極限的計算與證明方法

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）冊學(xué)院匯華學(xué)院專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級2008 級X班學(xué)生 XXX指導(dǎo)教師 XXX論文編號 河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書編 號：論文（設(shè)計）題目： 極限的計算與證明方法學(xué) 院：匯華學(xué)院專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級:2008 級3班學(xué)生姓名： XXX 學(xué)號： 指導(dǎo)教師： XXX 職稱： 1論文（設(shè)計）研究目標(biāo)及主要任務(wù)目標(biāo)：總結(jié)一些常用的極限的計算和證明方法。主要任務(wù)：通過歸納總結(jié)對極限思想及其計算、證明方法加以鞏固，為后繼的數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。同時也培養(yǎng)自身的探究精神，提高自身的科學(xué)素養(yǎng)。2、論文（設(shè)計）的主要內(nèi)容主要內(nèi)容：極限的常見的計算和證明方法，即利用函數(shù)的

2、定義求極限、利用兩個準(zhǔn) 則求極限、利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限、利用兩個重要 極限公式求極限、利用單側(cè)極限求極限、利用無窮小量的性質(zhì)求極限、利用等價無窮小 量代換求極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、利用中值定理求極 限、利用定積分求和式的極限、利用洛必達(dá)法則求極限、利用泰勒展開式求極限、利用 級數(shù)收斂的必要條件求極限等。3、論文（設(shè)計）的基礎(chǔ)條件及研究路線基礎(chǔ)條件：圖書館借閱及網(wǎng)上相關(guān)資料查閱。研究路線：首先引入極限的分類及定義；然后對極限的計算與證明方法進(jìn)行搜集歸 納，并一一列舉，并給出相應(yīng)的例題以促進(jìn)知識的理解、掌握及應(yīng)用；最后作出總結(jié)。4、主要參

3、考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析（第三版）M，高等教育出版社，2001年。2大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書編寫組編，數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)M，中國水利水電出版社,2004 年。3錢吉林等主編，眾邦考試教育研究所策劃，數(shù)學(xué)分析解題精粹（第二版）M，湖北長江出版集團(tuán)，2009年。5、計劃進(jìn)度階段起止日期1畢業(yè)論文選題、文獻(xiàn)調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、 論文開題2011.11.012012.12.022進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作2012.12.03-2012.02.013進(jìn)行畢業(yè)論文的二稿寫作2012.02.022012.03.244進(jìn)一步修改論文，并最終定稿2012.03.252012.05.095論文答辯201

4、2.05.10指導(dǎo)教師： 年月日教研室主任： 年月日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書匯華 學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2012 屆學(xué)生 姓名XXX論文（設(shè)計）題目極限的計算與證明方法指導(dǎo) 教師XXX專業(yè)所屬研究職稱教研室方向課題論證：（見附頁）方案設(shè)計：研究對象：極限的計算及證明方法。研究問題：極限常見的求法和證明方法的總結(jié)歸納。 米用方法：經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法、比較研究法、文獻(xiàn)資料法等。內(nèi)容安排：本文分為四個部分：緒論、極限的分類及定義、極限的計算與證明方法及結(jié) 束語。第一部分主要介紹極限在數(shù)學(xué)分析中的作用，引出主題；第二部分簡 要介紹數(shù)學(xué)分析中極限的分類和定義；第三部分進(jìn)入正文部分，歸納總結(jié)

5、了 十五種極限的常見求法及證明方法，并輔以相應(yīng)的例題；第四部分是對全文 進(jìn)行的總結(jié)性段落，使文章首尾呼應(yīng)，內(nèi)容更為完整。預(yù)期目標(biāo)：掌握求極 限的方法，并且能夠在不同的題目中應(yīng)用想適應(yīng)的方法，更好地完成極限的 求解及證明工作。同時通過對極限求法的討論，加強(qiáng)應(yīng)用極限解題的能力， 為日后相關(guān)學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)基礎(chǔ)。進(jìn)度計劃：2011.11.01- 2012.12.02畢業(yè)論文選題、文獻(xiàn)調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題；2012.12.03 2012.02.01進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作；2012.02.02- 2012.03.24進(jìn)行畢業(yè)論文的二稿寫作；2012.03.25- 2012.05.09進(jìn)一步修改

