2021年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析

1、2021年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析 手工修正,答案與題目分開 2021年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題，共10小題，每小題5分，共50分 1（5分）（2021 湖南）已知 =1+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（ ） 4（5分）（2021 湖南）若變量x、y滿意約束條件，則z=3xy的最小值為（ ） 6（5分）（2021 湖南）已知（ ）的綻開式中含x 5 的項的系數(shù)為30，則a=（ ） 線c為正態(tài)分布n（0，1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估量值為（ ） 2 附“若xn=（，a），則 p（ x+ ）=0.6826 p（2 x+2 ）=0.9544 8（5分）

2、（2021 湖南）已知a，b，c在圓x+y=1上運動，且abbc，若點p的坐標為（2，0），則|的最大值為（ ） 手工修正,答案與題目分開 9（5分）（2021 湖南）將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向右平移（0）個單位后得 ，則= 到函數(shù)g（x）的圖象若對滿意|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ） 二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分 11（5分）（2021 湖南） （x1）dx= 12（5分）（2021 湖南）在一次馬拉松競賽中，35 名運動員的成果

3、（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示 若將運動員成果由好到差編號為135號，再用系統(tǒng) 抽樣方法從中抽取7人，則其中成果在區(qū)間139，151 上的運動員人數(shù) 是 13（5分）（2021 湖南）設(shè)f是雙曲線c： =1的一個焦點若c上存在點p，使 線段pf的中點恰為其虛軸的一個端點，則c的離心率為 14（5分）（2021 湖南）設(shè)sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a1=1，且3s1，2s2，s3成等差數(shù)列，則an= 15（5分）（2021 湖南）已知函數(shù)f（x）= 若存在實數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x） b有兩個零點，則a的取值范圍是 三、簡答題，共1小題，共75分，16、17、18為選修題，任選兩小題作答

4、，假如全做，則按前兩題計分選修4-1：幾何證明選講 16（6分）（2021 湖南）如圖，在o中，相較于點e的兩弦ab，cd的中點分別是m，n，直線mo與直線cd相較于點f，證明： （1）men+nom=180 手工修正,答案與題目分開 （2）fe fn=fm fo 選修4-4：坐標系與方程 17（6分）（2021 湖南）已知直線l：（t為參數(shù)）以坐標原點為極點，x軸 的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的坐標方程為=2cos （1）將曲線c的極坐標方程化為直坐標方程； （2）設(shè)點m的直角坐標為（5，），直線l與曲線c的交點為a，b，求|ma| |mb|的值 選修4-5：不等式選講 18（2021

5、 湖南）設(shè)a0，b0，且a+b=+證明： （）a+b2； 22 （）a+a2與b+b2不行能同時成立 19（2021 湖南）設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c，a=btana，且b為鈍角 手工修正,答案與題目分開 （）證明：ba=； （）求sina+sinc的取值范圍 20（2021 湖南）某商場進行有獎促銷活動，顧客購買肯定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎，若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎 （1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率； （2）若某顧客有3次

6、抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望 21（2021 湖南）如圖，已知四棱臺abcda1b1c1d1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，aa1=6，且aa1底面abcd，點p、q分別在棱dd1、bc上 （1）若p是dd1的中點，證明：ab1pq； （2）若pq平面abb1a1，二面角pqda的余弦值為，求四周體adpq的體積 22（13分）（2021 湖南）已知拋物線c1：x=4y的焦點f也是橢圓c2：0）的一個焦點c1與c2的公共弦長為2 2 +=1（ab 手工修正,答案與題目分開 （）求c2的方程； （）過點f的直線l與c1相交于a、b兩點，與c2相

7、交于c、d兩點，且 與 同向 （）若|ac|=|bd|，求直線l的斜率； （）設(shè)c1在點a處的切線與x軸的交點為m，證明：直線l繞點f旋轉(zhuǎn)時，mfd總是鈍角三角形 23（13分）（2021 湖南）已知a0，函數(shù)f（x）=esinx（x0，+）記xn為f（x）的 * 從小到大的第n（nn）個極值點證明： （）數(shù)列f（xn）是等比數(shù)列； （）若a ，則對一切nn，xn|f（xn）|恒成立 * ax 手工修正,答案與題目分開 第 1 次循環(huán)，s= 第 2 次循環(huán)，s= 第 3 次循環(huán)，s= ,i=2, ,i=3, ,i=4, 此時，in,滿意推斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果： s= 故選：b 4 解

8、：由約束條件 作出可行域如圖， = = 由圖可知，最優(yōu)解為 a, 聯(lián)立 ，解得 c(0,1) .由 解得 a(2,1) ,由 ， 解得 b(1,1) z=3xy 的最小值為 3(2)1=7. 故選：a. 5、 解：函數(shù) f(x)=ln(1+x)ln(1x) ,函數(shù)的定義域為(1,1) , 函數(shù) f(x)=ln(1x)ln(1+x)=ln(1+x)ln(1x)=f(x) ,所以函 數(shù)是奇函數(shù). 排解 c,d,正確結(jié)果在 a,b,只需推斷特別值的大小，即可推出選項，x=0 時，f (0)=0; x= 時，f( )=ln(1+ )ln(1 )=ln31,明顯 f(0)f( ) ,函數(shù)是增函 數(shù)，所以

