD MD ABCABC求求NMDNMD( (MND)

12、MND)的實形的實形 與與NMDNMD互為余角互為余角步驟步驟3 3：換面法換面法? ?換幾次換幾次? ? 如何換如何換? ? 新投影面新投影面應垂直于平面、應垂直于平面、且平行于直線！且平行于直線！此時線面夾角此時線面夾角反映實際大小。反映實際大小。機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換12.例：求兩異面直線的距離。例：求兩異面直線的距離。acbabcddO VHHX1 P1a1b1c1d1P1 P2 X2c2,d2a2b2l2k2k1l1l2k2 為距離實長。為距離實長。l1 的位置？的位置？KL為何種位置線？為何種位置線？分析：分析：只需將其中的一條只需將其中的一條直線變換為投

13、影面直線變換為投影面垂直線即可。垂直線即可。繼續(xù)，返回到原投影！繼續(xù)，返回到原投影！XKL為為P2的平行線！的平行線！k1 l1 / O2X2軸。軸。O1 O2 機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換13例：試檢查空間點例：試檢查空間點A A繞繞 O-OO-O軸軸( (正平線正平線) )旋轉(zhuǎn)時旋轉(zhuǎn)時會不會與平面會不會與平面 BCDEBCDE相相碰撞（作圖說明）。碰撞（作圖說明）。VHXOX1P1 VO1o1o1 ggffl1 k1 a1f1 g1 此題此題2 2解解分析：分析： 點點A A 的旋轉(zhuǎn)軌跡的旋轉(zhuǎn)軌跡 為垂直于為垂直于o oo o 的圓的圓 該圓的正面投影該圓的正面投影 積

14、聚為與積聚為與o oo o垂直垂直 的直線的直線 該圓的水平投影該圓的水平投影 為橢圓，無法直為橢圓，無法直 接畫出接畫出步驟：步驟： 作軌跡圓與已作軌跡圓與已知平面的交線知平面的交線FG(FG(過過a a 作作o o o o的垂線的垂線) ) 換面，將換面，將O-OO-O軸積聚為一點軸積聚為一點( (其余見圖自明，其余見圖自明，不贅述不贅述) ) 若點若點A A與平面相碰，與平面相碰， 其正面投影必在該其正面投影必在該 面上且與面上且與o o o o 垂直垂直 的直線上的直線上（即軌跡圓與已知（即軌跡圓與已知 平面的交線）平面的交線）機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換 換面法的

15、概念換面法的概念 選擇新投影面的原則選擇新投影面的原則 換面法的四個基本問題換面法的四個基本問題要點小結(jié)要點小結(jié)14機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換156.2.1 6.2.1 旋轉(zhuǎn)法的概念旋轉(zhuǎn)法的概念 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法投影面保持不動，而使空間幾何元素投影面保持不動，而使空間幾何元素繞某一軸線旋轉(zhuǎn)，使得幾何元素對投影面處于有利繞某一軸線旋轉(zhuǎn)，使得幾何元素對投影面處于有利解題的位置。解題的位置。6.2.2 6.2.2 旋轉(zhuǎn)的五要素旋轉(zhuǎn)的五要素旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)平面旋轉(zhuǎn)對象LSORA旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)平面旋轉(zhuǎn)軸 旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心 旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)半徑 旋轉(zhuǎn)平面旋轉(zhuǎn)平面 旋轉(zhuǎn)對象旋轉(zhuǎn)對

16、象6.2 6.2 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換16旋轉(zhuǎn)軸垂直于某一投影面旋轉(zhuǎn)軸垂直于某一投影面 繞垂直軸旋轉(zhuǎn)繞垂直軸旋轉(zhuǎn)( (簡稱旋轉(zhuǎn)法簡稱旋轉(zhuǎn)法) )旋轉(zhuǎn)軸相對于投影面的位置：旋轉(zhuǎn)軸相對于投影面的位置：旋轉(zhuǎn)軸平行于某一投影面旋轉(zhuǎn)軸平行于某一投影面 繞水平軸旋轉(zhuǎn)繞水平軸旋轉(zhuǎn)機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換176.2.3 6.2.3 繞垂直軸旋轉(zhuǎn)繞垂直軸旋轉(zhuǎn)點點A A 繞垂直于繞垂直于H H 面面的軸的軸L L 旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)：V aAa1 A1aa1LlO oaa1laa1 lo 點的旋轉(zhuǎn)點的旋轉(zhuǎn)結(jié)論結(jié)論： 水平投影水平投影: :點繞點繞o o轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一

17、一角角到點到點a a1 1 正面投影：正面投影： 點點a a沿水平線移至點沿水平線移至點a a1 1 ol當一點繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，其運動軌跡：當一點繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，其運動軌跡： 在該投影面上的投影為一圓在該投影面上的投影為一圓 在另一投影面上的投影為一條垂直于旋轉(zhuǎn)軸的直線在另一投影面上的投影為一條垂直于旋轉(zhuǎn)軸的直線 o機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換18a1la1 l 直線的旋轉(zhuǎn)直線的旋轉(zhuǎn)b1 aabbb1直線直線ABAB繞垂直于繞垂直于H H面的軸面的軸L L旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一角：角： 結(jié)論結(jié)論： 水平投影水平投影: :點點a a、b b繞繞 l 轉(zhuǎn)相同的

