連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析PPT課件

1、1從本章開(kāi)始由從本章開(kāi)始由時(shí)域時(shí)域轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)入變換域變換域分析。分析。 首先討論首先討論傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)，進(jìn)，進(jìn)而引出而引出傅里葉變換。傅里葉變換。周期信號(hào)周期信號(hào)-傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換 非周期信號(hào)非周期信號(hào)傅里葉變換傅里葉變換第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第1頁(yè)/共103頁(yè)21822年年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在在 研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了表了“熱的分析理論熱的分析理論”，提出并，提出并 證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了理，奠定了

2、傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。進(jìn)入進(jìn)入20世紀(jì)以后世紀(jì)以后，濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉，濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。在在通信與控制系統(tǒng)通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

3、快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第2頁(yè)/共103頁(yè)3第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理第3頁(yè)/共103頁(yè)44.1 4.1 信號(hào)

4、分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即031iyixiTyxvvVV信號(hào)分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)第4頁(yè)/共103頁(yè)54.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱(chēng)為正交矢量集如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。 例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A =(

5、2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。 第5頁(yè)/共103頁(yè)64.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1. 定義：定義： 定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿(mǎn)足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱(chēng) 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交

6、函數(shù)集： 若n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿(mǎn)足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱(chēng)此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 第6頁(yè)/共103頁(yè)74.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿(mǎn)足 則稱(chēng)此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+

7、T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)第7頁(yè)/共103頁(yè)84.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三、信號(hào)的正交分解三、信號(hào)的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱(chēng)為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(12121122第8頁(yè)/共103頁(yè)94.

8、1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC第9頁(yè)/共103頁(yè)104.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n

9、越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有 12221d)(jjjttKCttf上式稱(chēng)為(Parseval)巴塞瓦爾公式巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和第10頁(yè)/共103頁(yè)11 對(duì)周期信號(hào)而言，在滿(mǎn)足狄里赫利(Dirichlet)條件的情況下，所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)。 展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)為三角函數(shù)，稱(chēng)為：三角形傅里葉級(jí)數(shù)。 展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)為指數(shù)形式，稱(chēng)為：指數(shù)形傅里葉級(jí)數(shù)。條件條件1 1：在一

10、周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。4.2 傅里葉級(jí)數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第11頁(yè)/共103頁(yè)124.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T(mén)，角頻率 =2 /T，當(dāng)滿(mǎn)足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) 稱(chēng)為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù) 110)si

11、n()cos()(nnnntnbtnaatf系數(shù)an , bn稱(chēng)為傅里葉系數(shù) 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見(jiàn)， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。100)(10TttdttfTa直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度第12頁(yè)/共103頁(yè)134.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)10)cos()(nnntnAAtf式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos( t+ 1)稱(chēng)為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同； A2cos(2

12、t+ 2)稱(chēng)為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n t+ n)稱(chēng)為n次諧波。 可見(jiàn)An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為第13頁(yè)/共103頁(yè)144.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)二、波形的對(duì)稱(chēng)性與諧波特性二、波形的對(duì)稱(chēng)性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)縱坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。實(shí)際上，任

13、意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以 第14頁(yè)/共103頁(yè)154.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0 第15頁(yè)/共103頁(yè)162100sin)(40TttnntdtntfTba，的對(duì)稱(chēng)條件)(tf），縱軸對(duì)稱(chēng)（偶

14、函數(shù))()(tftf），半半周周鏡鏡像像（奇奇諧諧函函數(shù)數(shù))2()(Ttftf ），半周重疊（偶諧函數(shù))()(2Ttftf，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇函數(shù)）)()(tftf展開(kāi)式中系數(shù)特點(diǎn)2100cos)(40TttnntdtntfTab，和偶次諧波無(wú)奇次諧波，只有直流諧波分量無(wú)偶次諧波，只有奇次三、周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。三、周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FFFF4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第16頁(yè)/共103頁(yè)17)()(tftf下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫(xiě)為如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函數(shù)，故)(2221)(10220220EtdtTEtdtTETdttfTaTT

