262用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

1、1、理解二次函數(shù)圖像與、理解二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)軸的交點(diǎn)的個數(shù)的情況的情況3.會用一元二次方程解決二次函數(shù)圖象與會用一元二次方程解決二次函數(shù)圖象與x軸軸的交點(diǎn)問題的交點(diǎn)問題2.理解二次函數(shù)圖像與一元二次方程的根的關(guān)理解二次函數(shù)圖像與一元二次方程的根的關(guān)系系二次函數(shù)v定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。v圖象：是一條拋物線。v圖象的特點(diǎn)：（1）有開口方向，開口大小。（2）有對稱軸。（3）有頂點(diǎn)（最低點(diǎn)或最高點(diǎn)）。oxyoxy 二次函數(shù)y=ax2的圖象與二次函數(shù)y=ax2+k的圖象的關(guān)系v二次函數(shù)y=ax2+k的圖象可由二次函數(shù)y=ax

2、2的圖象向上（或向下）平移得到：v當(dāng)k0時，拋物線y=ax2向上平移k的絕對值個單位，得y=ax2+kv當(dāng)k0時，拋物線y=ax2向下平移k的絕對值個單位，得y=ax2+ky=2x2y=2x2-2y=2x2+2二次函數(shù)y=ax2的圖象與二次函數(shù)y=a(x-h) 2的圖象的關(guān)系v二次函數(shù)y=a(x-h) 2的圖象可由二次函數(shù)y=ax2的圖象向左（或向右）平移得到：v當(dāng)h0時，拋物線y=ax2向左平移h的絕對值個單位，得y=a(x-h) 2v當(dāng)h0時，拋物線y=ax2向右平移h的絕對值個單位，得y=a(x-h) 2二次函數(shù)y=ax2的圖象與二次函數(shù)y=a(x-h) 2+k的圖象的關(guān)系v二次函數(shù)y=

3、a(x-h) 2+k的圖象可由拋物線y=ax2向左(或向右)平移h的絕對值個單位,在向上(或向下)平移k的絕對值個單位而得到.在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x - 時， y隨x的增大而增大。簡記左減右增。拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=- 時， y最小值=二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)v當(dāng)a0時：拋物線開口向上。v對稱軸是x=- ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （- ， ) v當(dāng)a0時,在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x- 時，y隨x的增大而減小； oxyb2a4a4ac-b24a4ac-b2b2ab2ab2ab2a 在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng) x - 時， y隨x的增大而減小。簡記左增右減。拋物線有最高點(diǎn)， 當(dāng)x=- 時， y最大值=v當(dāng)a

4、0時：拋物線開口向下。v對稱軸是x=- ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(- ， ) v在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x - 時，y隨x的增大而增大； oxyb2ab2ab2ab2ab2a4a4ac-b24a4ac-b2引言引言 在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題。如：被拋射出去的物體沿拋物線軌道飛行；拋物線形拱橋的跨度、拱高的計算等利用二次函數(shù)的有關(guān)知識研究和解決這些問題，具有很現(xiàn)實的意義。本節(jié)課，我將和同學(xué)們共同研究解決這些問題的方法，探尋其中的奧秘。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí).1、一元二次方程、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情的根的情況可由況可由 確定。確定。 0 0= 0= 0 0 0有兩個不相等的實數(shù)

5、根有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根b2- 4ac2、在式子、在式子h=50-20t2中，如果中，如果h=15，那么，那么 50-20t2= ，如果，如果h=20，那，那50-20t2= ， 如果如果h=0，那，那50-20t2= 。如果要想求。如果要想求t的值，那么我的值，那么我 們可以求們可以求 的解。的解。15200方程問題問題1:1:如圖如圖, ,以以 40 40 m /sm /s的速度將小球沿與地面成的速度將小球沿與地面成 3030度度角的方向擊出時角的方向擊出時, ,球的飛行路線是一條拋物線球的飛行路線是一條拋物線, ,如果不考慮如果不考慮

6、空氣阻力空氣阻力, ,球的飛行高度球的飛行高度 h (h (單位單位:m):m)與飛行時間與飛行時間 t (t (單單位位:s):s)之間具有關(guān)系之間具有關(guān)系: :h= 20 t 5 th= 20 t 5 t2 2 考慮下列問題考慮下列問題: :(1)(1)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到 15 m ? 15 m ? 若能若能, ,需要多少時間需要多少時間? ?(2)(2)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到 20 m ? 20 m ? 若能若能, ,需要多少時間需要多少時間? ?(3)(3)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到 20.5 m ? 20.5 m ? 若能若能,

