北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章探索勾股定理精講例題與檢測(cè)2015.12.09

1、勾股定理第一節(jié) 探索勾股定理應(yīng)知 基礎(chǔ)知識(shí)1、勾股定理（1）勾股定理的內(nèi)容：在直角三角形中，兩直角邊的 等于 的平方（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么有 。2、理解（1）勾股定理存在和運(yùn)用的前提條件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三邊之間不存在這種關(guān)系。（2）勾股定理把“圖形”與“數(shù)量”有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，即把直角三角形的“形”與三邊關(guān)系的“數(shù)”結(jié)合起來(lái)，是數(shù)形結(jié)合思想的典型代表之一。（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知兩邊長(zhǎng)的情況下，求出未知的第三邊長(zhǎng)。一般情況下，用表示直角邊，表示斜邊，則有：在運(yùn)用勾股定理求第三邊時(shí)，首先應(yīng)確定是求直角邊還是

2、求斜邊，在選擇利用勾股定理的原形公式還是變形公式?！纠?】在中，（1）若則 ；（2）若，則 ；（3）若，則 ， 。【例2】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，如果這個(gè)三角形是直角三角形，求以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。3、勾股定理的驗(yàn)證至少掌握勾股定理的三種驗(yàn)證方法，并從中體會(huì)到這種驗(yàn)證方法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想?！纠?】2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為（ ） A13 B19 C25

3、 D169 應(yīng)會(huì) 基本方法 1、如何利用勾股定理求長(zhǎng)度 利用勾股定理求長(zhǎng)度，關(guān)鍵是找出直角三角形或構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題。在已知兩邊求第三邊時(shí)，關(guān)鍵是弄清已知什么邊，要求什么邊，用平方和還是平方差。 【例4】如圖，有一只小鳥(niǎo)在一棵高13m的大樹(shù)樹(shù)梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹(shù)12m，高8m的一棵小樹(shù)樹(shù)梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹(shù)樹(shù)梢，那么這只小鳥(niǎo)至少幾秒才可能到達(dá)小樹(shù)和伙伴在一起？ 【例5】已知：如圖，四邊形ABCD中，B，D是Rt，A=45°若DC=2cm，AB=5cm，求AD和BC的長(zhǎng) 【例6】如圖，第個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)等于1，

4、以它的斜邊長(zhǎng)為腰長(zhǎng)作第個(gè)等腰直角三角形，再以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為腰長(zhǎng)作第個(gè)等腰直角三角形依次得到一系列的等腰直角三角形，其序號(hào)依次為、 （1）分別求出第、個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)； （2）歸納出第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)（n為正整數(shù)） 2、如何利用勾股定理求面積 利用勾股定理求面積，關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，把所求得面積轉(zhuǎn)化到已知的數(shù)量關(guān)系中去，有時(shí)還要注意整體思想的應(yīng)用?！纠?】如圖，在RtABC中，ACB90°，以ABC各邊為邊在ABC外作三個(gè)正方形，S1，S2，S3分別表示這三個(gè)正方形的面積，S1=81，S3 =225，則S2= 。S1S2S3ABC變式：將ABC外的

5、三個(gè)正方形換成其它圖形是否有類似結(jié)論呢？如圖，以直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積S1、S2、S3之間的關(guān)系是_【例8】下圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（ ）A13 B26 C47 D94 【例9】直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積。 3、勾股定理與方程相結(jié)合的應(yīng)用在進(jìn)行直角三角形的有關(guān)計(jì)算中，如果不能直接運(yùn)用勾股定理求解時(shí)，往往通過(guò)勾股定理列方程求解?！纠?0】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角

6、邊AC沿直線AD對(duì)折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)【例11】如圖，ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC邊上的高AD【例12】為了豐富少年兒童的業(yè)余文化生活，某社區(qū)在如圖9所示AB所在的直線上建一圖書閱覽室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和D處CAAB于A，DBAB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，試問(wèn)：閱覽室E應(yīng)建在距A多少處，才能使它到C、D兩所學(xué)校的距離相等？ 【例13】一架梯子的長(zhǎng)度為25米，如圖斜靠在墻上，梯子頂端離墻底端為7米。(1)這個(gè)梯子頂端離地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了幾米？

7、 【規(guī)律總結(jié)】第二節(jié) 勾股定理逆定理 應(yīng)知 基礎(chǔ)知識(shí)1、勾股定理逆定理的內(nèi)容：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足 ，那么這個(gè)三角形是 ，且最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為 ?？偨Y(jié)：到目前為止判定直角三角形的方法有多少種了？2、理解：（1）勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。（2）如何用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形：首先確定最大邊（如：C，但不要認(rèn)為最大邊一定是C）其次驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2，則ABC是以C為直角的三角形；若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的三角形；若c2&

