基于MATLAB的巴特沃斯濾波器

1、 數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì) 2015年 6 月 25 日目 錄一設(shè)計(jì)目的：2二設(shè)計(jì)要求：3三設(shè)計(jì)內(nèi)容：33.1選擇巴特渦斯低通數(shù)據(jù)濾波器及雙線性變換法的原因33.2巴特沃思低通濾波器的基本原理43.3雙線性變換法原理53.4數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖73.5數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟7四用matlab實(shí)現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析84.1巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)的設(shè)置84.2用matlab實(shí)現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真94.3波形圖分析：12五.總結(jié)與體會(huì)12六附錄 參考文獻(xiàn)14一設(shè)計(jì)目的： 該課程設(shè)計(jì)是測控技術(shù)與儀器專業(yè)的必修課，開設(shè)課程設(shè)計(jì)的目的使學(xué)生掌握數(shù)字信號(hào)處理的基本概念和基本理論，

2、能夠利用輔助工具進(jìn)行FIR和IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，進(jìn)行一維信號(hào)的頻譜分析，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，加強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)寬口徑教育。(1)理解低通濾波器的過濾方法。(2)進(jìn)一步熟悉低通濾波器的基本應(yīng)用。(3)用仿真工具matlab軟件對(duì)設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行軟件和硬件仿真。(6)將對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行比較，從而檢驗(yàn)濾波器濾波性能的準(zhǔn)確性。二設(shè)計(jì)要求： 地震發(fā)生時(shí)，除了會(huì)產(chǎn)生地震波，還會(huì)由地層巖石在斷裂、碰撞過程中所發(fā)生的震動(dòng)產(chǎn)生次聲波。它的頻率大約在每秒十赫茲到二十赫茲之間（可以用11Hz和15Hz的兩個(gè)信號(hào)的和進(jìn)行仿真，幅度可以分別設(shè)定為

3、1、2）。大氣對(duì)次聲波的吸收系數(shù)很小，因此它可以傳播的很遠(yuǎn)，而且穿透性很強(qiáng)。通過監(jiān)測次聲波信號(hào)可以監(jiān)測地震的發(fā)生、強(qiáng)度等信息，因?yàn)樽匀唤缰袕V泛存在著各種次聲波，這就對(duì)地震產(chǎn)生的次聲波產(chǎn)生了干擾（可以用白噪聲模擬，方差為5），需要采取一定的處理方法，才能檢測到該信號(hào)，要求設(shè)計(jì)檢測方案；并處理方法給出具體的軟件（可以以51系列單片機(jī)、STM32F407、TMS320F28335或TMS320F6745為例）。假設(shè)地震次聲波信號(hào)為x,輸入x=sin(2*11*t)+2*sin(2*15*t)和伴有白噪聲的合成信號(hào)，經(jīng)過濾波器后濾除15Hz以上的分量，即只保留x=sin(2*11*t)+2*sin(2

4、*15*t)的分量信號(hào)，來驗(yàn)證設(shè)計(jì)的濾波器是否達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。三設(shè)計(jì)內(nèi)容：3.1選擇巴特渦斯低通數(shù)據(jù)濾波器及雙線性變換法的原因（1）由于低通濾波器是組成其它濾波器的基礎(chǔ)，故選用低通濾波器；（2）在當(dāng)今社會(huì)，數(shù)字信號(hào)的應(yīng)用越來越廣泛，故選用數(shù)字信號(hào)；（3）巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑并且應(yīng)用范圍最廣，故選巴特沃斯型濾波器； （4）為了不使數(shù)字濾波器在=附近產(chǎn)生頻譜混疊，故選用雙線性變換法。3.2巴特沃思低通濾波器的基本原理巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的幅度平方函數(shù)用下式表示式中，N稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，；時(shí)，是3dB截止頻率。在附近，隨加大，幅度迅速下降。幅度特性與與N的關(guān)系

5、如圖3.1所示。幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。圖3.1 巴特沃斯低通數(shù)字濾波器 圖3.2 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)幅度特性與與N的關(guān)系 分布圖以替換，將幅度平方函數(shù)寫成的函數(shù) 復(fù)變量，此式表示幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)用下式表示： （=0,1,2,3.） 2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔為rad。例如N=3,極點(diǎn)間隔為/3rad，如圖3.2所示。 為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取平面左半平面的的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s), 而右半平面的的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-

6、s),Ha（s）的表達(dá)式為為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯低通數(shù)字濾波器采用對(duì)3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為令,稱為歸一化頻率， 稱為歸一化復(fù)變量，這樣，巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 3.3雙線性變換法原理雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。為了克服多值映射的缺點(diǎn)，采用把整個(gè)s平面頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系