9、 b 錯誤，a 正確. 故選：a. 解：依據(jù)所給的二項式寫出綻開式的通項， tr+1= = ; 6、 綻開式中含 x r=1,并且 故選：d. 7、 , 的項的系數(shù)為 30, ,解得 a=6. 解：由題意 p(0x1)= 0.6826=0.3413, 手工修正,答案與題目分開 落入陰影部分點的個數(shù)的估量值為 100000.3413=3413, 故選：c. 8、 解：由題意，ac 為直徑，所以| 所以 b 為(1,0)時，|4+ 所以| 故選：b. 9、 解：由于將函數(shù) f(x)=sin2x 的周期為 ,函數(shù)的圖象向右平移 (0 )個單 |7. |=|2 + |=|4+ |. |的最大值為 7.

10、 位后得到函數(shù) g(x)的圖象.若對滿意|f(x1)g(x2)|=2 的可知，兩個函數(shù)的最 大值與最小值的差為 2,有|x1x2|min= 不妨 x1= 此時 = x1= = ,x2= ,x2= ,即 g(x)在 x2= , ,取得最小值，sin(2 2)=1, ,不合題意， ,即 g(x)在 x2= ,取得最大值，sin(2 2)=1,此時 ,滿意題意. 故選：d. 10、 解：依據(jù)三視圖可推斷其為圓錐， 底面半徑為 1,高為 2, v= 2= 加工成一個體積盡可能大的長方體新工件， 此長方體底面邊長為 n 的正方形，高為 x, 依據(jù)軸截面圖得出： = 解得；n= (1 , ) ,0x2,

11、手工修正,答案與題目分開 長方體的體積 =2(12 ) x,= x 4x+2, 2 2 ,= x 4x+2=0,x= ,x=2, 可推斷(0, )單調(diào)遞增， ( ,2)單調(diào)遞減， 最大值=2(1 ) =2 , 原工件材料的利用率為 = = , 故選：a 11、 解： (x1)dx=( x)| =0; 故答案為：0. 12、 解：依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得； 成果在區(qū)間139,151上的運動員人數(shù)是 20, 用系統(tǒng)抽樣方法從 35 人中抽取 7 人， 成果在區(qū)間139,151上的運動員應(yīng)抽取 7 =4(人) . 故答案為：4. 13、 解：設(shè) f(c,0) ,p(m,n) , (m0) , 設(shè) pf

12、 的中點為 m(0,b) , 即有 m=c,n=2b, 將點(c,2b)代入雙曲線方程可得， =1, 可得 e = 2 =5, 解得 e= . 故答案為： . 14、 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為 q,sn 為等比數(shù)列an的前 n 項和， 若 a1=1,且 3s1,2s2,s3 成等差數(shù)列， 可得 4s2=s3+3s1,a1=1, 2 即 4(1+q)=1+q+q +3,q=3. n1 an=3 . n1 故答案為：3 . 15、 解：g(x)=f(x)b 有兩個零點， f(x)=b 有兩個零點，即 y=f(x)與 y=b 的圖象有兩個交 3 2 點，由 x =x 可得，x=0 或 x=18 手工修

13、正,答案與題目分開 當 a1 時，函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，此時存在 b,滿 足題意，故 a1 滿意題意 當 a=1 時，由于函數(shù) f(x)在定義域 r 上單調(diào)遞增，故不 符合題意當 0a1 時，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，故不符合 題意 a=0 時，f(x)單調(diào)遞增，故不符合題意 當 a0 時，函數(shù) y=f(x)的圖象如圖所示，此時存在 b 使得，y=f(x)與 y=b 有兩個交點 綜上可得，a0 或 a1 故答案為：a|a0 或 a1 16、 證明： (1)n 為 cd 的中點， oncd, m 為 ab 的中點， omab, 在四邊形 omen 中，ome+one=90+90=180,

14、o,m,e,n 四點共圓， men+nom=180 (2)在 fem 與 fon 中，f=f,fme=fno=90, femfon, =2 2 2 2 2 fe fn=fm fo. 17、 解： (1) =2cos, =2cos, x +y =2x, 故它的直角坐標方程為 (x1) +y =1; (2)直線 l: (t 為參數(shù)) ,一般方程為 , (5, )在直 線 l 上， 2 2 過點 m 作圓的切線，切點為 t,則|mt| =(51) +31=18, 2 由切割線定理，可得|mt| =|ma| |mb|=18. 18、 證明： ()由 a0,b0, 則 a+b= + = , 由于 a+b

