平面向量、函數(shù)圖象、方程曲線專題復(fù)習(xí)要點(diǎn)解讀

1、1平面向量、函數(shù)圖象、方程曲線專題復(fù)習(xí)要點(diǎn)趙春祥河北省特級(jí)教師由于平面向量的坐標(biāo)表示與代數(shù)聯(lián)系十分緊密，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系 多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，因而它經(jīng)常與函數(shù)、 三角函數(shù)、解析幾何綜合在一起命題， 這既考查了平面向量 的有關(guān)知識(shí)，也考查了其它內(nèi)容，體現(xiàn)了考試大綱中強(qiáng)調(diào)的“在知識(shí)交匯處命題”的原則.函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，圖象中有非常多的信息量，比如定義域、值域、最值、奇偶性、 單調(diào)性、周期性等.圖象信息選擇題可以全面地考查考生的綜合素質(zhì)和能力，這樣的題目解法靈活，是拉開分?jǐn)?shù)檔次的一種重要題型，也是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).以基礎(chǔ)層次或中檔難度的試題 考查函數(shù)圖象，特別是圖象

2、的平移、 對(duì)稱及伸縮變換，通過對(duì)圖象的識(shí)別來考查函數(shù)的性質(zhì)，在每年的高考試題中，以中等難度題型設(shè)計(jì)新穎的試題考查函數(shù)的性態(tài)一一即函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、 周期性和函數(shù)圖象的對(duì)稱性等，近幾年，以組合形式一題多角度考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)的高考題正 成為新的熱點(diǎn)；“曲線”與“方程”是同一對(duì)象點(diǎn)的軌跡） 的兩種表現(xiàn)形式，曲線是軌跡的幾何形式， 方程是軌 跡的代數(shù)形式它們?cè)诒憩F(xiàn)和研究軌跡的性質(zhì)時(shí)， 各有所長幾何形式具有直觀形象的優(yōu)點(diǎn)， 代數(shù) 形式具有便于運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)，因而具有操作程序化的長處.具體解題時(shí)最好將二者結(jié)合起來， 這就是“數(shù)形結(jié)合”思想所考查的數(shù)學(xué)思想方法除數(shù)形結(jié)合外，函數(shù)與方程、等件轉(zhuǎn)化、分類討論

3、等數(shù)學(xué)思想；向量法、參數(shù)法、消元法、配方法、待定系數(shù)法、換元法等數(shù)學(xué)方法；以及利用韋達(dá)定理、 判別式、曲線系方程、坐標(biāo)法等技巧在考卷中都充分得到體現(xiàn).例 i（2007 年全國高考陜西卷理科試題）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA，OB，OC，其中 OA 與OB 的夾角為120, OA 與 OC 的夾角為30，且|OA| = |解一（坐標(biāo)法 1）:由題意，建立以O(shè)C為 x 軸、OB為 y 軸的平面直角坐標(biāo)系,|OA| = |OB | = 1，|OC| = 2、3，JR）,則 +的值為OB | = 1, |OC | = 2、3 .若OAOC = OA + 5(,22又 vOCOA=(22OB= (0,=

4、OA + 9B1), OC = (2,3 , 0),2.3,12-0 二亠2二4,2.解二（坐標(biāo)法 2）:由題意，建立以O(shè)A為 x 軸的平面直角坐標(biāo)系,|OA| = |OB| = 1, |OC| =2.3 ,/OA=(1,0),OB=(COS120,sin120) =(-1, 2 2),OC= (2 一3COS30, 2、3sin30 ) = (3, 3),又 vOC=OA + 忌，.(33) =-(1, 0)+(-，山2 23=,3 于，=4,2I j),C解三 （代數(shù)法T TT T1）：VOA 與 OB 的夾角為120, OA 與 OC 的夾角為30,OC 與 OB 的夾角為 90 ,OC