6、論文，并最終定稿；2012.05.10論文答辯。指導(dǎo)教師意見：指導(dǎo)教師簽名：年月 日教研室意見：教研室主任簽名：年月 日畢業(yè)論文課題論證（附）數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科，在初等數(shù) 學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到數(shù)學(xué)分析這種動態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過程中，研究對象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下，極限作為一種研究事物動態(tài)數(shù)量關(guān)系 的方法應(yīng)用而生。極限作為數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)和基本組成部分，作為區(qū)別初等數(shù)學(xué)的 重要標(biāo)志，伴隨著微積分的建立，最終發(fā)展成現(xiàn)在的角色，貫穿于整個數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的 過程中，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數(shù)的收斂性等

7、定 義都建立在極限的基礎(chǔ)上，可見極限在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中起到了十分重要的作用。極限的產(chǎn)生和發(fā)展可謂是曲折坎坷的， 極限理論的建立不僅消除了微積分長期以來 帶有的神秘性，也為微積分奠定了理論基礎(chǔ)，加速了微積分的發(fā)展，使微積分能夠更好 的更深入的解決更多的實(shí)際問題，成為生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有力的工具，而且在思想上和 方法上深刻的影響和促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，研究數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類型的極限，由此可見極限的重要性。極限理論又是數(shù)學(xué)分 析中的基本概念，對極限理論和極限概念理解和掌握的好壞將直接影響到相關(guān)課程的學(xué) 習(xí)。極限理論是從初等

8、數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一變化 過程中的變化趨勢，是從有限到無限、近似到精確、量變到質(zhì)變過程，與初等數(shù)學(xué)中的 概念有很大的區(qū)別，因此學(xué)生掌握起來比較困難。而就是因?yàn)槠淦D難的發(fā)展路程，才更顯現(xiàn)了它在數(shù)學(xué)研究過程中的重要性。要深入 數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就必須培養(yǎng)并掌握極限的思想及相關(guān)概念，更重要的就是要能夠熟練地使用 極限的方法解決數(shù)學(xué)中的很多難題。而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大 多數(shù)學(xué)生較為頭痛的問題。又因?yàn)闃O限運(yùn)算作為學(xué)習(xí)數(shù)分過程中的最基本的運(yùn)算，所以 能夠很好地掌握一些常用的求極限的方法時十分必要的。求極限不僅要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，而且還要

9、能準(zhǔn)確地求出各種極限。而對于一些比較復(fù)雜 的極限，如果直接按照極限的定義來求就會顯得非常困難，不僅計算量大，而且不一定 能求出結(jié)果。為了極限的發(fā)展，使之得到更廣泛的應(yīng)用，有很多學(xué)者專家對求極限的方 法也進(jìn)行過深入的研究。作為一個數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，很有必要對極限的求法和證明方法 進(jìn)行了解和熟悉。相信這個課題會讓我更多的人了解數(shù)學(xué)這門學(xué)科，也對形成數(shù)學(xué)思想 起到促進(jìn)作用。本文就是針對極限的計算和證明方法展開的。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）文獻(xiàn)綜述作為一種科學(xué)的思想方法，極限思想同樣是社會實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的起源與發(fā)展一直 也是學(xué)者們較為關(guān)注的話題。早在春秋戰(zhàn)國時期，哲學(xué)名著莊子記載著惠施的一句名

10、言“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”就已經(jīng)反映了古人對極限問題有了一定的思考。而我國古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖 之的“割圓術(shù)”已經(jīng)能夠利用極限論的初步思想來解決求圓周率的實(shí)際問題了。同時，古 希臘人的“窮竭法”也已經(jīng)將極限思想蘊(yùn)涵其中來解決問題。但是，由于希臘人對“無限” 有著一種恐懼心理，于是他們便借助了一種間接的方法一一歸謬法來完成有關(guān)證明。以上 這些都是極限思想在其萌芽階段的表現(xiàn)，盡管這一階段的極限概念不明確，但是卻能夠?yàn)?后人繼續(xù)探索和發(fā)展極限思想提供一個很好的平臺。到了 16、17世紀(jì)，極限思想進(jìn)入了發(fā)展階段，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文改進(jìn)了“窮竭法”，并且大膽地運(yùn)用了極限的思想來思考問題，從而將極

