第二十一講常數(shù)項級數(shù)的審斂法

1、第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂1.1.定義定義: :，中各項均有中各項均有如果級數(shù)如果級數(shù)0 1 nnnuu這種級數(shù)稱為這種級數(shù)稱為正項級數(shù)正項級數(shù). ., , 211 nnnsssu有有對于正項級數(shù)對于正項級數(shù)2. 2. 正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: :定理定理. 有界有界部分和數(shù)列部分和數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法 . 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列即部分和數(shù)列即部分和數(shù)列ns

2、證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv 設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界，即部分和數(shù)列有界，.1收斂收斂 nnunvvv 21. ), 2 , 1( 111111發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則反之，若反之，若收斂；收斂；收斂，則收斂，則若若且且均為正項級數(shù)均為正項級數(shù)和和設(shè)設(shè)比較審斂法比較審斂法 nnnnnnnnnnnnnnvuuvnvuvunns )()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且, .1發(fā)散發(fā)散 nnv. ) ( )( )( ) ( 11發(fā)散發(fā)散收斂收斂，則，則且且為非零常數(shù)為非零常數(shù)，發(fā)散發(fā)散收斂收斂若若推論：推論： nnnnnnnnvvkunnkuvku , 不是有界數(shù)列不是

3、有界數(shù)列即即n 則則解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 p nnppxdxn 1 1 . 1 p設(shè)設(shè)考慮級數(shù)考慮級數(shù), 1)1(1211 nppnn)0.( 14131211 1 pnppppp的收斂性的收斂性級數(shù)級數(shù)討論討論例例,11 1 ppxnnxn- 有有時，時，因為當因為當所以所以1)1(11111 ppnnp. 級數(shù)收斂級數(shù)收斂因此因此 p 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當級數(shù)級數(shù), 1 , 1 ppp 1)1(11211 nkppnnns, 1)1(11(limlim 1 pnnnns因為因為 , 1)1(1 211收斂收斂故故 nppnn. )1(111 p

4、n證明證明,11)1(1 nnn, 11 1 nn發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù). )1(1 1 nnn發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù). )1(1 2 1 nnn是發(fā)散的是發(fā)散的證明級數(shù)證明級數(shù)例例4. 4. 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式. )3( 0 )2( 0 )1( lim 111111發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則時，若時，若當當收斂；收斂；收斂，則收斂，則時，若時，若當當斂散性；斂散性；時，兩個級數(shù)有相同的時，兩個級數(shù)有相同的當當，則，則都是正項級數(shù)，如果都是正項級數(shù)，如果與與設(shè)設(shè) nnnnnnnnnnnnnnnuvluvlllvuvu證明證明, lim )1(lvunnn 由由, 02 l 對于對于

5、,n , 時時當當nn ,22llvullnn )()23()2( nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, , 得證得證. .5. 5. 極限審斂法極限審斂法為正項級數(shù)，為正項級數(shù)，設(shè)設(shè) 1 nnu；發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)，則，則如果如果 )lim( 0lim 1 nnnnnnunulnu. lim , 1 1收斂收斂存在，則級數(shù)存在，則級數(shù)使得使得如果如果 nnnpnuunp解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散. .)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. .

6、;31 )2( ;1sin )1( 311 nnnnn：判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性例例. )1ln(1 )3(12 nn(3)(3)考察考察).11ln(lim22nnn ，并應(yīng)用重要極限，有，并應(yīng)用重要極限，有代替代替用實變量用實變量nx)11ln(lim22xxn 2)11(limln2xnx eln 1 因此因此. 1)11ln(lim22 nnn. )1ln(1 12收斂收斂根據(jù)極限審斂法知級數(shù)根據(jù)極限審斂法知級數(shù) nn證明證明, 為有限數(shù)時為有限數(shù)時當當 , 0 對對,n , 時時當當nn ,1 nnuu有有)(1nnuunn 即即6. 6. 比值審斂法（達朗貝爾判別法

7、）比值審斂法（達朗貝爾判別法）,lim 11 nnnnnuuu 是正項級數(shù)，如果是正項級數(shù)，如果設(shè)設(shè). 1 )lim ( 1 1 1發(fā)散發(fā)散時級數(shù)可能收斂也可能時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；發(fā)散；時級數(shù)時級數(shù)或或時級數(shù)收斂；時級數(shù)收斂；則則 nnnuu,1時時當當 ,1時時當當 ,1 取取, 1 r使使,11 nmmnuru,12 nnruu,1223 nnnurruu, 111 mnmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收斂收斂 nnummnuu級數(shù)收斂級數(shù)收斂. ., 1 取取, 1 r使使,時時當當nn ,1nnnuruu . 0lim nnu級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. .注意注意: :, 11發(fā)散發(fā)散級

8、數(shù)級數(shù)例如，例如， nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn. 1 1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效；當當 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n. !1 1收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn.2)12(1 (3) ; 10! (2) ; !1 )1( 411n1 nnnnnnn：判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性例例),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, , 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12

9、nnn ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn . )12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn,1 , 1 nnn設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)例如例如nnnnnu1 n1 ),(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂. .7. 7. 根值審斂法（柯西判別法）根值審斂法（柯西判別法），是正項級數(shù)，如果是正項級數(shù)，如果設(shè)設(shè) nnnnnuulim 1. 1 )lim ( 1; 1 發(fā)散發(fā)散時級數(shù)可能收斂也可能時級數(shù)可能收斂也可能級數(shù)發(fā)散；級數(shù)發(fā)散；時時或或時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂則則 nnnu定義定義: : 正、負項相間的級數(shù)稱為正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù). . )1()1(111nnnnnnuu 或或. )0( nu其中其中.

10、, 0lim )2( );, 3 , 2 , 1( )1( 111 nnnnnnnurrusunuu的絕對值的絕對值，其余項，其余項則級數(shù)收斂，且其和則級數(shù)收斂，且其和：如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件萊布尼茨定理萊布尼茨定理二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s . ,1uss

11、 且且級數(shù)收斂于和級數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項余項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件, ,.1 nnur解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x, 1 單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. . 1)1( 5 2 nnnn的收斂性的收斂性判別級數(shù)判別級數(shù)例例定義定義: : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)任意項級數(shù). .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又. 11收斂收斂收斂，則收斂，則若若定理定理 nnnnuu三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂. . sin 6 12 nnn的收斂性的收斂性判別級數(shù)判別級數(shù)例例 . ; 11111為條件收斂為條件收斂收斂，則稱收斂，則稱發(fā)散，而發(fā)