任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)線.doc

1、 任意角的三角函數(shù)-三角函數(shù)線 河南省焦作市第一中學 孟麗華教學背景:    1教材地位分析：三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線的概念及其應用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，又貫穿整個三角函數(shù)的教學.借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說，三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的有利工具.    2學生現(xiàn)實分析:學習本節(jié)前，學生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導公式一，為三角函數(shù)線的尋找做好了知識準備。高一上學期研究指、對數(shù)函數(shù)圖像時,已帶領學生學習

2、了幾何畫板的基礎知識,現(xiàn)在他們已經(jīng)具備初步的幾何畫板應用能力，能夠制作簡單的動畫，開展數(shù)學實驗。教學目標：1知識目標： 使學生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值，并能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.2能力目標: 借助幾何畫板讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力；在論壇上開展研究性學習，讓學生借助所學知識自己去發(fā)現(xiàn)新問題,并加以解決，提高學生抽象概括、分析歸納、數(shù)學表述等基本數(shù)學思維能力.3情感目標：激發(fā)學生對數(shù)學研究的熱情，培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、

3、教學相長的教學情境。教學重點難點：1重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應用.2難點:利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來。教學方法與教學手段：1教法選擇：“設置問題，探索辨析，歸納應用，延伸拓展”-科研式教學。2學法指導：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識遷移；觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達到知識的延展。3教學手段：本節(jié)課地點選在多媒體網(wǎng)絡教室，學生利用幾何畫板軟件探討數(shù)學問題，做數(shù)學實驗; 借助網(wǎng)絡論壇交流各自的觀點,展示自己的才能.教學過程：一、設置疑問，實驗探索（17分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖設置疑問，點明主題 前面我們學習

4、了角的弧度制,角弧度數(shù)的絕對值,其中是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑。特別地， 當r =1時，,此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢?這就是我們今天一起要研究的問題.既可以引出單位圓，又可以使學生通過類比聯(lián)想主動、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式。概念學習,分散難點 有向線段：帶有方向的線段。（1）方向：按書寫順序，前者為起點，后者為終點,由起點指向終點.如：有向線段OM,O為起點,M為終點，由O點指向M點.（動態(tài)演示）(2） 數(shù)值：（只考慮在坐標軸上或與坐標軸平行的有向線段)

5、絕對值等于線段的長度，若方向與坐標軸同向，取正值;與坐標軸反向，取負值.如:  OM= 1,  ON= -1,  AP = 相關概念的學習分散了教學難點，使學生能夠更多的圍繞重點展開探索和研究.實驗探   索，辨析研討                          

6、          1.（復習提問）任意角的正弦如何定義？角的終邊上任意一點P(除端點外)的坐標是（）,它與原點的距離是r, 比值叫做的正弦。思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢？學生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長的轉化, 類比猜測:若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點為P,過點P作軸的垂線，設垂足為M，則有向線段MP=。(學生分析的同時，教師用幾何畫板演示）請學生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置，觀察終邊在各個位置的情形，注意有向線段的方向和正弦值正負的對應.特別地,當角的終邊在軸上時

7、,有向線段MP變成一個點,記數(shù)值為0.這條與單位圓有關的有向線段MP叫做角的正弦線。2.思考：用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說明理由。請學生用幾何畫板演示說明。有向線段OM叫做角的余弦線.3. 如何用有向線段表示？討論焦點：若令=1， 則=AT,但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標為1的點，若此時取=-1的點T,tan=TA，有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一。引導觀察：當角的終邊互為反向延長線時，它們的正切值有什么關系？統(tǒng)一認識：方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1的點T，則tan=AT;方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識得到=。幾何畫板演示驗證:當角的終邊落在坐標軸上時

8、，tan與有向線段AT的對應。這條與單位圓有關的有向線段AT叫做角的正切線.美國華盛頓一所大學有句名言：“我聽見了,就忘記了;我看見了，就記住了;我做過了，就理解了?！币胱寣W生深刻理解三角函數(shù)線的概念，就應該讓學生主動去探索，大膽去實踐,親身體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程。      教學已經(jīng)不再是把教師或?qū)W生看成孤立的個體，而是把他們的教和學看成是相互影響的辯證發(fā)展過程。在和諧的氛圍中，教師和學生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達各自的意見，在自己積極思維的同時又能感受他人不同的思維方式，從而打破自己的封閉狀態(tài)，進入更加廣闊的