11、限方法發(fā)展成為了一個實(shí)用的概念。 之后，牛頓和萊布尼茲以無窮小的概念為基礎(chǔ)建立了微積分，但由于他們在研究過程中遇 到了邏輯困難，因此也不同程度地接受了極限思想。，此時，真正意義上的極限才得以建立。 然而牛頓對于極限的理解是建立在幾何直觀上的，故而無法給出極限的嚴(yán)格表述，這與數(shù) 學(xué)上的追求嚴(yán)密的原則相抵觸。到了 18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾以及依里埃等人先后給出 明確態(tài)度，指明極限必須是微積分的基礎(chǔ)概念，并且都作出了各自的極限的定義。直到19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人的研究基礎(chǔ)上才將極限概念比較完整地闡述出來。為了排除 極限概念中依舊存在的幾何直觀的痕跡，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯對極限又作出了靜態(tài)的

12、 定義，也給微積分奠定了更為嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。這個嚴(yán)格的定義也被看作是科學(xué)論證的基 礎(chǔ)，一直沿用至今。到了近代，在數(shù)學(xué)的許多分支中，很多重要的學(xué)術(shù)性概念及理論都是以極限思想為理 論基礎(chǔ)來進(jìn)行延拓和深化的。運(yùn)用極限思想來解決問題也已經(jīng)成為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析乃至整 個高等數(shù)學(xué)過程中一件必不可少的工具，數(shù)學(xué)分析之所以能夠很好地解決初等數(shù)學(xué)無法解 決的問題，也正是源于它應(yīng)用了極限的思想方法。因此，能夠很好的掌握極限的計算及證 明方法也成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的必要條件。近年，許多的專家、學(xué)者對極限的熱衷程度逐漸提升，他們在深入探究極限的概念及 理論意義的同時也對極限的計算和證明方法有不同程度的的研究，并且取得了一定

13、的突破。比如說利用中值定理求極限、利用無窮小量求極限等方法便是較為突出的研究成果。這對 于后人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析甚至是深入數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有著重大的意義。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文(設(shè)計)翻譯文章英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的Mathematical Analysis I第 111 頁到 114 頁。 322函數(shù)極限的性質(zhì)在這里我們給出一些常用的函數(shù)極限的性質(zhì)。它們中的許多性質(zhì)都類似于我們之前 已經(jīng)給出的數(shù)列極限的性質(zhì)，而數(shù)列極限的性質(zhì)我們已經(jīng)給出，此處不再贅述。此外， 由上面命題1的證明能夠明顯地看出，很多函數(shù)極限的性質(zhì)都是隨著與其相應(yīng)的數(shù)列極 限的性質(zhì)的形成而產(chǎn)生的，例如：極

14、限的唯一性、極限的運(yùn)算性以及極限的保不等式性 等。讀者們可以注意到這樣的現(xiàn)實(shí)：我們僅僅需要一列極限點(diǎn)的去心鄰域的兩個性質(zhì)：B1 Ue a ?，即點(diǎn)集E的去心鄰域是非空的；InInB2 U e a U e a U E a U E a U e a U e a ，也就是說，任意去心鄰域的交集都包含某一個去心鄰域。這一結(jié)論給出了我們函數(shù) 極限的一般概念，函數(shù)極限定理也使得未來數(shù)集的定義成為了可能。為了使得此處的討 論不與上述的3.1節(jié)出現(xiàn)重復(fù)，我們將給出一些前節(jié)沒有進(jìn)行證明的新的方法和概念。a.函數(shù)極限的一般性質(zhì) 首先，我們給出以下定義：定義4.如前所述，假設(shè)函數(shù)f : ER僅是一個常值函數(shù)。取一個函

