大學物理：第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、第第5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 1 剛體的運動剛體的運動 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律 1 剛體的運動剛體的運動 一、一般運動一、一般運動 二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動 一、一般運動一、一般運動 = ( (平動平動) )+( (轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動) )原則原則: 隨某點隨某點( (基點基點) )的平動的平動+ 過該點的過該點的定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.各點運動的特點各點運動的特點轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 在自己的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作在自己的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動圓周運動z2.描述的物理量描述的物理量任一質(zhì)點圓周運動的線任一質(zhì)點圓周運動的線量和角量的關(guān)系

2、量和角量的關(guān)系rrarartn2rnarat減速減速加速加速簡化簡化2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律 一一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 二二、轉(zhuǎn)動慣量的計算、轉(zhuǎn)動慣量的計算 三三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 四四、角動量守恒定律、角動量守恒定律 五五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的能量關(guān)系、剛體定軸轉(zhuǎn)動的能量關(guān)系一一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 ( (質(zhì)點系角動量定理微分形式的簡化質(zhì)點系角動量定理微分形式的簡化) ) 質(zhì)點系角動量定理微分形式質(zhì)點系角動量定理微分形式：tLMdd1.化簡過程化簡過程定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動zMMzzLLzt

3、LMddzimiri所以，可直所以，可直接寫分量式接寫分量式zL=?zimiriiiiizmrL因為各質(zhì)元角動量因為各質(zhì)元角動量方向相同方向相同，所以合矢，所以合矢量的大小就是分矢量量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加iiLLiiiimriiirmL)(2任一質(zhì)量元的任一質(zhì)量元的角動量大小為角動量大小為iir因為因為所以所以2iiirmJ定義定義剛體對定剛體對定軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量JLJLimzirLiiirmL)(2進一步進一步化簡化簡則剛體對定則剛體對定軸的軸的角動量角動量或?qū)憺榛驅(qū)憺?.剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律tJtLMddddirimzLJM amF定

4、軸轉(zhuǎn)動定律在轉(zhuǎn)動問題中的地位定軸轉(zhuǎn)動定律在轉(zhuǎn)動問題中的地位相當于平動時的牛頓第二定律相當于平動時的牛頓第二定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律解題定律解題步驟與牛步驟與牛頓第二定頓第二定律時完全律時完全相同。相同。例例1 已知已知:定滑輪定滑輪解解:受力圖受力圖RM輕繩輕繩 不伸長不伸長 無相對滑動無相對滑動求：求：1）物體加速度）物體加速度a2）繩子的張力）繩子的張力T3 ) 滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度1Tgm12Ta 212JRTRT 3222amTgm1m2m12mm設(shè)設(shè)2Tgm2a 1111amgmT1TRa 得解得解221MRJ 二二、轉(zhuǎn)動慣量的計算、轉(zhuǎn)動慣量的計算 1.定義定義mrJ

5、rmJmiiid221m2m3m1r2r3r312iiiirmJ例：如圖質(zhì)點系例：如圖質(zhì)點系233222211rmrmrm2.計算計算 例例1：長為長為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細桿，繞的勻質(zhì)細桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J。mlo解：解：細桿為線質(zhì)量細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的分布，單位長度的質(zhì)量為：質(zhì)量為：lm建立坐標系，坐標原點選在質(zhì)心處。建立坐標系，坐標原點選在質(zhì)心處。 分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm , ,長度為長度為 dx , x2l2ldmdxdxdmxdmxJll22/2/ 2/ 2/ 33llx2121mlJlm繞細桿質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動

6、慣量為繞細桿質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2121mlJ3121ldxxll22/2/dmrJ2mlox2l2ldmdxx繞細桿邊緣軸的轉(zhuǎn)動慣量為繞細桿邊緣軸的轉(zhuǎn)動慣量為231mlJ同理同理例例2 2：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。RMo解：解：dmdmRJM20分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，軸的距離相等，dmRM022MR繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2MRJR例例3 3：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直的圓盤，繞垂直于圓

7、盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J。rdr解：解：圓盤為面質(zhì)量圓盤為面質(zhì)量分布，單位面積的分布，單位面積的質(zhì)量為：質(zhì)量為：SM分割質(zhì)量元為圓環(huán)，分割質(zhì)量元為圓環(huán)，圓環(huán)的半徑為圓環(huán)的半徑為 r 寬寬度為度為 dr, ,r2RMMdSdmdJJ2MRJ由圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量公式由圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量公式)2(20rdrrR421R由由2RM則圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為：則圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為：221MRJ則圓環(huán)質(zhì)量則圓環(huán)質(zhì)量RrdrrMrdr2dmr21. .一輕繩跨過兩個質(zhì)量為一輕繩跨過兩個質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 r 的的均勻圓盤狀定滑輪均勻圓盤狀定滑輪, ,繩的兩端分別掛著質(zhì)量繩的

