差分格式的穩(wěn)定性與收斂性1

1、差分格式的穩(wěn)定f生與收斂f生1基本昵所謂穩(wěn)定性問題是指在數(shù)值計算過程中產生的誤差的積累 和傳播是否受到控制在應用羞分格式求近似解的過程屮，由于 我們是按節(jié)點逐次遞推進行，所以誤差的傳播是不可避免的， 如果差分格式能有效的控制誤羞的傳播，使它對于計算結果不 會產生嚴重的影響，或者說差分方程的解對j:邊值和右端具有 某種連續(xù)相依的性質，就叫做差分格式的穩(wěn)定性.羌分格式的收斂性是指在步長h足夠小的情況下，由它所 確定的羞分解能夠以任意指定的精度逼近微分方程邊值問題 的精確解U(xj下而給出收斂性的精確定義設叮是差分格式 定義的差分解，如果當hTO并且UTX時，有皿_U(X)|TO,貝IJ 稱此格式是

2、收斂的.2差分方程的建立對丁二階邊值問題J Lu = -u + q(x)u = f (x), a < x < b,仃)u(a) = a,u(b) = 0,JL-'11 q(x) > f(x)eCa,b,q(x) >0.將區(qū)間a,b分成N等份，記分點為 = a+ mb,m = 0丄,N,這里步長利用泰勒公式，得N1 .丘(11(入+1)-211X) + 11(1) = U X)-Rn 其屮Rin = 一吉I】Km (SS)把式(2)代入式(1)中的微分方程，有呱）三-右（呱+1） - 加（片）+ U（V1）1 + q（xju（xm）=f（n）+Rni略去余項Rn，

3、便得到（1）式中的微分方程在內部節(jié)點人的差分 方程；再考慮到式（1）屮的邊界條件，就得到邊值問題（1）的差 分方程* < -Um 三一頁（ij ZUm + Ug-J+qlXX f （xj, a V X V b, Uo 二弘l】N 二 0，解線性代數(shù)方程組（5）,得11（入）的近似值Um%,11,Un稱為邊值 問題（1）的差分解.從上而的推導過程可以看出，在節(jié)點忌建立差分方程的關 鍵是在該點用函數(shù)u（x）的二階屮心茅商代替二階導數(shù)，最后用 差分算子Lj弋替微分算子L就產生差分方程（5）記 Rhl（u） = Lu（xln）-Llxu（） 稱RJu）是用羞分算了代替微 分算子L所產生的截斷誤差

4、由式（2）,二階中心差商代替二階 導數(shù)所產生的截斷誤差Kn，從式（4）和式（5）可以得出心=3（耳）-Um），心稱為差分方程（5）的截斷誤差.3討論差分方程組（5）的解的穩(wěn)定性與收斂ft引理31（極值原理）設吋吟八切是一組不全相等的數(shù)，記S = uo，Ui，,葉,kUm 二+ Vm + 初訕），皿=h 2 ,N - 1,（6）* L 中 bm > 0規(guī) v 0,cm v 0,bm > |am| + |cm .（1）若LhUm < 0（m = 1,2,N -1）,則不能在q,比,嘰1中 取到s中正的最大值；(2)若嘰 > 0(m= 1,2,N 1)，則不能在5心,中 取到

5、s中負的最小值.證 首先用反證法證明(1)假設在山心心中取到s屮正 的最大值，記為M,那么M = maxum>0,由于S中的數(shù)不全相 0<m<N I等，一定存在某個iQ<i<N-l),使得叮M,并且與ig中至少有 一個小于M于是M=(ag+bM+cg)>bN 十(a： + cx )M > 0 這與<0矛盾，從而(1)得證.同理可證明(2)現(xiàn)在運用極值原理論證滓分方法的穩(wěn)從性及收斂性.(7)定理3.2差分方程組(5)的解叮滿足IumI max 閩'冏 + J(入-打卩-兀J 魯器11 打,m = 1,2,N -1,證把方程組% = a,uN

6、 = pkUm=。111=12川-1,5 = 口“ = °的解分別記為i評和噲，其中差分算子1由式(5)定義，貝I方程組的解5為Um = U$)+U黒由極值原理可知uf max|a|,|/?|,m = l,2,-,N-l(9)接卜來再估計I請)，考慮差分方程 _rv(vm+1 - 2vm +) = M,m=l,2,N l,* lr、=Un=O(10)M = max0<m<N其屮 容易驗證該微分方程是從邊值問題J-v" = M,(11)v(a)二 v(b)二 0 得到的，而在此邊值問題的解是v(x)=¥(x-a)(bx).因為v(x)是x的二次函數(shù)，它的

7、四階導數(shù)為零，從式(2)、 看到V(x)在點、的二階中心差商與V&n)相等，因此差分方 程(10)的解等于邊值問題(11)的解，up5 = v(xj 二(冷-a)(b-xj ' 0.另一方而，k(Vm 土 U黑)=UVm 土 -U黑=也冬 + M ± 俎 I 0,% 土u)=Vn±u£)= 0,由極值原理可知vm±u >0,即 |um|< J 斗(耳-a)(b ),m= 1,2,N-1 (12)綜合式(8)、(9)、(12)就得到式(7)定理3. 2表明差分方程(5)的解關于邊值問題(1)的右端項 和邊值問題是穩(wěn)定的，亦即當f

8、、°、0有一個小的改變時， 所引起的差分解的改變也是小的.定理3.3設ii(x)是邊值問題(1)的解，15是差分方程(5) 的解，貝IJ|u(x )-u <(b_a)h max u(x) ,m = 1,2,N 1. (13)1“ m96a<x<b證記務二叭耳).，由式(3)、(4)、(5)可知嚴殆=%丿】1二1，2,隈-1匂二即=其中«由式(3)定義從定理3. 2得 KI|(xtt-a)(b-xto)S|Rhl|< h2 max u(4)(x).96a<x<b式(13)給出了差分方程(5)的解的誤差估計，而且表明當 h T 0差分解收斂到原邊值問題的解，收斂速度為於4小結收斂性和穩(wěn)定性是從不同角度討論差分法的精確情況，穩(wěn) 定性主要是討論初值的誤差和計算屮的舍入誤差對計算結果的 影響，收斂性則主要討論推算公式引入的截斷誤羞對計算結果 的影響使用既收斂有穩(wěn)定的差分格式才有比較可靠的計算結 果，這也是討論收斂性和穩(wěn)定性的重要意義.參考文獻1 李瑞遐、何志東.微分方程數(shù)值方法，上海：華東