15、數(shù)f :E R，當(dāng)x a, x E時，如果點(diǎn)a是去心鄰域UE a上的一個常值，則a被稱作函數(shù)f上最終 恒定的一個點(diǎn)，即a為集合E的一個極限點(diǎn)。定義5.函數(shù)f : ER是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一個數(shù)C R，對于所有的x E，都使得f(x) C,f(x) C,或者C f (x)成立。如果上述三種關(guān)系之一僅在這些去心鄰域里成立的話，當(dāng)x a, x E時，這個函數(shù)就被稱為最終有界、最終有上界或者有下界。定理1. a.當(dāng)x a x E時，函數(shù)f : ER是一個常數(shù)Alim f (x) A,x E。x ab. 存在 lim f (x ) A1, x Ex a當(dāng)x a x E時，函數(shù)f:ER是

16、一個有界常數(shù)。c. 當(dāng) lim f (x)A1 且 lim f ( x) A2 (x E )時x ax aA1證明 結(jié)論a中一個最終的常函數(shù)有一個極限，結(jié)論 b中一個函數(shù)有的極限存在,說明這個函數(shù)有界，這與其對應(yīng)的定義相符合。我們現(xiàn)在來證明極限的唯一性。假設(shè)A A。選取兩個互不相交的鄰域 v A和v a2，即v幾 V a?。由極限的定義我們有l(wèi)im f(x) A(x E)U e af U e aVA,x alim f(x) A2(x E)U "e af U "e aVA>。x a選取一個a( E的一個極限點(diǎn))的一個去心鄰域 Ue a，使得U E a U 'e

17、a U e a。又Ue a ?，再取x Ue a。然后就有f(x) V A V A,，由于鄰域V A和V A互 不相交，故f(x) V A V A,不成立。b.極限的四則運(yùn)算法則定義6.如果兩個數(shù)值函數(shù)f :E R和g :ER有一個共同的定義域E，它們的和、積和商函數(shù)分別由下列的同一組公式來定義：f g x f x g x ,f g xf x g x ,ff xx ，此處 g x 0, x E。gg x定理2.取函數(shù)f : ER和函數(shù)g: E R ,使得他們有一個共同的定義域。如果limf(x) A且 limg(x) B , x E，那么xaxaa.limfg (x) AB :,xE ；x a

18、b.limfg (x) AB,xE ；x ac.limfA 卄工,對于xE， B 0 且 g x0x agB在3.2.2節(jié)的開頭已經(jīng)注明，這個定理是一個之前的名題1中給出的數(shù)列極限相應(yīng) 定理的直接結(jié)果。這個定理也可以通過重復(fù)證明數(shù)列極限的性質(zhì)來得到。為了縮小集合 E中點(diǎn)a的去心鄰域的范圍，我們需要在證明過程中給出一定的限定條件，即同先前涉 及到的陳述“從自然數(shù) N中取一個數(shù)n”此處為讀者自行證明。當(dāng)x ax E時，函數(shù)f :E R被稱作是無窮的，如果函數(shù)的極限為零命題2.a.當(dāng)x a x E時,如果:E R和:E R趨于無窮，那么它們的和也趨于無窮。b. 當(dāng)xa x E時,如果:E R和:E

19、R是無窮函數(shù)，那么它們的積也是無窮的。c. 當(dāng)xa x E時,如果:ER是無窮的，且R是有界的，那么它們的積是無窮的。證明a.limx a對于任意我們將給出證明如下:(x)0且 lim (x)x a0,利用極限的定義，0,limx alimx a(X)0, x(X)limx a(x)0, x(x)那么對于去心鄰域UE a我們可以得到這樣,b.c.我們就證明了 limx a這個結(jié)論是結(jié)論c 給出證明如下0。的特殊情形，因?yàn)槊恳粋€極限存在的函數(shù)都有界limx(x)0 且 M R,a對于任意limx alimx ax 0, x E o0,禾U用極限的定義，有(x)0, x E(x)那么對于去心鄰域可

20、以得到這樣，我們就證明了X maH XE X a X英文原文：3.2.2 Properties of the Limit of a FunctionWe now establish a nu mber of properties of the limit of a function that are con sta ntly being used. Many of them are an alogous to the properties of the limit of a seque nee that we have already established, and for that rea

21、s on are esse ntially already known to us. Moreover, by Propositi on 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequenee: the uniqueness of the limit, the arithmetic properties of the limit, and passa