15、TT.1出其頻譜圖求其傅立葉展開(kāi)式并畫(huà)如圖所示，有一偶函數(shù)，其波形例)(tftTT2T2TE解解:4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第17頁(yè)/共103頁(yè)18)()(1122nnE)()()(為偶數(shù)為奇數(shù)nnnE042tTnnEEtfn214253122cos)(,2/E24E294E2254E0111315nAsin1sin8cos24)2(cos)(21201201121201122tdtntnntTEtdtntTETTtdtntfTaTTTTTn4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第18頁(yè)/共103頁(yè)194.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第19頁(yè)/共103頁(yè)204.2 4.2 傅里葉級(jí)

16、數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第20頁(yè)/共103頁(yè)214.2 傅里葉級(jí)數(shù)第21頁(yè)/共103頁(yè)22周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，即諧波分量愈多，合成波形越接近原始波形，波形的邊緣愈陡峭。頻率較低的諧波振幅較大，是組成原始波形的主體；頻率較高的諧波振幅較小，主要影響波形的細(xì)節(jié)。4.2 傅里葉級(jí)數(shù)第22頁(yè)/共103頁(yè)23波形變化愈劇烈，高頻分量愈豐富； 波形變化愈緩慢，低頻分量愈豐富。在間斷點(diǎn)附近，隨著合成波形所含諧波分量的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小。即時(shí)所含諧波次數(shù)趨于時(shí)，間斷點(diǎn)附近仍有9%的偏差。這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。4.2 傅里葉級(jí)數(shù)第23頁(yè)/共103頁(yè)24222

17、TtTtTtftf)()(下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫(xiě)為如0natf是奇函數(shù)，故)()(tft1T出其頻譜圖求其傅立葉展開(kāi)式并畫(huà)如圖所示，有一奇函數(shù)，其波形例2解解:4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第24頁(yè)/共103頁(yè)25tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120) 1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtntTTTtdtntfTb4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第25頁(yè)/共103頁(yè)26)()(tftf下形式在一個(gè)周期內(nèi)可寫(xiě)為如42424442442TtTtTTtTtTTtT

18、tTt)(tfT2T4T12T0cos)42(cos4cos)42(2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtdtntfTaTTTTTTTTn出其頻譜圖求其傅立葉展開(kāi)式并畫(huà)形如圖所示，有一奇諧函數(shù)，其波例3解解:4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第26頁(yè)/共103頁(yè)27sin)42(sin44)2(sin)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnnn0) 1(821222sin8cos4)sin)(1cos()sin)(1cos(16222411241211140121112nntnTntnntnntt

19、nntnntTTTTTT4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第27頁(yè)/共103頁(yè)28、 21211821212jtTnntfjnnsin)()(28011nA298225813154.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第28頁(yè)/共103頁(yè)294T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn出其頻譜圖求其傅立葉展開(kāi)式并畫(huà)形如圖所示，有一偶諧函數(shù)，其波例4解解:4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第29頁(yè)/共103頁(yè)30、 212sin12)(2jtTnnE

20、tfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnEn20E012nA2E3E14164.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第30頁(yè)/共103頁(yè)31三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第31頁(yè)/共103頁(yè)324.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)1)()(0ee2ntnjtnjnnnAA110ee21ee21

21、ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos()(nnntnAAtf上式中第三項(xiàng)的n用n代換，A n=An， n= n，則上式寫(xiě)為 110ee21ee21ntjnjnntjnjnnnAAA令所以00,21|AFAFnnntjnjnnFtfee|)(第32頁(yè)/共103頁(yè)334.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)令復(fù)數(shù)njnjnFFAnnee21稱(chēng)其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)( n = 0,

22、1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 F0 = A0為直流分量。第33頁(yè)/共103頁(yè)344.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)四、周期信號(hào)的功率四、周期信號(hào)的功率Parseval等式等式 （帕賽瓦爾定理）（帕賽瓦爾定理）nnnnTFAAdttfT2122002|21)(1周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)的平均功率等于傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)各諧波分量有效值的平方和，即時(shí)域和頻域的能量守恒。第34頁(yè)/共103頁(yè)354.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)一、信號(hào)

23、頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱(chēng)為信號(hào)的頻譜，所畫(huà)出的圖形稱(chēng)為信號(hào)的頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和 n的關(guān)系分別畫(huà)在以為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱(chēng)為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚0，所以稱(chēng)這種頻譜為單邊譜。 也可畫(huà)|Fn|和 n的關(guān)系，稱(chēng)為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，幅度譜和相位譜可畫(huà)在一幅圖上 。正值代表的相位為0，負(fù)值代表的相位為 。第35頁(yè)/共103頁(yè)364.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜例：周期信號(hào) f(t) =試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求f(t)

