精華特殊平行四邊形知識(shí)歸納和題型精講精編版

1、最新資料推薦八年級(jí)平行四邊形相關(guān)知識(shí)歸納和常見(jiàn)題型精講性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形的A矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì) 角 線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定有三個(gè)角是直角；是平行四邊形且有一個(gè)角是直角；是平行四 邊形且.兩條對(duì)角線相等四邊相等的四邊形；是平行四邊形且有一組鄰邊相等；是平行四邊形且兩條對(duì)角 線互相垂直。是矩形，且有一組鄰邊相等；是麥形，且有一個(gè)角是直角。對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.矩形矩形定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做

2、矩形（通常也叫長(zhǎng)方形或正方形 ）.矩形是中心對(duì)稱圖形， 對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，矩形也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線，有兩條對(duì)稱軸；矩形的性質(zhì)：（具有平行四邊形的一切特征）1:矩形性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角.2:矩形性質(zhì) 矩形的對(duì)角線相等且互相平分.如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O,由性質(zhì)2有11直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角.因此可以得到 BDAO=BO=CO=DO=AC= _ _ 22形斜邊上的中線等于斜邊的一半.矩形的判定方法.矩形判定方法1 :對(duì)角錢相等的平行四邊形是矩形.最新資料推薦角的四邊形是矩形.矩形判定方法 2有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.角線相等且互相

3、平分的四邊形是矩形.：（4）矩形判定方法4的長(zhǎng)及點(diǎn)AD4 cm .求8 cm ,對(duì)角線比AD邊長(zhǎng)1例已知：如圖，矩形:有三個(gè)角是直矩形判定方法 3:對(duì)ABCD , AB長(zhǎng) 的長(zhǎng).的品巨離AEA至ij BD求證： F,若AE=BC . AE中，E是BC上一點(diǎn)，DF，于 ABCD快J 2已知：如圖，矩形 .CE=EF,=ECEF ±EC,且EFAD3例.如圖，已知矩形 ABCD中，E是上的一點(diǎn)， F是AB上的一點(diǎn),的長(zhǎng).ABCD的周長(zhǎng)為32cm,求AE=4cmDE ,矩形并延的中點(diǎn)，連接 AEE、4為BC如圖，在 ABCD中，例口 . DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F長(zhǎng)交；（1） 求證：AB=CF

4、AF與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)， 四邊形ABFC是矩形，并說(shuō)明理由.當(dāng)BCDACEBF最新資料推薦菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.(2) 一組鄰邊相等.【強(qiáng)調(diào)】 菱形(1)是平行四邊形；菱形的性質(zhì) 菱形的四條邊都相等；性質(zhì) 1菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；性質(zhì) 2菱形的判定1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形判定方法)兩條對(duì)角線互相垂(2注意此方法包括兩個(gè)條件：(1)是一個(gè)平行四邊形；直.2:四邊都相等的四邊形是菱形.菱形判定方法AC于E. ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交例1 已知：如圖，四邊形 / CBE . 求證：/ AFD=.BC分別交于的對(duì)角線

5、的垂直平分線與邊ad、Q， 是菱形.求E、FAC例2已知：如圖ABCD證：四邊形AFCE、例 3/ 7、AD的垂線與邊O作在AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)中，ABCDO是對(duì)角線AC,如圖 .AFCE是菱形，求證：四邊形分別交于 BCE、FEAD 1O2BCF最新資料推薦、例4交于MZBAE。求證：若DMBE C中，/A例 E. OE是BC上一點(diǎn)，AE、BD已知如圖，菱形 ABCD中，E A AM=BE。/ EAD=2 AB=AE,BE求線段的長(zhǎng).O?60 BAE,BCDF，交BA的延長(zhǎng)線于 E, DE、例6 （ 2008四川自貢）如圖, AB DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想。請(qǐng)你猜想的延長(zhǎng)線于四邊形F

