高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.2導數(shù)的運算1.2.1常見函數(shù)的導數(shù)講義含解析蘇教選修2_2

1、1.2.1常見函數(shù)的導數(shù)幾個常見函數(shù)的導數(shù)入H魯輯已知函數(shù)2 f(x) = c, f(x) = x, f(x) = x , f(x) = x, (5)f(x)=五.問題1：函數(shù)f(x) = x的導數(shù)是什么？提示Ay = f(x + X) f(x) = x+ x x = 1A xA xA x'當 A xt 0 時，At 1,即卩 x '= 1.A x1問題2:函數(shù)f(x)=-的導數(shù)是什么?xA y f(x + A x) f(x)x+ A x xA x =A x= A xx (x + A x)1x(x + A x) A x= x2 + x A x，當 A xt 0 時,1x2.A

2、y1tA xx2'1. (kx+ b) '= k( k, b 為常數(shù))；2. C'= 0( C為常數(shù));3. (x) '= 1 ；24. (x) '= 2-;165.3,2(X) '= 3x ；6.1X2 ；7.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式1 . (Xa) ' = a X1( a 為常數(shù))；X .X2. (a)= a ln_ a(a>0，且 a* 1)；(a>0,且 a* 1)；1 13. (log aX)' = Xlogae =亦X .X4. (e )= e;, 15. (In X)= x；6. (sinx) '

3、= cos_X;7. (cos x)' = sin x.歸納-升華*領悟1函數(shù)f (x) = log ax的導數(shù)公式為f' (x) = (log ax)'=，當a= e時，上述公式就x ln a1變形為(In x)'= -，即f (x) = ln x是函數(shù)f (x) = log ax當a= e時的特殊情況.類似地， X還有 f (x) = a 與 f (x) = e*.鬲頻考點題組化.名師一點就通對應學生用書P7tzai|求函數(shù)的導數(shù)例1求下列函數(shù)的導數(shù). y=x8；i( .函數(shù) y= sin x 的導數(shù)是. (n 解析：y = sin x = cos x,所以

4、 y ' = sin x.)y=x3；(3) y=x x；(4) y = log 2X.思路點撥解答本題可先將解析式化為基本初等函數(shù)，再利用公式求導.精解詳析(1) y '= (x8) '= 8x7;(2)y ' = x3 ' f 一 3 x 答案：sin x 2.下列結論中不正確的是 . x4;3313 x(3) y' = (x ,x)' = (x'=2 x2= 2 ；i y ' = (log 2x)'=.) x In 2一點通用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度.解題時應根據所給函數(shù)的特征，恰當?shù)剡x擇

5、求導公式，有時需將題中函數(shù)的結構進行調整，如根式、分式轉化為指數(shù)式，利用幕函數(shù)的求導公式求導.7t=cos7t解析：正確；sin=0,不正確；對于,1 31=-x-=，正確；正確.2 2 2x x答案：3求下列函數(shù)的導函數(shù).(1) y = iox; y = log 2x；I x x 2 ；(4) y = sin + cosq丿-1.解：(1) y，= (10x) '= 10xln 10 ；xln1xln 2 y=4 3x3 = x4,-y'Fx=4x-4x x 2 y= (sin+ cos) - 12xx x2x=sin + 2sin cos2 + cos? 1 = sin x

6、,/ y'= (sinx) '= cos x.I求函數(shù)在某一點處的導數(shù)1例2求函數(shù)f(x)= 在x= 1處的導數(shù).飯5先求導函數(shù)，再求導數(shù)值.思路點撥精解詳析f ' (x) =5最后將變量的6.一點通求函數(shù)在某點處的導數(shù)需要先對原函數(shù)進行化簡，然后求導,值代入導函數(shù)便可求解.4. 若函數(shù) f (x) = 3x，貝U f ' (1) =.解析:f ' (X)=(眾)，=(x3)，= *X - 31f ' (1) = 3.答案：15. 若函數(shù) f (x) = sin x,則 f' (6 n ) =解析：t f ' (x) = (sin

7、 x) ' = cos x. f ' (6 n ) = cos 6 n = 1.答案：16. 已知f(x)=丄且f '=-舟，求n.1111 n +1(x) '=X 一 1 = X-nn nn n f' (1)=1n，由(1)扌得一12，得2.e1求切線方程例3已知曲線方程y= x2，求:(1) 曲線在點A(1,1)處的切線方程;過點B(3,5)且與曲線相切的直線方程.(2) B點不在曲線上，進而求出切點坐標，得到的切線方程為y 1 = 2( xyo).思路點撥(1)點A在曲線上，故直接求導數(shù)，再求直線方程； 故解答本題需先設出切點坐標，再利用導數(shù)的幾何