22、ge to the limit in in equalities.We call the reader ' s attention to the fact that, in order to establish the propertiesof the limit of afunction, we n eed only two properties of deleted n eighborhoods of a limit point of a set:Bi U e a ?,that is, the deleted n eighborhood of the point in E is n

23、on empty;B2 U e a U e a U E a U E a U e a U e a ,That is, the in tersecti on of any pair of deleted n eighborhoods contains a deleted n eighborhood. This observati on leads us to a gen eral con cept of a limit of a fun cti on and the possibility of using the theory of limits in the future not only f

24、or functions defined on sets of numbers. To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and con cepts that were not proved in that sect ion.a. Gen eral Properties of the Limit of a Fun cti on We begi n with some difi nit

25、i ons.Definition 4. As before, a function f : E R assuming only one value is called constant. A functionf : E R is called ultimately constant as E x a if it is constant in some deleted neighborhoodU E a , where a is a limit point of E .Definition 5. A function f : E R is bounded, bounded above, or b

26、ounded below respectively if thereis a number C Rsuch that f (x)| C, f (x) C, or C f (x) for all x E .If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood U E a , the function is said to be ultimately bounded, ultimately bounded above , or ultimately bounded below as E x a respect

27、ively. Theorem 1. a)( f : E R is ultimately the constant A as E x a )( lim f (x) A).E x ab) (lim f (x)( f : E R is ultimately bounded as E x a).E x ac) ( lim f (x)Ai)( lim f (x)A2)(AA2).Ex aE x aProof. The asserti on a) that an ultimately con sta nt function has a limit, and assert ion b) that a fun

28、 cti on having a limit is ultimately bounded, follow immediately from the corresponding definitions. We now turn to the proof of the uniquen ess of the limit.Suppose A1A2. Choose n eighborhoods V A and V A2 havi ng no points in com mon, that is,V AiV A2?.By definition of a limit, we haveWe now take

29、a deleted neighborhood U E aof a (which is a limit point ofE ) such thatmaf（x）AU e afU e aV AA2U e afU e aV a2Ue a U e aSince U e a ?, we take x U e aWe then have f (x) V A1V A2 , which isimpossible since the neighborhoods V Aand V A2 have no points in com mon. b. Passage to the Limit and Arithmetic

30、 OperationsDefinition 6. If two numerical-valued functions f : ER and g : E R have a com mon doma in ofdefinition E, their sum, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas:Theorem 2.Let f : Eand g: E,if g x0for x E .R be two functions with a

31、 com mon doma in of defi niti on.Iff(x)aandg(x)aB , thena) lim fE x aB;b) limE x aA B;c) limEx aA6,if B 0and g(x) 0 for x E .As already no ted at the begi nning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate con seque nce of thecorresp onding theorem on limits of seque nces, give n Propositi on 1. T

32、he theorem can also be obta inedby repeat ing the proof of the theorem on the algebraic properties of the limit of a seque nce.The cha nges needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood U E a of a inE , where previously we had referred to statements holding

33、 "from some n N on". We advise the reader to verify this.Here we shall obtain the theorem from its simplest special case when A B 0 .Of course assertion c) will the n be excluded from con siderati on.A function f : E R is said to be infinitesimal as E x a if lim f (x) 0 .E x aPropositi on

34、2. a) If : E R and : E R are infin itesimal fun cti ons as E x a , the ntheir sum: E R is also infinitesimal asE x a .b) If: E R and : E R are infinitesimal functions asE x a , then their product:E R is also infinitesimal asE x a .c) If: E R is infinitesimal asE x a and : E R is ultimately bounded a

35、sE xa, then their sum: E R is also infinitesimal as E x a.Proof. a) We shall verify thatLet0 be given. By definitilimx0lim x0limx 0 on ofE x aE x aE x athe limit, we havelim x0U 'eax U 'e ax|E x a2lim x0IIU EaIIx U e axlE x a2Then for the deleted neighborhood U E a U e a U e a we obtainxUEa|

36、x | x x x | x ,That is, we have verified that limx0.E x ab) This asserti on is a special case of assert ion c), since every fun cti on that has a limit is ultimately bounded.c) We shall verify thatlim x 0 M RUEaxUEa| x| ME x a(ma (x) (x)0)Let 0 be given.By definition of limit we havelimE x ax 0Ue ax