18、角度轉(zhuǎn)相同的角度到點到點a a1 1、b b1 1 正面投影：正面投影： 點點a a、b b分別沿水平線移至點分別沿水平線移至點a a1 1、b b1 1當一直線繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時：當一直線繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時： 其在該投影上的投影長度不變其在該投影上的投影長度不變 其對該投影面的夾角保持不變其對該投影面的夾角保持不變abl a1b1l注意注意“三同三同“: : 同軸同軸 同方向同方向 同角度同角度機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換19a1la1 l 平面圖形的旋轉(zhuǎn)平面圖形的旋轉(zhuǎn)b1 b1ABCABC繞垂直于繞垂直于H H面的軸面的軸 L L旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一角：角：

19、 結(jié)論結(jié)論： 水平投影水平投影: :點點a a、b b、c c繞繞 l 轉(zhuǎn)相同的轉(zhuǎn)相同的角度角度到點到點a a1 1、b b1 1、c c1 1 正面投影：正面投影： 點點a a、b b、c分別沿水平線移至點分別沿水平線移至點a a1 1、b b1 1、c1當一直線繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時：當一直線繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時： 其在該投影面上的投影形狀、大小保持不變其在該投影面上的投影形狀、大小保持不變 其對該投影面的夾角保持不變其對該投影面的夾角保持不變abc a1b1c1 c1 aabbc cc1機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換20 一般位置直線旋轉(zhuǎn)成一般位置直線旋轉(zhuǎn)

20、成投影面平行線投影面平行線例：例：將一般位置直線將一般位置直線ABAB旋轉(zhuǎn)成正平線。旋轉(zhuǎn)成正平線。6.2.4 6.2.4 四個基本問題四個基本問題 一般位置直線一般位置直線平行線平行線 一般位置直線一般位置直線垂直線垂直線 一般位置平面一般位置平面垂直面垂直面 一般位置平面一般位置平面平行面平行面a1la1 lb1 b1aabb選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L垂直于垂直于H H面面以改變直線以改變直線ABAB與與V V面的相對位置面的相對位置選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L通過端點通過端點B B簡化作圖過程簡化作圖過程結(jié)論：一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線結(jié)論：一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線旋轉(zhuǎn)一次即可旋轉(zhuǎn)

21、一次即可a1b1 等于直線段AB的實長! 等于直線與H面夾角的真實大小a1b1 平行于OX軸La1b1 = LabA1B1為正平線機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換21a1l1a1 l1b1 b1aabb 一般位置直線旋轉(zhuǎn)成一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線投影面垂直線b2 a2 a2b2l2l2La2b2 =La1b1a2 b2A2B2 為鉛垂線例：例：將一般位置直線將一般位置直線ABAB旋轉(zhuǎn)成鉛垂線。旋轉(zhuǎn)成鉛垂線。選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L1 1過點過點B B並垂直于並垂直于H H面面將將ABAB旋轉(zhuǎn)成正平線旋轉(zhuǎn)成正平線A A1 1B B1 1結(jié)論：一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線

22、結(jié)論：一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線旋轉(zhuǎn)兩次，即：旋轉(zhuǎn)兩次，即：一般位置直線一般位置直線投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L2 2過點過點A A1 1並垂直于並垂直于V V面面將正平線將正平線A A1 1B B1 1旋轉(zhuǎn)成鉛垂線旋轉(zhuǎn)成鉛垂線A A2 2B B2 2a2b2 OX機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換22a1llb1k1 aabbc ckka1 b1 c1 c1 k1 一般位置平面旋轉(zhuǎn)成一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面投影面垂直面k1c1OX軸a1b1c1為一直線kbc k1b1c1kbc k1b1c1例：例：將一般位置平面將一般位置

23、平面ABCABC旋轉(zhuǎn)成鉛垂面。旋轉(zhuǎn)成鉛垂面。選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L垂直于垂直于V V面面以改變直線以改變直線ABAB與與H H面的相對位置面的相對位置作面上正平線作面上正平線CKCK、並選擇旋轉(zhuǎn)軸、並選擇旋轉(zhuǎn)軸L L通過頂點通過頂點C C簡化作圖過程簡化作圖過程結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面旋轉(zhuǎn)一次即可旋轉(zhuǎn)一次即可A1B1C1為鉛垂面機械制圖機械制圖第第6 6章章 投影變換投影變換23 一般位置平面旋轉(zhuǎn)成一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面投影面平行面a1llb1k1 aabbc ckka1 b1 c1 c1 k1a2b2b2 c2 c2a2 La2b2

24、 = La1b1a2b2c2為為ABCABC的實形！的實形！l2l2a2b2平行于平行于OX軸軸例：例：將一般位置平面將一般位置平面ABCABC旋轉(zhuǎn)成正平面。旋轉(zhuǎn)成正平面。作面上正平線作面上正平線CKCK、選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L1 1通過頂點通過頂點C C、並垂直于並垂直于V V面面將將CKCK旋轉(zhuǎn)成鉛垂線、從而將旋轉(zhuǎn)成鉛垂線、從而將ABCABC旋轉(zhuǎn)成鉛垂面旋轉(zhuǎn)成鉛垂面A A1 1B B1 1C C1 1選擇旋轉(zhuǎn)軸選擇旋轉(zhuǎn)軸L L2 2通過頂點通過頂點B B1 1、並垂直于、並垂直于H H面面將鉛垂面將鉛垂面A A1 1B B1 1C C1 1旋轉(zhuǎn)成正平面旋轉(zhuǎn)成正平面A A2 2B B2 2C C2 2結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面結(jié)論：一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面旋轉(zhuǎn)兩次，即：旋轉(zhuǎn)兩次，即：一般位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面A A2 2B B2 2C C2 2為正平面為正平面機