6、DEABCD是菱形，!與交BC2008山東煙臺(tái)）例 7、（上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿 CDAD , F, BD=2 , E、分別是邊 ABCD如圖，菱 形的邊長(zhǎng)為2AE+CF=2.足；）求證： BDE BCF （1的形狀，并說(shuō)明理由；2）判斷 BEF （.D的取值范圍S的面積為，求 SBEF3 （）設(shè)4最新資料推薦三.正方形 4正方形的，它包含兩層意思：正方形是在平行四邊形的前提下定義（菱形）有一組鄰邊相等的平行四邊形（矩形）有一個(gè)角是直角的平行四邊形正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.的平行四邊形叫做正方形.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角正方形是中心對(duì)稱圖形

7、，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；正方形又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，的性質(zhì)總結(jié)如下：對(duì)邊平行，四邊相等；邊：四個(gè)角都是直角； 角： 對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.對(duì)角線：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的 注意：；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊45。夾角是 性質(zhì).正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì).正方形的判定方法： 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；？（1） ? （2）有一組鄰邊相等的矩

8、形是正方形.注意:1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)：？ （1）是平行四邊形；？ （2）有一個(gè)角是直角；？（3）有一組鄰邊相等.？然后再加上相要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，2、.應(yīng)的條件，確定是正方形AE上的一點(diǎn)，是 OBDG，已知：如圖，正方形 例1 ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為 O, EF.交于 G, DGOA 于 OE=OF .求證:p c Q兩ABCD是正方形，分別過(guò)點(diǎn) A、C例2已知：如圖，四邊形 N AM最新資料推薦分別交 N于，于舊M，作/ l點(diǎn)作lMDNl ,直線 DNMB、11125點(diǎn).Q、Pl于2是正方形.求證：四邊形 PQMNC與A、ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（

9、P1快J 3、（2008海南）如圖，P是邊長(zhǎng)為的正方形.BC上, 且PE=PB不重合），點(diǎn)E在射線 PD; PEX （1）求證： PE=PD ;.的面積為yx, APBE （2）設(shè)AP=的取值范圍；關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 xy 求出. 取得最大值，并求出這個(gè)最大值當(dāng)x取何值時(shí)，yA的中點(diǎn)，且 E為底邊BCAD/ BC, AB=AD=DC 2006例4 .（年河南?。┤鐖D，梯形ABC計(jì)，ADE的形狀，并給出證明.ABDE/,試判斷AE,過(guò)點(diǎn) A作中，AB II DC, DB平分/ ADC深圳）例 5: （2008如圖，在梯形 ABCD . 且/ C2 / E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/ BD,交CDE

10、）求證：梯形（1ABCD是等腰梯形. 的長(zhǎng).=30AD5 ,求 CD=）若/ （ 2BDCABECD 5 圖 6最新資料推薦例題講解例一.分析：(1)因?yàn)榫匦嗡膫€(gè)角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì), 而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法.222)4(x 8 x,解：設(shè)AD=xcm，則對(duì)角線長(zhǎng)(x+4)cm,在Rt A ABD中，由勾股定理：解得x=6,則 AD=6cm .(2) “直角三角形斜邊上的高”是一個(gè)基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊 上的高的一個(gè)基本關(guān)系式：AE X DB = ADXAB,解得 AE = 4.8c

11、m.例二分析：CE、EF分別是BC, AE等線段上的一部分，若 AF = BE ,則問(wèn)題解決，而證明 AF =BE ,只要證明 ABE 9匕DFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形.證明：:四邊形ABCD是矩形，/ B=90 ° ,且 AD / BC ./1 = /2.DFXAE,/AFD=90 ° ./ B= / AFD ,又 AD=AE , AABEA DFA (AAS ).AF=BE .EF=EC .此題還可以連接 DE,證明 DEFADEC,得到EF=EC.菱形例1證明：: 四邊形ABCD是菱形，CB=CD , CA 平分/ BCD ./ BCE=/ DCE .