7、，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。映射關(guān)系如圖3.3所示。設(shè)Ha（s）,經(jīng)過非線性頻率壓縮后用，表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： 圖3.3 雙線性變換的映射關(guān)系式中，T為采樣間隔，當(dāng)從-/T經(jīng)過0變化到/T時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到平面上虛軸的+/T之間的轉(zhuǎn)換。即 代入,得到 再通過從平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到 上式是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象，雖然在線性方面有些欠缺，但是可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正且計(jì)算比沖激響應(yīng)不變法方便，

8、實(shí)現(xiàn)起來比較容易，所以，本設(shè)計(jì)選擇用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。3.4數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)指標(biāo)參數(shù)變 換相應(yīng)的模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器離散化數(shù)字濾波器3.5數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)按某種方法（本實(shí)驗(yàn)采用雙線性變換法）轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。具體為：（1）確定巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率p,阻帶截止頻率s,通帶最大衰減p,阻帶最小衰減s。（2）將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里指p和s的變換而p和s保持不變。本題采用雙線

9、性變換法，其轉(zhuǎn)換公式為： （3）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、s、p和s用下面公式求出濾波器的階數(shù)。 （4） 根據(jù)N由表3.1求出歸一化極點(diǎn)和歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。表3.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 分母因式階數(shù)B(p)=B1(p)B2(p)BN/2(p) N/2表示取大于等于N/2的最小整數(shù) 1（p2+1） 2 (p2+1.4142p+1) 3 (p2+p+1)(p+1)4 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5 (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6 (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7 (

10、p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8 (p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9619p+1)9 (p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8974p+1)(p+1)（5）將Ga（p）去歸一化，將代入Ga（p），得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 這里c為3dB截止頻率。（6）用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。轉(zhuǎn)換公式為：s=四用matlab實(shí)現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析4.1巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技

11、術(shù)指標(biāo)的設(shè)置通帶截至頻率p=15Hz, p=1dB阻帶截至頻率s=20Hz s=30dB采樣頻率為fs=1000Hz4.2用matlab實(shí)現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真Matlab程序如下：clear all;%模擬地震信號(hào)，頻率是11hz和15hzfs=1000;dt=1/fs;f1=11;f2=15;n=500;t=0:n-1*dt; %時(shí)間序列x=sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t); %信號(hào)figure(1);subplot(511);plot(t,x); %顯示原始信號(hào)title('模擬地震信號(hào)');%白噪聲信號(hào)%rand函數(shù)用來產(chǎn)生均值0.

12、5，方差約為1/12，幅值在01的偽隨機(jī)數(shù)%修改為均值為0，方差為5的白信號(hào)。p=5; %u1=rand(1,n);u1_mean=mean(u1);u1_var=var(u1);u=u1-u1_mean;u=u*sqrt(p/u1_var); %白噪聲信號(hào)subplot(512);plot(u(1:100);title('均勻分布白噪聲');%地震信號(hào)和白噪聲疊加y1=x+u; %疊加白噪聲subplot(513);plot(t,y1); title('地震信號(hào)和白噪聲疊加');%FIR帶通%m=20;%f=0 0.001 0.0015 0.004 0.005

13、 1;%a=0 0 1 1 0 0;%BB=firls(m,f,a);%bb=fftfilt(BB,y1);%subplot(313);%plot(t,bb);%fir低通%m=60;%f=0 0.03 0.04 1;%a=1 1 0 0;%BB=firls(m,f,a);%bb=fftfilt(BB,y1);%subplot(313);%plot(t,bb);%B=fir1(45,0.025);%bb=fftfilt(B,y1);%subplot(313);%plot(t,bb);%巴特沃斯wp=2*20/fs;ws=2*30/fs;Rp=1;As=30;N,wc=buttord(wp,ws

14、,Rp,As);B,A=butter(N,wc);bb=filter(B,A,y1);H,W=freqz(B,A);subplot(514);plot(W,abs(H);title('巴特沃斯幅頻特性');subplot(515);plot(t,bb);title('巴特沃斯濾波');用matlab濾波前后的信號(hào)波形變化如圖4.1所示：圖4.1 用matlab濾波前后的信號(hào)波形變化4.3波形圖分析：由技術(shù)指標(biāo)得：設(shè)計(jì)的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器為15Hz以內(nèi)的信號(hào)能通過，而高于15Hz的信號(hào)將通不過濾波器。因此，我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)輸入信號(hào)，其為：y=sin(2*11*t)