8、兩端分別掛著質(zhì)量為為 2m 和和 m 的重物的重物, ,如圖所示如圖所示, ,繩與滑輪間繩與滑輪間無相對滑動無相對滑動, ,滑輪軸光滑滑輪軸光滑, ,兩個定滑輪的轉(zhuǎn)兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為動慣量均為 mr2 2/ /2, , 將由兩個定滑輪以及質(zhì)將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為量為 2m 和和 m 的重物組成的系統(tǒng)從靜止的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放釋放, ,求兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。求兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。mm2rm,rm,解：3Tmg2TT2T31Tmg2T1ramamgT3rmrTT23221)(rTTmr22121)(maTmg2218/112mgT解得：解得：2. .如圖所示，一個質(zhì)量為如圖所示，

9、一個質(zhì)量為 m 的物體與繞在定滑輪上的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之可以忽略，它與定滑輪之間無滑動假設(shè)定滑輪質(zhì)間無滑動假設(shè)定滑輪質(zhì)量為量為 M、半徑為、半徑為 R , ,其轉(zhuǎn)其轉(zhuǎn)動慣量為動慣量為 MR2/2 ，試求，試求該物體由靜止開始下落的該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間過程中，下落速度與時間的關(guān)系的關(guān)系mMR解：解：根據(jù)牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律列方程根據(jù)牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律列方程maTmgRa)2/(Mmmg/a將（將（1）、（）、（2）、（）、（3）是聯(lián)立得：是聯(lián)立得：運動學關(guān)系：運動學關(guān)系：（3）對滑輪：對滑輪：（2）JTR（1

10、）對物體：對物體：)2/(Mmmgt/atv00vT TMRT Tg gma a18 .質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m和和2m、半徑分別為、半徑分別為r和和2r的兩個均勻圓盤，的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為9mr2 / 2，大小圓盤邊緣都繞有，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m的重物，如圖所示求盤的的重物，如圖所示求盤的角加速度的大小角加速度的大小 m rmm2m 2r T2 a2 T1 2P 1P a1 解：受力分析如

11、圖解：受力分析如圖 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1解上述解上述5個聯(lián)立方程，得：個聯(lián)立方程，得： 19.質(zhì)量質(zhì)量m1.1 kg的勻質(zhì)圓盤，可以繞通過其中心且垂直盤面的勻質(zhì)圓盤，可以繞通過其中心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對軸的轉(zhuǎn)動慣量的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對軸的轉(zhuǎn)動慣量J (r為盤的半為盤的半徑徑)圓盤邊緣繞有繩子，繩子下端掛一質(zhì)量圓盤邊緣繞有繩子，繩子下端掛一質(zhì)量m11.0 kg的物體，的物體，如圖所示起初在圓盤上加一恒力矩使物體以速率如圖所示起初在圓盤上加一恒力矩使物體以速率v00.6 m/s勻速上升

12、，如撤去所加力矩，問經(jīng)歷多少時間圓盤開始作反方勻速上升，如撤去所加力矩，問經(jīng)歷多少時間圓盤開始作反方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動 m1 m,r m1 m, r 0v P T a 解：撤去外加力矩后受力分析如圖所示解：撤去外加力矩后受力分析如圖所示 m1gT = m1a TrJar a = m1gr / ( m1r + J / r) 代入代入J , a = = 6.32 ms 2 v 0at0 tv 0 / a0.095 s 221mrmmgm2111221mr21.一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為M2.00 kg，半徑為，半徑為R0.100 m，一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一

13、端系有一質(zhì)量為一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m5.00 kg的物體，如圖所示已知定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為的物體，如圖所示已知定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J ，其初角速度其初角速度 010.0 rad/s，方向垂直紙面向里求：，方向垂直紙面向里求： (1) 定滑輪的角加速度的大小和方向；定滑輪的角加速度的大小和方向； (2) 定滑輪的角速度變化到定滑輪的角速度變化到 0時，物體上升的高度；時，物體上升的高度； (3) 當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向 221MRm M R 0解：解：(1) mgTma TRJ aR =