37、 Ue ax MThen for the deleted n eighborhoodUIIe aU1e aUE a,we obta innx U e ax1xx|x|x-M M.Thus we have verified thatlimE x axx0 .本科生畢業(yè)論文設(shè)計題目極限的計算與證明方法作者姓名XX X指導(dǎo)教師XX X所在學(xué)院匯華學(xué)院專業(yè)（系）數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級（屆）2012 屆X班完成日期 2012 年_5 月_8 日中文摘要、關(guān)鍵詞 Ill1. 緒論 錯誤!未定義書簽。2. 極限的分類及定義 錯誤!未定義書簽。2.1數(shù)列極限及其定義 錯誤!未定義書簽。2.2函數(shù)極限及其定義 23

38、. 極限的計算與證明方法 23.1利用極限的定義求極限 23.2利用三個準(zhǔn)則求極限 33.3利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限 53.4利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 63.5利用兩個重要極限公式求極限 73.6利用單側(cè)極限求極限 83.7利用無窮小量的性質(zhì)求極限 83.8利用等價無窮小量代換求極限 93.9利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 93.10利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求極限 113.11利用中值定理求極限 123.12洛必達(dá)法則求極限 14I3.13利用泰勒展開式求極限 173.14利用定積分求和式的極限 183.15利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 194. 結(jié)束語 20參考文獻(xiàn) 20英文摘要、關(guān)鍵詞 IV3極限的計算與

39、證明方法河北師范大學(xué)匯華學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師XXX作者XXX摘要 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十五種方法：（1利用函數(shù)的定義求極限、（2 ）利用三個準(zhǔn)則求極限、（3）利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限、（4）利用極限的四則運(yùn)算 性質(zhì)求極限、（5）利用兩個重要極限公式求極限、（6）利用單側(cè)極限求極限、（7）利用 無窮小量的性質(zhì)求極限、（8）利用等價無窮小量代換求極限、（9）利用函數(shù)的連續(xù)性求 極限、（10）利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、（11）利用中值定理求極限、（12）利用定積分求 和式的極限、（13）利用洛必達(dá)法則求極限、（14）利用泰勒展開式求極限、（15）利用 級數(shù)收斂的必要條件求極限。關(guān)鍵詞

40、 極限，極限的分類，極限的計算方法1. 緒論數(shù)學(xué)分析就是將函數(shù)作為研究對象，將極限理論及其方法作為基本方法，并且把微 積分學(xué)作為其主要內(nèi)容的一門學(xué)科。 而極限理論及其方法在這門課程中又占有著極其重 要的地位。極限思想是微積分中的最基本的一種思想，數(shù)學(xué)分析中的大量的深層次理論 及相關(guān)應(yīng)用都是極限的不斷延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的 連續(xù)性以及定積分等等都需要借助極限來定義。假若有人要問：“數(shù)學(xué)分析到底是一門什么樣的學(xué)科？”那么我們可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析便是將極限思想作為基本工具對函數(shù)進(jìn)行研究的的一門學(xué)科”。極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、

41、極限理 論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點(diǎn) 內(nèi)容，極限主要可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限兩大類，而極限的計算與證明方法又可謂是 多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們可以知道求極限的最基本的方法還是利用極限的定義， 同時也要注意兩個重要極限的運(yùn)用，也可以利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則計算。迫斂性 和單調(diào)有界準(zhǔn)則是很重要的定理，在解題的時候要重點(diǎn)注意運(yùn)用。泰勒公式、洛必達(dá)法 則等則是針對某些特殊的情形而言的。極限理論的建立，不僅將長期以來微積分所帶有的神秘性消除了，而且在數(shù)學(xué)思想 上和解題方法上深刻的影響并且促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的快速發(fā)展，成為了生產(chǎn)以及科學(xué)技術(shù)中的有力工具。所