8、lt;a2+b2，則ABC是以C為銳角三角形。3勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為 顯然，一組勾股數(shù)必須滿足兩個(gè)條件：滿足 ；都是 。若(a，b，c)為一組基本勾股數(shù)，則(ka，kb，kc)也為勾股數(shù)，其中k為正整數(shù)。即將一組勾股數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)仍是一組勾股數(shù)。【例1】若三角形三邊長(zhǎng)分別為，當(dāng) 時(shí)，此三角形為直角三角形。 【例2】；，且為自然數(shù)）。上面各組數(shù)中，勾股數(shù)有 （填序號(hào)）。 應(yīng)會(huì) 基本方法1、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷三角形的形狀【例3】已知，試判斷以為三邊長(zhǎng)的三角形的形狀?！揪毩?xí)】如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)滿足，試說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形?！纠?】請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)

9、程：已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2-b+2c2=a4-b4，試判斷ABC的形狀 解：a2c2-b2c2=a4-b4，A c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B c2=a2+b2，C ABC為直角三角形D 問(wèn)：（1）在上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤：第C步 ； （2）錯(cuò)誤的原因是：等式兩邊同時(shí)除以a2-b2 ； （3）本題正確的結(jié)論是：直角三角形或等腰三角形 【規(guī)律總結(jié)】2、勾股數(shù)【例5】觀察下表：列舉猜想3，4，5    32=4+55，12，13  52=12+137，24，25  72=24+2513，b，

10、c   132=b+c請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b，c的值【練習(xí)】（1）一位同學(xué)從勾股數(shù)“3，4，5”中發(fā)現(xiàn)，由此他發(fā)現(xiàn)最小數(shù)是奇數(shù)的勾股數(shù)的構(gòu)造方法你發(fā)現(xiàn)了嗎？請(qǐng)你寫出一下幾組勾股數(shù)組：5， 12， 13；7， 24， 25；9， 40， 41； （2）寫出一般規(guī)律的表達(dá)方式，（用字母n表示，n為正整數(shù)） 【例6】我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的稱為股，斜邊稱為弦并發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”若直角三角形三邊長(zhǎng)都為正整數(shù)，則稱為一組勾股數(shù)，如“勾3股4弦5”勾股數(shù)的尋找與判斷不是件很容易的事，不過(guò)還是有一些規(guī)律可循的（以下n為正整數(shù)，且n2） （1）觀察：3、4

11、、5；   5、12、13；  7、24、25；，小明發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，且股和弦只相差1小明根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，推算出這一類的勾股數(shù)可以表示為：2n-1、2n（n-1）、2n（n-1）+1請(qǐng)問(wèn)：小明的這個(gè)結(jié)論正確嗎？（2）繼續(xù)觀察第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況：4、3、5；   6、8、10；   8、15、17；，你能像小明一樣發(fā)現(xiàn)每組勾股數(shù)中的其他兩邊長(zhǎng)都有何規(guī)律嗎？若用2n表示第一個(gè)偶數(shù)，請(qǐng)分別用n的代數(shù)式來(lái)表示其他兩邊，并證明確實(shí)是勾股數(shù)【規(guī)律總結(jié)】1、解題時(shí)

12、，記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如2、用含字母的代數(shù)式表示的勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）。3、勾股定理及勾股定理逆定理的綜合應(yīng)用勾股定理及勾股定理逆定理的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在下面幾個(gè)方面：（1）利用勾股定理及勾股定理逆定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題；（2）計(jì)算圖形中的線段、角度以及面積的大?。唬?）證明線段垂直或成平方和關(guān)系。【例7】如圖，四邊形ABCD中，已知BAD =90°，且AB=3，BC=12，CD=13，DA=4求四邊形的面積變式：如圖所示，在四邊形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且B=90°，求DAB的度數(shù)【例8】如圖，

13、在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4a，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE= BC，問(wèn)：AF與EF會(huì)垂直嗎？若垂直，說(shuō)明理由；若不垂直，請(qǐng)舉出反例 【例9】如圖，在中，是上任一點(diǎn)。求證：BCPA。提示：作AE垂直于BC 因?yàn)锳E=BE=CE BP2+CP2=(BE+PE)2+(BE-PE)2=2BE2+2PE2 因?yàn)楣垂啥ɡ?BE2+PE2=AP2 所以BP2+CP2=2AP2 【例10】矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿線段DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)連續(xù)FM、FN。設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度都

