2021屆高三第一次四校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷

1、2021屆高三第一次四校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷 吉安縣中、泰和中學(xué) 2021屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷 吉水中學(xué)、永豐中學(xué) 命題人：泰和中學(xué) 易光祿 吉水中學(xué) 周湖平 一、選擇題（本大題10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的） 1已知集合a 0,1,b yx2 y2 1,x a,則（ ） aa b ba b b a b a 2. 已知x，y的取值如右表：從散點圖分析，y與x線性 相關(guān)，且回歸方程為y 1.86x a, 則a = ( ) a 0.15 b 0.26 c 0.35 d 0.61 3已知a,b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，若滿意 aa bi1 bi

2、1 i，則等于（ ） a、 i b、 i c、1 2i d、1 2i 4右圖的程序框圖輸出結(jié)果i=（ ） a6 b7 c8 d9 5同時具有性質(zhì)“最小正周期是 ；圖象關(guān)于直線 x 3 對稱； 在 , 上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（ ） 63 a y sin x 2 6 b y cos 2x 3 cy sin 2x y cos 2x 6 d6 16若拋物線y 2 y2 2 8 x的焦點與雙曲線a x 1的一個焦點重合，則 雙曲線y2 x2 a 1的離心率為（ ） a 3 b c 32 d2 7若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x) x2 4x 3，則f(x 1)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） a( 4, 2) b

3、( 3, 1) c(1,3) d(0,2) 8已知等差數(shù)列a(xlnx)' lnx 1，且se n的前n項和為sn，又知10 1 lnxdx，s20 17，則s30 為（ ） a、33 b、46 c、48 d、50 9若方程(x 2cos )2 (y 2sin )2 1(0 2 )的任意一組解(x,y)都滿意 不等式x y，則 的取值范圍是（ ） a、 ,5 44 b、 5 13 7 12,12 c、4,6 d、7 7 12,6 10設(shè)a1,a2,an是正整數(shù)1，2，3 n的一個排列，令bj表示排在j的左邊且比j大的數(shù)的個數(shù)，bj 稱為j的逆序數(shù)，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的

4、逆序數(shù)是0，2的逆序數(shù)是3，則由1至9 這9個數(shù)字構(gòu)成的全部排列中，滿意1的逆序數(shù)是2，2的逆序數(shù)是3，5的逆序數(shù)是3的不同排列 種數(shù)是（ ） a、720 b、1008 c、1260 d、1440 二、填空題：(本大題共5個小題，每小題5分，共25分.請將答案寫到答題紙上.) 11 已知點p落在 abc的內(nèi)部，且ap 23 ab tac，則實數(shù)t的取值范圍是 12直三棱柱abc a1b1c1的各頂點都在同一球面上，ab ac aa1 2, bac 120 ，則此球的表面積等于 13已知a,b都為正實數(shù)，且 11a b 1，則 2 b2ab 的最大值為 x y 3 14若點p（m+1,n-1）在

5、不等式 x y 1表示的可行域內(nèi)，則2m n 1 m 2n 2的取值 2x y 6 范圍是 15選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答.若兩題都做，則按做的第一題評閱計分. 本題共5分. (1)（不等式選講）若不等式x a 2 1的解集是 2,0 2,4 ，則實數(shù)a (2)（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，點m(4， 3 )到直線l: (2cos sin ) 4的距離d . 三、解答題（共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 16、（本小題12分）已知在 abc中，角a、b、c的對邊長分別為a、b、c，已知向量 m (sina sinc,sibn siann) ,(sai ncsi

6、nb,，且 sm n， （1）求角c的大??； 1 （2）若a2 b2 12 2 c，試求sin(a b)的值。 17、（本小題12分）已知暗箱中開頭有3個紅球，2個白球，現(xiàn)每次從暗箱中取出1個球后，再將此球以及與它同色的5個球（共6個球）一起放回箱中， （1）求第2次取出紅球的概率； （2）若取出白球得5分，取出紅球得8分，設(shè)連續(xù)取球3次的得分值為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 18、（本小題12分）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形， 主視圖 側(cè)視圖 1 a n 俯視圖 （1）求證：bn 平面c1b1n； （2）設(shè) 為直線c1n與平