42、謂的極限思想，就是運(yùn)用極限概念對一系列問題進(jìn)行分析并作出進(jìn)一 步的解決的一種數(shù)學(xué)思想。由此，極限運(yùn)算也就成為了學(xué)習(xí)數(shù)分過程中的最基本的運(yùn)算。 極限的定義又是高度抽象的，這就使得我們不能完全利用其基本的定義來解決所有有關(guān) 問題，而又因?yàn)闃O限的運(yùn)算分布于整個高等數(shù)學(xué)的始終，所以，對于極限的相關(guān)計算方 法和證明方法便顯得尤為重要。2. 極限的分類及定義2.1數(shù)列極限及其定義定義 設(shè)an為數(shù)列，a為定數(shù)。若對任給的正數(shù) ，總存在正整數(shù)N ,使得當(dāng)n N 時有an a ,則稱數(shù)列an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列a.的極限，并記作lim an a ,或 an a(n ),n讀作“當(dāng)n趨于無窮大時，an的極限等

43、于a或趨于a”。注：以上定義常稱為數(shù)列極限的N定義。2.2函數(shù)極限及其定義定義 設(shè)f為定義在a,上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的0，存在正數(shù)M (a),使得當(dāng)x M時有f(x) A ,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于時以A為極限，記作Jim f (x) A 或 f (x) A (x )。3. 極限的計算與證明方法3.1利用極限的定義求極限利用極限的定義求極限是一種最根本的求極限的方法?！纠?】利用極限的定義證明下題：n lim 0,a0;(2)lim n n!n n!n證(1)對于任意0，都要找到N，使得當(dāng)n N時,n! 0n!(1.1)分析不等式(1.1)的左端，分子為n個數(shù)a的乘積，分母為1,2, ,n的

44、乘積，隨著n不斷的增大，分子上的因子永遠(yuǎn)是數(shù)a，而分母的因子會越來越大，因此不等式左端隨著n的增大，會越來越小，而且有aXnXn 1n 1由于a為一個正常數(shù)，故存在著正整數(shù) N1，使得aN1則當(dāng)n N1時，xn XN1- 旦并且N11 nca0 Xn XN1n由此，若想使(1.1)成立，只需35aXN1n(1.2)成立即可。取N2 aXN1，則當(dāng)n maxN1,N2時，式(1.2)成立，即式(1.1)也成立?？傻胠im xn 0n要證lim n. n!n,只需對任意MN，使得當(dāng)n N時,n n! M£ 1n!(1.3)故知nimM0,即對于1，是能夠找到N，使得當(dāng)nN時，式(1.3)

45、成立?！纠?】證明limn n0,這里設(shè)a是一個正數(shù)。證由于因此，對于任意的0，只需取N1，則當(dāng)N時，便有這就證明了 limn n3.2利用三個準(zhǔn)則求極限3.2.1迫斂性(夾逼準(zhǔn)則)定義設(shè)收斂數(shù)列a和數(shù)列bn都是以a為極限的，且數(shù)列 q滿足：存在正數(shù)N。，當(dāng) nN。時有bn，則數(shù)列c,收斂，且lim cnn【例1】求數(shù)列nn的極限。解設(shè)ann n 1 hn，此處hn則有如下式n 1 hn2hn2由上可得0 hn ./1n ，因此有/ / / / 21K1 hn1門（1.1）數(shù)列1，n2i總是收斂于1的'由于對任意給出的0，我們?nèi) 1二'則當(dāng)n N時便有1 J 1。柿1于是，不

46、等式（1.1）的左極限和右極限都為1,故由迫斂性得到I imn, n 1 。n3.2.2單調(diào)有界準(zhǔn)則定理在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限?！纠?】證明數(shù)列2.22, , 2 ”2 2,，n個根號是收斂的，并且求出其極限。證設(shè)an2 22 ,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是遞增的?，F(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明數(shù)列an有上界。顯然有a122。設(shè)an 2，則有an 1 2 an 2 2 2，因此對一切n都有a. 2，即數(shù)列a.有 上界。故由以上定理知，數(shù)列 an是有極限的，并且可記其為a。又由于2an 12 an，對上式的左右兩邊取極限可得a22 a，即有a 1 a 20，解得 a 1 或a 2由保不等式性可知

