高等數(shù)學(xué)課件：9-1-2_復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)

1、第九節(jié)第九節(jié) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)與解析函數(shù) 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 賀賀 丹丹第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用29.1 9.1 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用3設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù) f 在在 內(nèi)有定義內(nèi)有定義,如果極限如果極限 0N z 0000limlimzzfzzfzwzz 存在存在,則稱函數(shù)則稱函數(shù) f 在在 處處可導(dǎo)可導(dǎo),并稱此極限值為并稱此極限值為f0z在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),記為記為 ,即即0z 0fz 0000limzf zzf zfzz 或記為或記為 0,zzdw

2、dz 0zzw 定義定義結(jié)論結(jié)論：可微則可導(dǎo)，且：可微則可導(dǎo)，且00()()dwfzzfzdz 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在在 D 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). ( )f z( )f z第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用4例例1. 求求 ( 為正整數(shù)為正整數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). nf zz n 解：解： 00limlimnnzzfzzfzzzzfzzz 122101limnnnnznnzC zzznz 1nnznz 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用5 00lim limzzf zzf zzzzzz 000li

3、mlim1xyyxi yi yxi yi y 而而000limlim1yxxxi yxxi yx 例例2可導(dǎo)必可導(dǎo)必連續(xù)連續(xù),連連續(xù)不一續(xù)不一定可導(dǎo)定可導(dǎo)000limlimzxyzxi yzxi y 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用6:求導(dǎo)公式 0C 1nnznz f zg zfzgz 2( )(0)fzfz g zfzgzg zg zgz ( )( )f z g zfz g zf z gz ( ( )( ( )f g zfg z g z 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用7 000000000,limxu xx yiv xx yu xyiv

4、xyx 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用8uvixx 00000000000,limyu xyyiv xyyu xyiv xyi y uvixxvuiyy uvxyvuxy (CR 方方程程） 000000000,limxu xx yiv xx yu xyiv xyx vuiyy 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用92 ( ), ( ,), ( ,)1,0,0,1,f zzxiy u x yx v x yyuuvvuvvuxyxyxyxy 如如例例中中 ，定理定理9.1 （可導(dǎo)的必要條件）可導(dǎo)的必要條件）第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元

5、函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用10例例3( )ReIm,f zzzxy 0( ,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)xyxu xuuvx 證明：證明：0(0, )(0,0)(0,0)lim0(0,0)yxyuyuuvy ( , ), ( , )0u x yxy v x y 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用11 00limzfzfz 不不存存在在 2(1)00()0limlim(1)1zkixxkxkfzfzkixki 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用12定理定理9.2 （可微的充要條件）可微的充要條件）第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微

6、分學(xué)及其應(yīng)用13 0012()()()()f zzf zui vaibxi yixi y 122122220000lim0, lim0()()()()xxyyxyxyxyxy 而而 0000()(lim0)zfzzfzfzzz 0000()limzf zzf zfzz 1221()a xb yxyi b xa yxy 1221ua xb yxyvb xa yxy 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用142222( ()() )( ()() )xyxyuuxuyoxyvvxvyoxy 2222( ()() )( ()() )xyxyu x u y oxyi v x v y

7、oxy fui v 22)( ()() )CRxxxxuxvyi vxuyoxy （22()()( ()() )xxuivxi yoxy 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用15由定義由定義9.2可知：可知：9.2 解析函數(shù)解析函數(shù)一、解析函數(shù)一、解析函數(shù)第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用16由定理由定理9.2即得：即得：定理定理9.3 （判斷解析的充要條件）判斷解析的充要條件）第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用171( )(cossin )xf zeyiy （）( )(cossin )( )xxxfzuiveyiyf z

8、解：解：( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yey ，cos ,sin ,xxxyuey uey sin,cosxxxyvey vey 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用182( )f zxyixy （ ）( , ), ( , )u x yxy v x yxy ，解：解：1,1,xyxyuuvy vx 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用1923( )f zxiy （）2( , ), ( , )u x yx v x yy ，解解:2 ,0,0,1xyxyux uvv 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及

9、其應(yīng)用202222()yxxyuvxy 2222222222 ()()()xyxyxyugxvxyxy 解解:222222 ()()xyxudyg xxyxy ( )0,( )gxg xC 221( )xiyf zuivCCxyz 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用2111(),()22xzzyzzi 111()()()()2222xxyyxyyxiuivuivuvuvi證明證明: wwxwyzxzyz 0wz 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用22二、調(diào)和函數(shù)二、調(diào)和函數(shù)第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用2321( )(

10、 )2xxxxC 解：解：222211( )(2)22f zuivxyxyixyyxC 2122( )2yxvuxyvxyyx ( )112fiiC 22( )2xyvuyxyxyx 2211222vxyyxC 222(1)22iizzCizCi 2( )(1)22iif zz 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用24 9.3 初等函數(shù)初等函數(shù)1. 1. 指數(shù)指數(shù)函數(shù)函數(shù)(cossin)zxweeyiy 10,2(0, 1, 2,)zxzeeArgeykk （）性質(zhì)：性質(zhì)：11212122(3),zzzzzzzzeeeeee 注意注意：第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

11、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用252.2.三角函數(shù)三角函數(shù)i-ii-ie -eeesin, cos2i2zzzzzz 性質(zhì)：性質(zhì)：22sincos1zz ， 121221sin()sincossincoszzzzzz， 121212cos()coscossinsinzzzzzz第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用26第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用273. 3. 對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)LnlniArglni(arg2)wzzzzzk ,2lnln,Arg )urevkurzvz 說明：說明：第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用28ln(

12、1)ln1arg( 1)Ln( 1)ln( 1)2(21)iiikki 如如性質(zhì)：性質(zhì)：第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用29Lnln(arg2)wzzizk 解解:5( )ln(arg2)(2)22w iiiikiki 1k 3( 2 )ln2(arg( 2 )2 )ln22wiiiii 第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用304.4.冪函數(shù)冪函數(shù)(lniArg )Ln(ln2i)eezzzzkwze 性質(zhì)：性質(zhì)：第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用311()zz (ln 1( 1)( 1)(1)1iiArgiiLnee （ ）解：解：2(lniArg( )222ieiiLnie （）(21) i(21)0, 1, 2,