7、面cnb1所成的角,求sin 的值； （3）設(shè)m為ab中點，在bc邊上求一點p，使mp/平面cnbbp1 求pc 的值 19（本小題12分）已知函數(shù)f(x) (1 1x )1 ln(x 1)， 設(shè)g(x) x2 f (x) (x 0) （1）是否存在唯一實數(shù)a (m,m 1)，使得g(a) 0，若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明 理由。 （2）當(dāng)x 0時，f(x) n恒成立，求正整數(shù)n的最大值。 20（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點， 焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過 點m（2，1），平行于om直線 在y軸上的截距 為m(m 0)，設(shè)直線 交橢圓于兩個不同點a、b， （1

8、）求橢圓方程； （2）求證：對任意的m的允許值， abm的內(nèi)心i在定直線x 2上 21（本小題14分） 已知函數(shù)y f(x)對任意的實數(shù)x,y都有f(x y) f(x) f(y)且f(1) 0 n (1)記a n f(n),(n n),snn ai,設(shè)bn 2sa1的值;i 1 a 1且 bn 為等比數(shù)列,求n (2)在（1）的條件下，設(shè)c1n 1 2a 證明： n （i）對任意的x 0,c11 n 1 x n n 1 x 2 2an x (ii) cn 2 1 c2 cn n 1 n n 2 絕密啟用前 2021屆高三第一次四校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷參考答案 一、選擇題： baacc adcbb

9、二、填空題：11 1 0, 1220 139 14 5 15 (1)1 (2)2 3 ，16 7,1 a 5 三、解答題 16.解：（1）由題意得： m n (sin2a sin2c) (sin2b sinasinb) 0 即sin2c sin2a sin2 b sinasinb，由正弦定理得 2c2 a2 b2 ab，再由余弦定理得 cos c a b2 c 2 12ab 2 0 c c 3 6分 （2）方法一： a2 b2 1c2， sin2a sin2 b 1sin2c，即sin2a sin2 b 32 2 8 從而1 cos2a 1 cos2b 2 2 38 ， 即cos2b cos2

10、a 34 a b 3 cos( 4 3 2a) cos2a 3 4 即 cos( 2a) cos2a 3 3 4 ，從而sin(2a3 ) 4 sin(a b) sina (2 3 a sin(2a 2 ) sin(2a 2 3 3 ) = sin(2a 3 ) 4 12分 方法二：設(shè)r為 abc外接圓半徑，222222 sin(a b) a a c b b b c a2r2ac2r2bc 2= 2(a b2 )2 c14rc c 4rc 4r 2 sinc 4 1 2 2 222 方法三： cosb a c b 3c2ac c c2ac 4a 3sinc4sina 222 cosa b c

11、a 2bc c 2 sinc4bc 4sinb sinacosb 34 sinc，cosasinb 14 sinc sin(a b) 314sinc 4sinc 12 sinc 4 17.解：（1）p 2 8 35 3310 5 10 5 4分 （2） 的全部可能取值為：15、18、21、24 6分 p( 15) 2 7510 12 2815125 p( 18) 3 2510 7 23 727321155 10 15 5 10 15 125 p( 21) 3 8 2 3 282382451015510 15 5 10 15 125 p( 24) 3 8 135 10 15 52125 于是 的

12、分布列如下表所示： 8分 故e 15 28 18 2121 24125 102125 125 24 52125 5 12分 18解：（1）證明該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形， ba，bc，bb1兩兩垂直。 2分 以ba，bc，bb1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則n（4,4,0），b1（0, 8,0），c1（0,8,4），c（0,0,4）bn1 nb1=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=0 bn b1c1=（4,4,0）（0,0,4）=0 bnnb1，bnb1c1且nb1與b1c1相交于b1， bn平面c1b1n； 4分 3 （ii）設(shè)n2

13、 (x,y,z)為平面ncb1的一個法向量， 則 n2 c n 0 (x,y,z) (4,4, 4) 0 n2 nb1 0 (x,y,z) ( 4,4,0) 0 x y z 0 ,取n x y 02 (1,1,2),c1n (4, 4, 4) 則sin | | 3 8分 （iii）m（2,0,0）.設(shè)p(0,0,a)為bc上一點, 則mp ( 2,0,a), mp/平面cnb1, mp n2 mp n2 ( 2,0,a) (1,1,2) 2 2a 0 a 1. 又pm 平面cnb1, mp/平面cnb1, 當(dāng)pb=1時mp/平面cnbbp11 pc 3 12分 （用幾何法參照酙情給分。） 19