47、，a1是不可能的，故有l(wèi)im 2.222。n3.3利用柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則求極限定理(柯西收斂準(zhǔn)則)數(shù)列an收斂的充要條件是：對任給的0,存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n, m N時有an am以上定理從理論上可以完全地解決數(shù)列極限其存在性問題。我們稱柯西收斂準(zhǔn)則的條件其為柯西條件，它同時反映了這樣一個事實(shí)：收斂數(shù)列 各項(xiàng)的值越是到后面，彼此就越是接近，以至于充分后面的任意兩項(xiàng)差的絕對值可小于 預(yù)先所給定的任意小的正數(shù)。另外，柯西收斂準(zhǔn)則把N定義中的an與a的關(guān)系轉(zhuǎn)換 成了 an與am的關(guān)系，這樣的好處在于不需要借助數(shù)列以外的數(shù) a，僅僅需要根據(jù)這個數(shù) 列本身的特征便能夠鑒別其斂散性。證明lim

48、 Xn存在，并求n1【例】取數(shù)列Xn ,并且設(shè)Xo 0,Xn 1,n 0,1,22 Xn出其極限值。證因?yàn)閤00,0 x.1 1亍丁由數(shù)學(xué)歸納法我們可知0Xn-,(n 0,1,2)2對于任意的p，有Xn pXnXn p 12Xn 1Xn p 1Xn 1(2Xn p 1 )( 2 Xn 1)1_ Xn p 1Xn 14丄2 Xn p 2Xn 24 1 盯 xp X0丄3 Xn p 3Xn 34XPXo所以對于任給的0，存在一個正整數(shù)N，使得當(dāng)N時，對任意的p，有Xn p由以上定理可知數(shù)列Xn收斂。再設(shè)lim Xnx對等式Xn 1n的兩邊取極限可得2 Xn-，且解得xX由保不等式性可取 X 1.2

49、lim xnn3.4利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限定理（四則運(yùn)算法則）若an與bn為收斂數(shù)列，則anbn ， an bn ， anbn也都是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im annbnlim ann特別當(dāng)bn為常數(shù)C時有l(wèi)im annlim annlim bn 。lim(an c)nlim an c, lim canclim an。nnn若再假設(shè)bn 0及nim bn0,則abn也是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im色nbnlim annlim bnn例 1】求m.amn limknkbknkbk 1nan ao bn bo其中 m k, am0, A 0k解用n同時乘以到分子分母后，所求的極限式可化為limnamnam

50、 ina1na°nbkbk inbn1 kb°n當(dāng)a 0時，我們有l(wèi)im nn0。那么，當(dāng)m k時，上式除了分子分母的首項(xiàng)分別為 am和bk外，其余的各項(xiàng)極限都是0,因此所求的極限就等于bm；而當(dāng)mk時，又由于nm k 0(n0)，因此所求的極限等于0。綜上可得limnmamnkdnm 1am 1 nbk 1nk& n a。 bn b°ambm,km,0, km。【例2】求下列極限：x21 xm2x2 x 1 iim4解(1)01X212x2 x 101(x 1)(x 1)(x 1)(2x 1)xm1x 12x 1limx 41 2x 3limx 4x 2

51、2(x 4).1 2x 3 (x 4)2(.x 2)1 2x 33.5利用兩個重要極限公式求極限3.5.1極限公式lim沁x 0【例1】 求|im。x 0x2解2.x sin1 cosx 12lim 2 limx 0 x x 02 x2123.5.2極限公式lim 1x1【例2】 求lim 1 2x x。x 0解1lim 1 2x 'x 01 1lim 1 2x 云 1 2x 云x 0注：在這一類型的習(xí)題中，一般是不能直接應(yīng)用以上公式的，而是需要通過恒等變 形做出化簡后才可再利用公式進(jìn)行運(yùn)算。3.6利用單側(cè)極限求極限這種方法常常用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先要考慮分段點(diǎn)的左、右極限,若左、右極限都存在并且相等，則該函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限就存在，否則極限不存在。【例】已知函數(shù)f(x) 1 xsin ,x x1 x2, x0，求0,K其在點(diǎn)0處的左右極限。解在x0的右極限為lim x.1 sin1x 0x在x0的左極限為lim x.1 sin1x 0x因此lim f (x)limf(x) 1x 0x 0故有l(wèi)imx 0f(x)13.7利用無窮小量的性質(zhì)求極限無窮小量的性質(zhì)無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量即如果lim f (x) 0 ,g(x)在某