24、的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然1是該信號(hào)的直流分量。34cos21t的周期T1 = 8323cos41的周期T2 = 6所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P= 323741212121122第36頁(yè)/共103頁(yè)374.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜34cos21t是f(t)的/4/12 =3次諧波分量； 323cos41是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖第37頁(yè)/共1

25、03頁(yè)384.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為 的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)） nnTjnTtjn)2sin(2e122第38頁(yè)/共103頁(yè)394.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T = 4畫(huà)圖。零點(diǎn)為mn2所以mn2，m為整數(shù)。Fn022441第39頁(yè)/

26、共103頁(yè)40特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性，兩譜線間為 。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。(3)周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線，可分解為無(wú)限多個(gè)頻率分量。但分量幅度隨頻率增高而減小。信號(hào)能量主要集中在第一個(gè)零點(diǎn) 內(nèi)。通常把 這段頻率范圍稱(chēng)為周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度，用符號(hào)B表示。T2)1(2fBB或12fw或)20(10 f4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜第40頁(yè)/共103頁(yè)414.3 周期信號(hào)的頻譜第41頁(yè)/共103頁(yè)424.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系(a) T一定， 變小，信號(hào)帶寬變寬，頻帶

27、所含分量增多。(b) 一定，T增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。 第42頁(yè)/共103頁(yè)434.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔 趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。 為了描述

28、非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的頻譜） 稱(chēng)F(j)為頻譜密度函數(shù)。第43頁(yè)/共103頁(yè)444.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換22de)(TTtjnnttfFntjnnTFtf1e)(考慮到：T，無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21T同時(shí)， 于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式F(j)稱(chēng)為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜。f(t)稱(chēng)為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)第44頁(yè)/共103頁(yè)

29、454.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換也可簡(jiǎn)記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說(shuō)明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFf第45頁(yè)/共103頁(yè)464.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實(shí)數(shù)10tf(t)jjt

30、jFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt第46頁(yè)/共103頁(yè)474.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換3. 門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 第47頁(yè)/共103頁(yè)484.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，

31、 (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f (t) ，即而fn(t)滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j )為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn這樣定義的傅里葉變換也稱(chēng)為廣義傅里葉變換。 第48頁(yè)/共103頁(yè)494.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此， 121

32、2( ( ) ) 另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有)(de21ttj將 t t，tt- - )(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj第49頁(yè)/共103頁(yè)506. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)第50頁(yè)/共103頁(yè)514.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：1

33、. F 變換對(duì)變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()第51頁(yè)/共103頁(yè)524.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線性一、線性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(

34、a21= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 第52頁(yè)/共103頁(yè)534.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -第53頁(yè)/共103頁(yè)544.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)二、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)二、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)(Symmetrical Property)If f

35、(t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t) 2f () endF( jt ) 2f ()第54頁(yè)/共103頁(yè)554.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212t|2e11t* if2232)(22tttttfF(j) = ?第55頁(yè)/共103頁(yè)564.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、時(shí)移

36、性質(zhì)三、時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj第56頁(yè)/共103頁(yè)574.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f

37、 ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468第57頁(yè)/共103頁(yè)584.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)第

38、58頁(yè)/共103頁(yè)594.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 第59頁(yè)/共103頁(yè)604.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero re

39、al constant.Proof:F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(第60頁(yè)/共103頁(yè)614.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 1Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b)e - -

40、jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1第61頁(yè)/共103頁(yè)624.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,第62頁(yè)/共103頁(yè)634.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(Convolution Property)Conv

41、olution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21第63頁(yè)/共103頁(yè)644.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) =dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingjtjjFtt

42、fe)(de)(22So that, F f1(t)*f2(t) =de)()(de)()(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)第64頁(yè)/共103頁(yè)654.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20第65頁(yè)/共103頁(yè)664.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)七、時(shí)域的微分和積分七、時(shí)域的微分和積分(Differentiat

43、ion and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(第66頁(yè)/共103頁(yè)674.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t第