14、.解：（1）由f (x) x 1 ln(x 1) x 2 ,得 g(x) x 1 lnx( 1)x( 0 則g (x) xx 1 0,因此g(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞增。 4分 由于g(2) 1 ln3 0，g(3) 2(1 ln2) 0， 即g(x) 0存在唯一的根a (2,3)，于是m 2, 6分 （2）由f(x) n得，n f(x)且x (0, )恒成立，由第（1）題知存在唯一的實數(shù)a (2,3)，使得g(a) 0，且當(dāng)0 x a時，g(x) 0，f (x) 0；當(dāng)x a時，g(x) 0,f (x) 0，因此當(dāng)x a 時，f(x)取得最小值f(a) (a 1)1 ln(a 1) a 9分

15、 由g(a) 0，得 a 1 ln(a 1) 0, 即 1 lna( 1 )a 于是 f(a) a 1 又由a (2,3)，得f(a) (3,4)，從而n 3，故正整數(shù)n的最大值為3。 12分 20解：（1）設(shè)橢圓方程為 x22a 2 yb 2 1(a b 0) a 2b 則 41 1 a2 8 a 2 b2 b2 22 2 所以，橢圓方程為 x 8 y 2 1 5分 （2）如圖，由于直線 平行于om，且在y軸上的截距為m，又k1om 2 ，所以，直線 的方程為 y 1 y 1x m2x m， 由 222mx 2m2 2 x 4 0， x2 8 y2 1 設(shè)a(x),b(x2 1,y12,y2

16、)，則x1 x2 2m,x1x2 2m 4， 8分 設(shè)直線ma、mb的斜率分別為ky1 11、k2，則k1 x，ky2 12 1 2 x2 2 故k1(y1 1)(x2 2) (y2 1)(x1 2) 1 ky1 12 x y2 1 2 x2 2 (x= 1 2)(x2 2) ( 1x11 m 1)(x2 2) ( x2 m 1)(x1 2) (x= x1x2 (m 2)(x1 x1) 4(m 1) 1 2)(x2 2) (x1 2)(x2 2) 2 2m 4 (m 2)( 2m) 4(m 1) (x 0 12分 1 2)(x2 2) 故k1 k2=0，所以， abm的角平分線mi垂直x軸，因

17、此，內(nèi)心i的橫坐標(biāo)等于點m的橫坐標(biāo)，則對任意的m的允許值， abm的內(nèi)心i在定直線 x 2上 13分 21.解：(1) f(x y) f(x) f(y)對于任意的x r均成立, f(n 1) f(n) f(1),即an 1 an a1. 2分 f(1) 0,a 1 0, an 0(n n), 4 an是以a1為首項,a1為公比的等比數(shù)列, an a1n. 當(dāng)a1 1時，an 1,sn n,此時bn 2n 1,bn不是等比數(shù)列, a1 1. bn成等比數(shù)列, b1,b2,b3成等比數(shù)列, b22 b1b3. b1 2s1 1 3,b2 原不等式成立 8分 . (ii)由(i)知,對任意的x0,有

18、 c1 c2 cn 211 x 1 1(1 x) (22 ( 23 x) n 11 x 1 1(1 x) (22 22(a1 a2) 1 2(a1 a1) 2 1 3a1 2, ( x) 1 x)= 2 nx) 9分 a1 a2 a21 a1 a2 3 2 a2 b1 a1 a1) 2a1 2 1 2 6a1 6 3 2(a 3 1 3a11 a 2, ( 31 a)2 9a11 a 2 1 解得a11 3 . 5分 13 n (2)在(1)的條件下, an 3n ,知cn 3n 2 0, (i) 1 11 x (1 x( 2 1 ) 2 3 n x) 1 x 1 2(1 x) 2 ( 3 n 1 1 x)= 11 x 1(1 x)2 1c (1 x) 1 1 2n c 2 n(1 x) 1 x = 1 ( 1 2 cn1 x cn) cncn, 原不等式成立. 8分 解法二 (i)設(shè)f(x) 121 x 1, (1 x) 2 ( 3 n x)2 (2 x) 2(1 x)2( 2 n x) 則f'(x) 1 (1 x) (1 x)