14、mgR / (mR2J)81.7 rad/s2 方向垂直紙面向方向垂直紙面向外外 (2) 當當 0 時，時， 物體上升的高度物體上升的高度h = R = 6.1210-2 m (3) 10.0 rad/s 方向垂直紙面向外方向垂直紙面向外 T T mg a 2202rad612. 0220 三三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理( (積分形式積分形式) )1221LLLtMttd一般的質(zhì)點系一般的質(zhì)點系021JJtMttd一個剛體一個剛體四四.角動量守恒定律角動量守恒定律vectorconst.0LM00JJiiii由多個剛由多個剛體組成的體組成的剛體體系剛體體系演示演示(一

15、一)茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳mm1r2r五五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的能量關(guān)系、剛體定軸轉(zhuǎn)動的能量關(guān)系1.動能定理動能定理 222121JmEiiiK化簡化簡1）用轉(zhuǎn)動慣量表達剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能）用轉(zhuǎn)動慣量表達剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能KEAA內(nèi)外質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系動能定理自證自證2） 用用角量角量表示的表示的力作功的形式力作功的形式dddMsFA3） 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理形式動能定理形式 2022121JJA0內(nèi)A2.重力場中重力場中,機械能守恒定律機械能守恒定律系統(tǒng)系統(tǒng)- 剛體剛體 + 地球地球EmghJc122自證自證例例1 質(zhì)點與質(zhì)量均勻的細棒相撞質(zhì)點與質(zhì)量均勻的細棒相撞(如圖如圖)解

16、：過程解：過程1 質(zhì)點與細棒相碰撞質(zhì)點與細棒相碰撞 碰撞過程中系統(tǒng)對碰撞過程中系統(tǒng)對o 點點 的合力矩為的合力矩為0MolMm0設(shè)，完全非彈性碰撞設(shè)，完全非彈性碰撞求：棒擺的最大角度求：棒擺的最大角度所以，系統(tǒng)對所以，系統(tǒng)對o點的角動量守恒。點的角動量守恒。即，即，21LL 131220mlMllm 2cos1cos1213121222mglMglmlMl細棒勢能細棒勢能質(zhì)點勢能質(zhì)點勢能olMm0過程過程2 質(zhì)點、細棒上擺質(zhì)點、細棒上擺 系統(tǒng)中包括地球，系統(tǒng)中包括地球， 只有保守內(nèi)力作功，所以機械能守恒。只有保守內(nèi)力作功，所以機械能守恒。 設(shè)勢能零點設(shè)勢能零點兩式聯(lián)兩式聯(lián)立得解立得解1. .確

17、定研究對象。確定研究對象。2. .受力分析，確定作功的力矩。受力分析，確定作功的力矩。3. .確定始末兩態(tài)的動能，確定始末兩態(tài)的動能，Ek0、Ek。4. .列方程求解。列方程求解。例例1：一細桿質(zhì)量為一細桿質(zhì)量為m，長度為，長度為l，一端，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細桿擺到鉛直位置時的角速度。細桿擺到鉛直位置時的角速度。0kkEEWg gmolm,解：解：以桿為研究對象，以桿為研究對象，只有重力產(chǎn)生力矩，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化且重力矩隨擺角變化而變化。而變化。重力矩作功重力矩作功：900MdW重900cos2dlmgmgl21始末兩態(tài)

18、動能：始末兩態(tài)動能： 212JEk由動能定理：由動能定理：0kkEEW021212Jmgl231mlJ22)31(2121mlmgllg30 0kE, ,g gmolm,22. .質(zhì)量為質(zhì)量為 m1、長為、長為 l 的均勻細桿的均勻細桿, ,靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為 m 的水的水平桌面上平桌面上, ,它可繞過其端點它可繞過其端點 o 且與桌且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動, ,另有一水另有一水平運動的質(zhì)量為平運動的質(zhì)量為m2的小滑塊的小滑塊, ,從側(cè)面從側(cè)面垂直與桿的另一端垂直與桿的另一端 A 相碰撞相碰撞, ,設(shè)碰撞設(shè)碰撞時間極短時間極短, ,已知小滑塊在碰撞前后的已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為速度分別為 v1 和和 v2 , ,方向如圖所示方向如圖所示, ,求碰撞后從細桿開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)求碰撞后從細桿開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動過程所需時間動過程所需時間, ,（已知桿繞點（已知桿繞點 o 的的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J= ml2/ / 3 )olm1m21v2vA，選逆時針方向為正，短，故系統(tǒng)角動量守恒極為系統(tǒng)，由于碰撞時間和解：選mm21)3/(212212lmlvmlvm則有：作用，矩在轉(zhuǎn)動過程僅受摩察力碰后Mmr1:大小為MrlrgxdmM01mglm121mlgxdxlm01m