15、+2*sin(2*15*t)+u（u為白噪聲信號(hào)）。使其通過設(shè)計(jì)好的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，來驗(yàn)證是否有地震發(fā)生。 如圖4.1所示，輸入信號(hào)為x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)，其圖形在1秒內(nèi)重復(fù)了20次，故其頻率為20Hz，幅度為8，由sin(2*20*t)、2*sin(2*100*t)和5*sin(2*200*t)三個(gè)正弦波合成，從圖中可知，輸入信號(hào)的幅度與頻率與輸入信號(hào)的理論波形幾乎完全相同。而通過低通濾波器后信號(hào)只剩下一個(gè)，且在1秒內(nèi)波形重復(fù)了20.25次，即周期為1/20.25s，其頻率為20.25Hz, 幅度為1，和輸入信號(hào)中的s

16、in(2*20*t)分量相差不大，但其頻率稍微有些失真，說明了設(shè)計(jì)的低通濾波器達(dá)到了要求。用matlab濾波后的信號(hào)比理論信號(hào)在1秒內(nèi)大了1/4個(gè)周期，效果不錯(cuò)，而用Simulink濾波后的信號(hào)周期沒變，幅度大了0.1，但濾波器控制不了幅度，幅度的變化說明存在外界干擾，說明噪聲較大，但從濾波效果來看也達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。 綜述對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果與理論值的比較，其均存在一定的誤差，從側(cè)面說明對(duì)于任何實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在一定范圍內(nèi)的誤差是允許的，其與理論值均有一定的誤差，這是不可避免的，其中的原因多種多樣，如實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)不合理，外界因素的干擾，信號(hào)衰減.對(duì)于這些，我們只能通過不斷改進(jìn)設(shè)計(jì)原理、優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟等措施來減小誤差

17、。同時(shí)，也告訴我們，任何理論結(jié)果要轉(zhuǎn)換成實(shí)際應(yīng)用，均要進(jìn)行一定的優(yōu)化，使其達(dá)到實(shí)際的應(yīng)用要求。五.總結(jié)與體會(huì) 數(shù)字濾波器是一種對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行濾波處理以得到期望的響應(yīng)特性的離散時(shí)間系統(tǒng)。它能夠有效的對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行過濾，過濾多數(shù)字信號(hào)中的干擾和多余成分，能夠保證通信過程的正常實(shí)現(xiàn)。本次實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)選擇了在通信系統(tǒng)中最常用，也是最基礎(chǔ)的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器。根據(jù)給定的數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)采用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。在這個(gè)變換的過程中避免了頻率的混疊現(xiàn)象。然后根據(jù)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，編寫程序，分別運(yùn)用matlab

18、和Simulink仿真工具對(duì)設(shè)計(jì)的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器進(jìn)行了仿真。經(jīng)過幾次調(diào)試和對(duì)產(chǎn)生的仿真結(jié)果的分析，得到了在誤差允許范圍之內(nèi)的低通數(shù)字濾波器。并且設(shè)計(jì)了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。對(duì)一個(gè)由多個(gè)信號(hào)合成的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行編程，讓其通過讓所設(shè)計(jì)的濾波器。仿真結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行觀察比較，判定所設(shè)計(jì)的濾波器符合要求。經(jīng)過本次課程設(shè)計(jì)，讓我們熟悉了巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的基本知識(shí)和MATLAB的m語言及其相關(guān)模塊Simulink的應(yīng)用，把課上的理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際中去，更近一步地鞏固了課堂上所學(xué)的理論知識(shí)，并能很好地理解與掌握數(shù)字信號(hào)處理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。因?yàn)閷W(xué)過數(shù)字信號(hào)處理這門課，但這只是理論知識(shí)，通過實(shí)驗(yàn)我們才能真正理解其意義。同時(shí)，進(jìn)行matlab軟件及Simulink硬件仿真，用兩種方法將其設(shè)計(jì)出來。在設(shè)計(jì)過程中，我們遇到了由于理論知識(shí)的忘記、總體輪廓的設(shè)計(jì)、編程過少導(dǎo)致的不熟練、軟件尤其是Simulink模塊運(yùn)用不熟練等問題，但是經(jīng)過我們的思考討論和翻閱相關(guān)資料，最終這些問題得到了解決，設(shè)計(jì)出了符合標(biāo)準(zhǔn)的濾波器并通過相關(guān)信號(hào)進(jìn)行了驗(yàn)證。經(jīng)過這次的課程設(shè)計(jì)，