44、67頁(yè)/共103頁(yè)684.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2 Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n第68頁(yè)/共103頁(yè)694.5 4.5

45、 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans: f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)第69頁(yè)/共103頁(yè)704.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分和積分八、頻域的微分和積分(Diff

46、erentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jFfFor example 1 Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt第70頁(yè)/共103頁(yè)714.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and

47、(1/j ) ( ) is not defined.For example 2Determine)0(d)sin(0aaAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a第71頁(yè)/共103頁(yè)72九、帕斯瓦爾關(guān)系九、帕斯瓦爾關(guān)系(自學(xué)自學(xué))(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)d)(21d)(22jFttfEProofttftfttfEd)()(d)(*2tjFtftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjFtjd| )(|21d)()(212*jFj

48、FjF|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜 (能量密度譜）Js4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)第72頁(yè)/共103頁(yè)73For exampleDetermine the energy of ttt5sin)997cos(2Ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)997cos(21010ggttt10)1010(21d)(2ttfE4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)第73頁(yè)/共103頁(yè)744.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)十、奇偶

49、性十、奇偶性(Parity)(自學(xué)自學(xué))If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that (1)R()= R( ) , X() = X ( ) |F(j)| = |F( j)| , () = ( )(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()第74頁(yè)/共103頁(yè)754.6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換

50、周期信號(hào)的傅里葉變換4.6 4.6 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得 e j 0 t 2( 0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) ( 0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )第75頁(yè)/共103頁(yè)764.6 4.6 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換ntjnnTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFt

51、f)(2)(e)(例1：周期為T(mén)的單位沖激周期函數(shù) T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解：)()()(2)(tnnTtnnT(1)第76頁(yè)/共103頁(yè)774.6 4.6 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解：周期信號(hào)f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本題 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式與上頁(yè)(1)式比較

52、，得)2(1)(200TnjFTjnFFn這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。第77頁(yè)/共103頁(yè)784.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：de)(21)(tjjFtf其基本信號(hào)為 ej t一、基本信號(hào)一、基本信號(hào)ej t作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)? ，)，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為y(t)。 第78頁(yè)/共103頁(yè)794.

53、7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率的基本信號(hào)ej t時(shí)，其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t第79頁(yè)/共103頁(yè)804.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號(hào)二、一般信號(hào)f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )

54、H(j ) ej t d 齊次性齊次性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加性可加性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )第80頁(yè)/共103頁(yè)814.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析LTI* h(t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j)頻率響應(yīng)H(j )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j )與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j )之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱(chēng)為幅頻特性（

55、或幅頻響應(yīng)）；( ) )稱(chēng)為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。 H(j ) 是 的偶函數(shù)，( )是 的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法第81頁(yè)/共103頁(yè)824.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。周期信號(hào)ntjnnTFtfe)(ntjnnntjnnTjnHFthFtfthtye)(e*)()(*)()(若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH則可推導(dǎo)出10)(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnHAHAty第82頁(yè)/共103頁(yè)834.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的

56、H(j ) 和( ) )如圖，若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|H(j)|()10- -1001- -解法一：用傅里葉變換F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) ej(ej( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin

57、(5t)第83頁(yè)/共103頁(yè)844.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù)f(t)的基波角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)第84頁(yè)/共103頁(yè)854.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應(yīng)三、頻率響應(yīng)H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j ) = F h(t) 2. H(j ) = Y(j )/F(j )(1)由微分方程求，對(duì)微分方程

58、兩邊取傅里葉變換。(2)由電路直接求出。 例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t)求f(t) = e-t(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYjH第85頁(yè)/共103頁(yè)864.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析f(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 例2：如圖電路，R=1，C=1F，以u(píng)C(t)為輸出，求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解：畫(huà)電路

59、頻域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t (t) 第86頁(yè)/共103頁(yè)874.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。 1、無(wú)失真?zhèn)鬏?、無(wú)失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即 輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為 y(t) = K f(t

60、td) 其頻譜關(guān)系為 Y(j )=Ke j tdF(j ) 第87頁(yè)/共103頁(yè)884.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j )的要求是： (a)對(duì)h(t)的要求： h(t)=K (t td) (b)對(duì)H(j )的要求： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿(mǎn)足以上條件即可。 (2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：第88頁(yè)/共103頁(yè)894.7 LTI4.7 LTI