7、,需要多少時間需要多少時間? ?(4)(4)球從球從 飛出到落地飛出到落地 要用多少時間要用多少時間 ? ?15= 20 t 5 t2h=0h t20= 20 t 5 t220.5= 20 t 5 t20= 20 t 5 t2解解：（：（1）解方程）解方程15=20t-5t2 即：即： t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行1s和和3s時，它的高度為時，它的高度為15m。 （2）解方程）解方程20=20t-5t2 即：即： t2-4t+4=0 t1=t2=2 當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行2s時，它的高度為時，它的高度為20m。 （3）解方程）解方程20.5=20t-5t2 即：即： t2

8、-4t+4.1=0 因為因為(-4)2-44.10，所以方程無解，所以方程無解， 球的飛行高度達(dá)不到球的飛行高度達(dá)不到20.5m。（4）解方程）解方程0=20t-5t2 即：即： t2-4t=0 t1=0,t2=4 球的飛行球的飛行0s和和4s時，它的高度為時，它的高度為0m。即。即 飛出到落地用了飛出到落地用了4s 。 你能結(jié)合圖你能結(jié)合圖形指出為什形指出為什么在兩個時么在兩個時間球的高度間球的高度為為15m嗎？嗎？那么為什么那么為什么只在一個時只在一個時間求得高度間求得高度為為20m呢？呢？那么為什么那么為什么兩個時間球兩個時間球的高度為零的高度為零呢？呢？ 從上面我們看出，從上面我們看出

9、， 對于二次函數(shù)對于二次函數(shù)h= 20 t 5 t2中，已知中，已知h的值，求時間的值，求時間t？其實就是把函數(shù)值其實就是把函數(shù)值h h換成換成常數(shù)常數(shù)，求，求一元二次方程的解。一元二次方程的解。2205htt那么從上面，二次函數(shù)那么從上面，二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何時為何時為一元二次方程一元二次方程?它們的關(guān)系如何它們的關(guān)系如何?一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)y取定值時，二次函數(shù)為一元取定值時，二次函數(shù)為一元二次方程。二次方程。如：如：y=5時，則時，則5=ax2+bx+c就就是一個一元二次方程。是一個一元二次方程。為一個常數(shù)為一個常數(shù)（定值）（定值）練習(xí)一：練習(xí)一：如圖設(shè)水

10、管如圖設(shè)水管AB的高出地面的高出地面2.5m，在，在B處有一自動旋處有一自動旋轉(zhuǎn)的噴水頭，轉(zhuǎn)的噴水頭，解：根據(jù)題意得解：根據(jù)題意得 = 0分析：根據(jù)圖象可知，分析：根據(jù)圖象可知，-1想一想，這一個旋轉(zhuǎn)噴水想一想，這一個旋轉(zhuǎn)噴水頭，水流落地覆蓋的最大頭，水流落地覆蓋的最大面積為多少呢？面積為多少呢？1、二次函數(shù)、二次函數(shù)y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1的圖象如圖所示。的圖象如圖所示。(1).每個圖象與每個圖象與x軸有幾個交點(diǎn)？軸有幾個交點(diǎn)？(2).一元二次方程一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有幾個根有幾個根? 驗證一

11、下一元二次方程驗證一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根嗎有根嗎?(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系?22yxx 269yxx21y xx 答：答：2個，個，1個，個，0個個 .,2 ,2 .2無實數(shù)根個相等的根個根邊觀察邊思考邊觀察邊思考分析分析b2 4ac 0b2 4ac =0b2 4ac 0OXY2、二次函數(shù)、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和的圖象和x軸交軸交點(diǎn)點(diǎn),則則b2-4ac的情況如何。的情況如何。.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）如果拋物線）如果拋物線y=ax2+bx+c與與x軸有公共軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)那么當(dāng)x=x0時，函時，函數(shù)值為數(shù)值為0，因此，因此x=x0就是方程就是方程y=ax2+bx+c的的一個根一個根2 2、二次函數(shù)、二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點(diǎn)軸交點(diǎn) 情況