12、又 CE=CE , A BCE A COB (SAS)./CBE=/CDE.在菱形 ABCD 中，AB /CD,/ AFD= / FDC /AFD=/CBE.例2證明：: 四邊形ABCD是平行四邊形，AE II FC./1 = /2.又 / AOE= / COF , AO=CO , AAOEA COF.EO=FO .四邊形AFCE是平行四邊形.又 EFXAC , AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平彳f四邊形是菱形). ,OIDF=、解：例 6DE7最新資料推薦證明如下：連結(jié)BD丁四邊形ABCD是菱形/ CBD = / ABD(菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角 )-. DF ±BC , DE

13、XAB.DF = DE(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)(1)證明J,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為,二乂8D和ABCD稱為正三角形.二 N6 DEn/HCFw 60BC.(2)解，AHEF為正三像形.理由：BDE絲BCF, AZDSE=ZCBF>BE=BF.NDBS，DBF+NCBF= 6%J.NQRF+/UBE=6<r.即/EEF=601、例7產(chǎn)為正三角形，斛：設(shè) ERh則 S=y x ±亨".當(dāng)££140時(shí)，工.小=2：£包60"=13',二 s* 小烏蚊(VT )3 40.當(dāng)月E與AB重合時(shí)，工.士 =2,二S.大

14、mQ乂口二病.二季4,由于正方形的對(duì)角線垂里DFO分析：要證明 OE=OF,只需證明 AEO正方形 例1再由同角或等角的余角相等可以得AO=DO , AOE= / DOF=90 ° ,直平分且相等，可以得到/ASA可以得到這兩個(gè)三角形全等，故結(jié)論可得./FDO,根據(jù)到/ EAO=是正方形，ABCD 四邊形證明：;（正方形的對(duì)角線垂直平分且相等）. DOF=90 ° , AO=DO /AOE=/.AEO=90 ° . EDG+/ AEO= /. DG ± AE,/ EAO+ 又/ EAO= / FDO.AEO DFO, OE=OF,證出里 DAN分析：由已

15、知可以證出四邊形 PQMN是矩形，再證 ABM 例2,從而得出結(jié)論.AN=DP .即可證出 MN=NPAM=DN ,用同樣的方法證 ，1QM ,，二證明： PN1 ±118最新資料推薦 .QM , /PNM=90 ° PN II NMPQ / , 二PQMN是矩形.四邊形 四邊形ABCD是正方形;（正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）./BAD= /ADC=90 ° , AB=AD=DC2=90 ° ./1 + / 3,又 /3+/2=90° ,/1 = /二,A ABM DAN .AM=DN , 同理 AN=DPAM+AN=DN+DP.即

16、MN=PN 四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）例3（1）證法一： 四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線， BC=DC, / BCP .=/ DCP=45 °PC,PC= . PBCA PDC （SAS） ： .PB= PD , / PBC= / PDC ,PB= PE 又PE=PD.時(shí)，B、C不重合）（i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上E與ADPB=PE, =/PEB： /PBE /=PDC,/ PEBP1H / PEB+/PEC=/PDC+/, PEC=180 2,/ PDC+PEC）=90 ° =360°/DPE-（ / BCD+ /BEC） PE.-

17、. ±PD.P恰好在AC ±PD中點(diǎn)處，此時(shí)，PE）當(dāng)點(diǎn)（iiE與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn).的延長(zhǎng)線上時(shí)， 如圖Eiii ） 當(dāng)點(diǎn)在 BC ( 1 = /2, PEC / /=/PDC, / =90 ° , DCE： / DPE= / .±PD PE )綜合(i) (ii) (iii, PE ± PD. .(=FEBFBCPF ±,垂足為 F,貝ij 2) 過(guò)點(diǎn)P作A Dx, AC= , AP=2P 22.=FC PC, =- xPF2x1 (2 x) 2222.=1-()=FE=1 -FC BFx1 x22CB E F 22122. (= S

18、BF - PF=)xxx1xpbea _ 222221 2 <(0 即 x<).2x y x _ 229最新資料推薦 1 121222 .y xx (x ) 422221 , <0 / a _ 221 當(dāng).時(shí)，yx 最大值24.如圖所示F.,分別交AD、BC于G、 (1)證法二：過(guò)點(diǎn)P作GF/AB ABCD 是正方形，四邊形GD GFCD 四邊形ABFG和四邊形都是矩形，2 3.A AGP和 PFC都是等腰直角三角形P.PFE=90 ° , / PGD= /GD=FC=FP , GP=AG=BF 1PE, PB= 又< ，BF=FECB EF FE,GP= AEFPA PGD (SAS).= .,. PEPD.2.1 =/. /. 3=90 ° /3=/2+/1