5、 OB = 0, 即卩 OBOA +9B) = 0,21OB OA +JOB = 0,二一一 +=0,即=2.2又山總=貉OAJOA+POB)九+POAOB&_2卩卩運(yùn)2託= =2亦亦= =22、31-J=3.234由、解得，二 4,=2,. +=6.解四（代數(shù)法2）：VOA與 OB 的夾角為120,OA 與 OC 的夾角為30,OC與 OB 的夾角為90，又|OA| = |OB| = 1,OA| |OB|cos120二一占二一占, ,QB OC由OC= OA+ OB 兩邊平方得：12 = 2+2，由OC OB= OA 兩邊平方得：12+2= 2，解五（幾何法）:如左圖，過 C 點(diǎn)作兩

6、條直線與直線OA、OB平行，分別交OA、OB的延長線于 A、B 兩點(diǎn)，則四邊形 OACB!為平行四邊形，且 OC=OA + OB = 7QA + POB , OA = OA ,OR=OB .由題意知，COB =90，在 RtCOAi中，|CA|=2、3tan30 = 2,1OA|= |OB| = 1,.QA=4OA， OB=2OB，即人=4，卩=2 或或人人二二一 4，卩二二一 2 （不合題意，舍去），評(píng)析：解法一和解法二展示的是，通過建立平面直角坐標(biāo)系，將平面向量的夾角問題轉(zhuǎn)化為平 面向量數(shù)量積的坐標(biāo)問題，這也是將形化數(shù)的典型實(shí)例.解法三和解法四告訴我們，兩向量的數(shù)量積是高考的核心內(nèi)容， 即

7、為高考的一個(gè)命題點(diǎn)，填空 題、選擇題重點(diǎn)考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律等問題，向量的數(shù)量積運(yùn)算常用來解決有關(guān)角度、 摸長 等相關(guān)問題.在解法五中，通過深入挖掘平面向量的幾何意義，化數(shù)為形，數(shù)形結(jié)合，也就是將抽象的數(shù)學(xué) 語言與直觀的圖形結(jié)合起來，對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路.例 2 （2007 年全國高考福建卷理科試題）如圖，已知點(diǎn)F（1,0）,=|OB| |OC |cos90= 0,OA OB = |、聯(lián)立求得 = 4，=2,. +=6.|OA|= 4,5直線I :x二-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線I的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且QP求動(dòng)點(diǎn)P的軌

8、跡C的方程;過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A, B兩點(diǎn)，交直線I于點(diǎn)M,MA = AF,解：由 QP QFP FQ 得：FQ (PQ PF0 ,T T T(PQ - PF) (PQ PF) =0，即 PQ所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x .由已知 MA 二iAF , MB 二-2BF，得12 1,函數(shù)f(x)= logax 在區(qū)間a, 2a上的最大值與1最小值之差為，則 a 等于().A. ,2B. 2C. 2 2D. 4解：由 a 1,則f (x)= logax 在區(qū)間a, 2a上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值為 loga2a，最小值為 logaa= 1,1因此有 loga2

9、a 仁，解得 a = 4,故選 D.評(píng)析：在解題時(shí)，一定要注意不同的底，對(duì)數(shù)函數(shù)有不同的單調(diào)性.函數(shù)最值是函數(shù)的主要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支及實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是基本初等函數(shù)(二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)) 的最值問題，多年來一直是?？疾凰サ臒狳c(diǎn)內(nèi)容之一. 解此類考題要以數(shù)形結(jié)合為切入點(diǎn)， 化難為易，讓抽象的問題轉(zhuǎn)化得直觀明白.例 5. (2007 年全國高考北京卷文科試題)如圖，矩形ABCD的 兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0),AB邊所在直線的方程為x -3y -6 =0點(diǎn)T(-1,1)在AD邊所在直線上.求AD邊所在直線的方程；求矩形ABCD外接圓的方程；若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(-2,0)

10、，且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程.解：因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)T(-1,1)在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為y-1 = -3(x)，即3 y 2 0由!x-3y-6-0,解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(。廠 2),3x + y+2=0因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M (2,0)，所以M為矩形ABCD外接圓的圓心.8又AM =p（2 -0）2+（0+2）2=2血.從而矩形ABCD外接圓的方程為（x 一 2）2 y2=8.因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以 P 叫是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以 PM|= PN +2.J2，即 PM PN|=2血.故點(diǎn)P的軌跡是以M, N為