8、意義求出斜率，切線的方程.精解詳析y '= 2x,當x = 1時，y '= 2,故過點A(1,1)1)，即 2x y 1 = 0.(2) T耳3,5)不在曲線y= x2上，可設過B(3,5)與曲線y= x2相切的直線與曲線的切點為 (Xo-y = 2x,當 x= xo 時，y '= 2xo.故切線方程為 y x2= 2xo(x xo).又直線過B(3,5)點， 5 x2= 2xo(3 xo).即 xo 6xo+ 5 = o.解得Xo= 1或Xo= 5.故切線方程為 2x y 1 = 0或10x- y 25 = 0.一點通(1) 求切線方程是導數(shù)的應用之一，有兩種情況：

9、求曲線在點P處的切線方程，P為切點，在曲線上； 求過點P與曲線相切的直線方程，P不一定為切點，不一定在曲線上.(2) 求曲線上某點(xo, yo)處的切線方程的步驟： 求出f'(X。)，即切線斜率； 寫出切線的點斜式方程； 化簡切線方程.(3) 求過點P與曲線相切的直線方程的步驟： 設出切點坐標為(xo, yo); 寫出切線方程y yo = f' (xo)( x xo)； 代入點P的坐標，求出方程.7. 已知直線y= x+ a與曲線y = In x相切，則a的值為.1 1 一解析：設切點為F( xo, yo) , T y'= x，由題意得xo= 1，二xo= 1,-點P

10、的坐標為(1,o), 把點F的坐標代入直線y = x+ a,得a= 1.答案：1&求曲線y = 2x2 1的斜率為4的切線的方程.解：設切點為 F(xo, yo), y'= 4x，由題意知，當 x= xo時，y'= 4xo= 4,所以xo= 1.當xo= 1時，yo = 1,.切點P的坐標為(1,1)故所求切線的方程為y 1= 4(x 1)，即4x y 3 = 0.右法-規(guī)律-亦結1. 對公式y(tǒng) = xn的理解：(1) y = xn中，x為自變量，n為常數(shù)；(2) 它的導數(shù)等于指數(shù) n與自變量的(n 1)次幕的乘積.公式中 nQ,對n R也成立.2在應用正、余弦函數(shù)及指

11、數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導公式時應注意的問題：(1) 對于公式(sin x) '= cos x, (cos x) '= sin x，一要注意函數(shù)的變化，二要注 意符號的變化.11(2) 對于公式(In x)'=-和(ex) '= ex很好記，但對于公式(log ax) '= Tog ae和(a)'X應用=axln a的記憶就較難，特別是兩個常數(shù)log ae與In a很容易混淆.課下訓練經典化.貴在觸類旁通對應課時跟蹤訓練(三)一、填空題1.已知 f(x) = x"，若 f ' ( 1) = 4,貝U a 的值是解析：T f(X)= x，

12、二 f '(X)= a x"T,a 1 I f ( 1) = a ( 1)= 4. I a = 4.答案：412. 過曲線y = 1上一點P的切線的斜率為-4，則點P的坐標為 解析：設 P(X0, ya)，貝y f '(X。)= x2 = 4.所以 xo=± 2，所以 P 2， 2 或 P 2， 2 .答案:3. 已知 f(x) = x2, g(x) = x3，則適合方程 f' (x) + 1 = g' (x)的 x 值為2解析：由導數(shù)公式可知f' (x) = 2x, g' (x) = 3x .所以 2x+ 1 = 3x2,即

13、卩 3x2 2x 1 = 0.解之得x = 1或x = 3.1答案：1或34. 設函數(shù) f (x) = log ax, f' (1) = 1，則 a =.1 1 解析：T f ' (x) =, - f' (1) = 1.x In aIn a1'In a= 1，即 a=.e答案： 2e5. 已知直線y= kx是曲線y = In x的切線，貝U k的值等于1解析:T y' = (In x)'= -，設切點坐標為(xo, yo),X則切線方程為y yo= 和 xo).即 y = xox+ In xo-1.由 In xo- 1 = 0，知 xo= e.答

14、案：二、解答題6求下列函數(shù)的導數(shù). y=ig 2 ；x y=2 ；x22X(4) y = 2cos 一1.解：(1) y/= (Ig 2) '= 0；(2) y ' = (2X) ' = 2xln 2 ;3、，3 1(3) y = (xR=產；2x,(4) / y= 2cos 1 = cos x,= y = (cos x)= sin x.7已知點P( 1,1)，點Q2,4)是曲線y = x1 &求曲線y=;和y= x在它們交點處的兩條切線與 x軸所圍成的三角形的面積.上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y = x2的切線方程.2解：t y ' = (x)' = 2x,設切點為 Mxo, yo)，則當x= xo時，y ' = 2x0.4 1又 PQ勺斜率為k = 1,2 + 1而切線平行于PQk = 2x0= 1,1n即