15、0,則 ab=1, 即有 a+b2 =2, 當且僅當 a=b 取得等號. 則 a+b2; 2 2 ()假設(shè) a +a2 與 b +b2 可能同時成立. 2 由 a +a2 及 a0,可得 0a1, 2 由 b +b2 及 b0,可得 0b1, 這與 ab=1 沖突. 2 2 a +a2 與 b +b2 不行能同時成立. 19、 解： ()由 a=btana 和正弦定理可得 = = , 手工修正,答案與題目分開 sinb=cosa,即 sinb=sin( 又 b 為鈍角， b= +a( ; +a) ,) , +a,ba= ()由()知 c=(a+b)=(a+ a(0, ) ,sina+sinc=

16、sina+sin(2 +a)= 2a) 2a0, =sina+cos2a=sina+12sin a = 2(sina ) + , a(0, ) ,0sina ,2 2 由二次函數(shù)可知 2(sina ) + , sina+sinc 的取值范圍為( 20、 解： (1)記大事 a1=從甲箱中摸出一個球是紅球,大事 a2=從乙箱中摸出一個球是 紅球,大事 b1=顧客抽獎 1 次獲一等獎,大事 a2=顧客抽獎 1 次獲二等獎,大事 c=顧客抽獎 1 次能獲獎,由題意 a1,a2 相互獨立， 互斥，且 b1=a1a2,b2= = = + , 互斥，b1,b2 ,p(a2) )+p( ) ,c=b1+b2

17、,由于 p(a1)= = ,p(b2)=p( = . ,所以，p(b1)=p(a1)p(a2)= + = ,故 所求概率為：p(c)=p(b1+b2)=p(b1)+p(b2)= (2)顧客抽獎 1 次可視為 3 次獨立重復(fù)試驗，由(1)可知，顧客抽獎 1 次獲一等獎 的概率為： p (x=1) = = 故 x 的分布列為： x 0 p e(x)=3 = . = . 所以. xb = . 于是， p (x=0) = , p (x=2) = = = , , p (x=3) 1 2 3 手工修正,答案與題目分開 21、 解：依據(jù)已知條件知 ab,ad,aa1 三直線兩兩垂直，所以分別以這三直線為 x

18、,y, z 軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則： a(0,0,0) ,b(6,0,0) ,d(0,6,0) ,a1(0,0,6) ,b1(3,0,6) ,d1(0, 3,6) ; q 在棱 bc 上，設(shè) q(6,y1,0) ,0y16; (1)證明：若 p 是 dd1 的中點，則 p ; ; , ; ; ab1pq; (2)設(shè) p(0,y2,z2) ,y2,z20,6,p 在棱 dd1 上； ,01; (0,y26,z2)=(0,3,6) ; ; z2=122y2; p(0,y2,122y2) ; 平面 abb1a1 的一個法向量為 pq平面 abb1a1; =6(y1y2)=0; ; ; y

19、1=y2; q(6,y2,0) ; 設(shè)平面 pqd 的法向量為 ，則： ; ,取 z=1,則 ; 又平面 aqd 的一個法向量為 ; 手工修正,答案與題目分開 又二面角 pqda 的余弦值為 ； ; 解得 y2=4,或 y2=8(舍去) ; p(0,4,4) ; 三棱錐 padq 的高為 4,且 v 四周體 adpq=v 三棱錐 padq=2 ; . 22、 解： ()拋物線 c1:x =4y 的焦點 f 的坐標為(0,1) ,由于 f 也是橢圓 c2 的一個 焦點， 2 2 a b =1, 2 又 c1 與 c2 的公共弦長為 2 ,c1 與 c2 的都關(guān)于 y 軸對稱，且 c1 的方程為

20、x =4y, 由此易知 c1 與 c2 的公共點的坐標為( 所以 =1,2 2 , ) , 聯(lián)立得 a =9,b =8, 故 c2 的方程為 + =1. ()設(shè) a(x1,y1) ,b(x2,y2) ,c(x3,y3) ,a(x4,y4) , ()由于 所以 = , 與 同向，且|ac|=|bd|, 從而 x3x1=x4x2,即 x1x2=x3x4,于是 2 2 (x1+x2) 4x1x2=(x3+x4) 4x3x4, 設(shè)直線的斜率為 k,則 l 的方程為 y=kx+1, 由 ，得 x 4kx4=0,而 x1,x2 是這個方程的兩根，2 所以 x1+x2=4k,x1x2=4, 由 ，得(9+8k )x +16kx64=0,而 x3 ,x4 是這個方程的兩根，2 2 所以 x3+x4= ,x3x4= , 手工修正,答案與題目分開 將代入,得 16(k +1)= 2 + , 即 16(k +1)= 所以(9+8k ) =169, 解得 k=2 2 2 2 , . ()由 x =4y 得 y= x, 所以 c1 在點 a 處的切線方程為 yy1= x1(xx1) , 即 y= x1x x1 , 令 y=0,得 x= x1, m( x1,0) , 所以 而 于是 =( x1,1) , =(x1,y11) , = x1