定積分應(yīng)用題附答案

1、定積分的應(yīng)用復(fù)習(xí)題一填空:1 曲線y ln x, y In a, y In b(0 a b)及y軸所圍成的平面圖形的面積ln b為 A =. eydy =b-aIn a J2.曲線yx2和y、匸所圍成的平面圖形的面積是1計(jì)算題:1 .求由拋物線y2 = 2x與直線2x + y -2 = 0所圍成的圖形的面積 解：(1 )確定積分變量為y，解方程組y2 2xx 1/2x2 2得,y 2x 2% 1y221 一即拋物線與直線的交點(diǎn)為(，1)和(2，- 2 ).故所求圖形在直線y = 1和y =2-2之間，即積分區(qū)間為2, 1 。(2)在區(qū)間2 , 1 上，任取一小區(qū)間為y , y + dy ，對應(yīng)

2、的窄條面積11近似于高為(1 y) - y2 ,底為dy的矩形面積，從而得到面積元素22dA =(1 1 21-2y)- 2y dy所求圖形面積 A =12 (1- -y) -ly2 dy = y -1 y2 - -y312=-224642 求拋物線y = - x 2 + 4x - 3 及其在點(diǎn)（0, - 3 ）和（3, 0）處的切線所圍成的圖形的面積。解：由 y = - x 2 + 4x -3 得 y 2x 4, y'（0）4,y'（3）2。4 .求由下列曲線所圍成的圖形的公共部分的面積:r = 3 cos 及 r = 1 +cos解：兩曲線的交點(diǎn)由r 3cosr 1 cos

3、,解得 3及3 r -233r -2故A = 2cos )2d弓(3cos3厶)2d拋物線在點(diǎn)（0 , - 3 ）處的切線方程為y=4x-3 ;在點(diǎn)(3,0）處的切線方程為y = - 2x + 6 ;兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為3 (-2,3 )。故面積A =32302(4x 3) (x2 4x 3) dx3(022x6) (x24x93) dx43 求由擺線x = a (t -si nt) , y = a( 1- cost)的一拱（0 t 2 ）與橫軸所圍成的圖形的面積。2a2解: A0y(x)dxa(1 cost)0a(1 cost)dta2 : (11cos2t2 a2cost)dt 32(12c

4、os1 cos2 x , )d(1cos2 )d545 計(jì)算由擺線 x = a (t -sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱(0 t2），直線y = 0所圍成的圖形分別繞x軸、丫軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：Vxa 2y2(x)dx:a2(1 cost)2 a(1 cost)dt2aVy0(13costx；(y)dy2 a2(t st)23cos2t cos2a 2oxjy)dyasintdtt)dta2(t5 2a3sint)2 asintdt(t sint)2sintdt 6 3ax軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。6 .求由x2 + y 2 = 2和y = x 2所圍成的圖

5、形繞22解：（1）取積分變量為x,為求積分區(qū)間，解方程組：/ y 2， y xx 1 x 1得圓與拋物線的兩個交點(diǎn)為所以積分區(qū)間為-1 , 1。y 1，y 1，（2）在區(qū)間-1，1上任取一小區(qū)間x, x+dx，與它對應(yīng)的薄片體積近似于（2 - x2）-x4 dx ,從而得到體積元素dV = (2 - x2) - x4dx(2 - x 2- x4) dx.(3 )故 Vx =11 (2 - x 2- x4) dx =44157 求圓盤（x 2）2 y21繞Y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解設(shè)旋轉(zhuǎn)體積為V，則V2*2：x,1 (x 2)2dx2 sint 則V=42 (2 sin t)cos21 dt2

6、2 (1 cos2t)dt2 sint cos2 tdt21(t 2sin2t)|28 .設(shè)有拋物線C: y = a -bx2 （ a > 0 , b > 0 ），試確定常數(shù)a , b的值，使得C與直線y = x + 1 相切，且C與X軸所圍圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 達(dá)到最大。解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x , y ）,由于拋物線與y = x + 1 相切,故有 K = - 2bx = 1 ,12bV(a)V'(a)丄22bx2dy12b解得14b即：b14(1 a)a(2 3a)dy2a2ba2(1a)3.x a cos t9 .設(shè)星形線方程為3 ( a > 0 )，求

7、:y asin t(1)由星形線所圍圖形的面積(2)星形線的長度解：(1)由對稱性得aA 4 o y(x)dx:asin3t"223acos t( sint)dt12a202sin4tcos2tdt(2)L = 4 °2 x'2(t)y'2(t) dt= 4 x ( 3acos21 sint)2 (3asin2t cost)2 dt=12a 2 si nt cost dt 6a0t cost sin10 計(jì)算曲線xd , yd自原點(diǎn)到與具有鉛直的切11線最近點(diǎn)的弧長。dy sint解:女乎ttantdxdx costdtt曲線上具有鉛直切線且與原點(diǎn)距離最近的

8、點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為t -，原點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)t = 1s =x'2(t) y'2(t) dtcostsintdtIn tln211 .設(shè)Si為曲線y = X 2、直線y = t2 (t為參數(shù))及丫軸所圍圖形的面積；S2為曲線y = x 2、直線y =:t 2 及 X =1所圍圖形的面積。問t為何值時，SS1+S 2取得最大值、，最小值。解：S(t)t 2(t20x2)dx1 2 t(Xt2)dx4 32-t3 t2313令 S'(t)4t22t 0 ,解得t10 ,t212于是S(0)，s)1-,S(1)23243故 Smax =2c11S(1)=,Smin=豈匚)三證明題:2x2+ y 2 = 2的周長。1.證明：曲線y = sinx的一個周期的弧長等于橢圓證明：y = sinx 的一個周期的弧長y'2 dx2"0cos2x dx橢圓2x2+y2