14、是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，問(wèn)：當(dāng)為多少時(shí)，?【規(guī)律總結(jié)】 第三節(jié) 螞蟻怎樣走最近 應(yīng)知、應(yīng)會(huì) 基礎(chǔ)知識(shí)及基本方法遇到螞蟻怎樣走最近的問(wèn)題時(shí)要明確應(yīng)把立體圖形展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)解決，除了用到側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)外，也用到勾股定理和線段公理等基本數(shù)學(xué)知識(shí)，在展開(kāi)后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)多個(gè)不同的答案需要進(jìn)行比較，選擇最短的1、長(zhǎng)方體（或正方體）面上的兩點(diǎn)間的最短距離長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖不止一種情況，故對(duì)長(zhǎng)方體相鄰的兩個(gè)面展開(kāi)時(shí)，考慮要全面，不要有所遺漏。一般來(lái)說(shuō)，需要討論三種情況前面和右面展開(kāi)；前面和上面展開(kāi)；左面和上面展開(kāi)，從而比較取其最小值即可。【例1】如圖，一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，

15、一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角頂點(diǎn)G處，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，問(wèn)蜘蛛要沿著怎樣的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅？這時(shí)蜘蛛走過(guò)的路程是多少厘米？【例2】在桌面上放了一個(gè)正方體的盒子，一只螞蟻在頂點(diǎn)A處，它要爬到頂點(diǎn)B處，你能幫助螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的爬行路線嗎？2、圓柱體（或圓錐體）面上的兩點(diǎn)間的最短距離將圓柱體（或圓錐體）的側(cè)面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，應(yīng)用勾股定理解決?！纠?】桌上有一圓柱形玻璃杯高12cm，底面周長(zhǎng)18cm，在杯內(nèi)壁離杯口3cm的A處有一滴密糖，一條小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至密糖相對(duì)方向離桌面3cm的B處時(shí)（即A、B在底面的射影的連線段經(jīng)過(guò)底面的圓心O），突

16、然發(fā)現(xiàn)了密糖，問(wèn)小蟲怎樣爬到達(dá)密糖最近？它至少爬多少路才能到達(dá)密糖所在位置3、生活中兩點(diǎn)間的最短距離用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型直角三角形，再正確利用兩點(diǎn)之間線段最短解答?！纠?】如圖所示是一個(gè)會(huì)場(chǎng)的臺(tái)階的側(cè)視圖，要在上面披上紅地毯，則至少需要（）米的地毯才能鋪好整個(gè)臺(tái)階A、2.5 B、5 C、7.5 D、10【變式訓(xùn)練】為了籌備元旦慶祝晚會(huì)，要在通往舞臺(tái)的臺(tái)階上鋪上紅色地毯如果地毯的寬度恰好與臺(tái)階的寬度一致，臺(tái)階的側(cè)面如圖所示，臺(tái)階的坡角為30°，BCA=90°，臺(tái)階的高BC為3米，那么請(qǐng)你幫忙算一算至少需要 米長(zhǎng)的地毯恰好能鋪好臺(tái)階（結(jié)果精確到

17、0.1 m，參考數(shù)據(jù)：=1.414，=1.732） 【例5】如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？第四節(jié) 專題突破一、網(wǎng)格中的勾股定理【知識(shí)要點(diǎn)】正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，所以在正方形網(wǎng)格中的計(jì)算都可以歸結(jié)為求任意兩個(gè)格點(diǎn)之間的長(zhǎng)度問(wèn)題，一般情況下都是設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，然后應(yīng)用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算?！纠}精講】【例1】如圖1所示，在一個(gè)有4×4個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，陰影部分的面積與正方

18、形ABCD的面積比是（ ）圖4圖1圖2圖3A、3：4B、5：8C、9：16D、1：2 【例2】如圖2所示，在ABC中，三邊a、b、c的大小關(guān)系是（ ）A、abc B、cab C、cba D、bac【例3】如圖3所示為一個(gè)6×6的網(wǎng)格，在ABC、ABC、ABC三個(gè)三角形中，直角三角形有（ ）A、3個(gè) B、2個(gè) C、1個(gè) D以上都不對(duì)【練習(xí)】如圖4所示，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為a，則圖中是直角三角形的是 。二、特殊直角三角形【知識(shí)要點(diǎn)】1、直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，且三邊之比為。2、直角三角形中，若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的角等于；3、等腰直角三角形中，兩直角都等于，它的三邊之比為?！纠}精講】【例4】已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，求三角形的面積?！纠?】已知，如圖，在四邊形中，ADCB12求、長(zhǎng)?！揪毩?xí)】（1）如圖，在中，求的長(zhǎng)。ABC（2）如圖，在中，求的長(zhǎng)及。【例6】如圖在一次實(shí)踐活動(dòng)中，小兵從A地出發(fā)，沿北偏東的方向行進(jìn)了千米到達(dá)B地，然后再沿北偏西方向行進(jìn)了千米到達(dá)目的地C（1）求A,C兩地之間的距離（2）試確定目的地C在點(diǎn)A的什么方向（在直角三角形中角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半）？【規(guī)律總結(jié)】三