9、領域.     二、作法總結，變式演練(13分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖作法總結       正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。請大家總結這三種三角函數(shù)線的作法，并用幾何畫板演示（一學生描述,同時用電腦演示)：第一步：作出角的終邊,與單位圓交于點P；第二步：過點P作軸的垂線，設垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；第三步：過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設為T，得角的正切線AT。特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注

10、意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒。余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標軸的公共點為起點，其中點A為定點（1，0）。  及時歸納總結，加深知識的理解和記憶.    變式演練,提高能力練習：利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：      （1）;      （2）.學生先做,然后投影展示一學生的作品,并強調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向.例1 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊：（1）；  &#

11、160; （2）；  （3）.共同分析（1）,設角的終邊與單位圓交于P(）,則=,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標為的點P,則射線OP即為的終邊。（幾何畫板動態(tài)演示）請學生分析（2）、（3）,同時用幾何畫板演示。 例2 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：（1） ；     （2)- .        分析:先作出滿足 ，的角的終邊(例1已做）,然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫板動態(tài)演示）答案：(1）.（2)。延伸：通

12、過（1)、（2）兩圖形的復合又可以得出不等式組的解集：. 鞏固練習,準確掌握三角函數(shù)線的作法。    逆向思維,靈活運用三角函數(shù)線，并為利用三角函數(shù)線求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.            數(shù)形結合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉化;借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用。三、思維拓展，論壇交流（10分鐘)教學環(huán)節(jié)教學過程設

13、計意圖思維拓展，論壇交流 觀察角的終邊在各位置的情形，結合三角函數(shù)線和已學知識，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，得出哪些結論？請說明你的觀點和理由,并發(fā)表于焦作一中教育論壇 (bbs。jzyz。）.學生得出的結論有以下幾種:（1） sin2 + cos2 = 1;(2)sin + cos 1；（3） 1sin1， 1cos1， tanR;（4) 若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等，正弦、余弦值互為相反數(shù);(5) 當角的終邊在第一象限逆時針旋轉時,正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6） 當角的終邊在直線的右下方時, sincos ；當角的終邊在直線的左上方時， sincos ；給學生

14、建設一個開放的、有活力、有個性的數(shù)學學習環(huán)境。論壇交流既能展示個人才華,又能照顧到各個層次的學生.來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識又被他人的視點喚起，產(chǎn)生新的思想。這樣的學習過程使學生在輕松達成一個個階段目標之后，順利到達數(shù)學學習的新境界。四、歸納小結，課堂延展(5分鐘）教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖歸納小結 1?；仡櫲呛瘮?shù)線作法。2.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結合思想解決有關問題的重要工具，自從著名數(shù)學家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對應關系,使得對三角函數(shù)的研究大為簡化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎。 回顧三角函數(shù)線作法,再

15、次加深理解和記憶.點明三角函數(shù)線在其他方面的應用,以及數(shù)形結合思想,便于學生在后續(xù)學習中更深入的思考，更廣泛的研究。  鞏固創(chuàng)新，課堂延展 鞏固作業(yè):習題4。3  1,2提升練習：1。 已知:，那么下列命題成立的是（  ）A若、是第一象限的角,則coscos.B. 若、是第二象限的角，則tantan.C。 若、是第三象限的角，則coscos。D。 若、是第四象限的角,則tan>tan。2求下列函數(shù)的定義域:（1） y = ；  (2） y = lg（34sin2x） .延展作業(yè):1。 類比正切線的作法，你能作出余切線嗎？2.結合

16、三角函數(shù)線我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價值的結論，你還能得出哪些結論?請大家繼續(xù)在論壇上交流.3.查閱數(shù)學家歐拉的生平事跡，了解他在數(shù)學方面的突出貢獻,談談你的學習感受,并發(fā)表于論壇交流.    既能保證全體學生的鞏固應用，又兼顧學有余力的學生，同時將探究的空間由課堂延伸到課外. 教學設計說明：1。讓計算機軟件和網(wǎng)絡真正走入數(shù)學課堂,發(fā)揮它們的輔助作用?！白層嬎銠C軟件和網(wǎng)絡走入數(shù)學課堂"是提出了多年的口號，但是如何真正讓多媒體在數(shù)學學習中發(fā)揮積極的作用卻是我們一直在探索的問題.本節(jié)課有較廣的延展面，是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)新能力的很好素材，但是要在一節(jié)課45分鐘時間內(nèi)實現(xiàn)構想,對課的安排提出了非常高的要求。幾何畫板軟件的動畫演示功能正好可以幫助學生做數(shù)學試驗，探討數(shù)學問題；網(wǎng)絡論壇可以讓他們充分交流，相互學習.為此，我把授課地點放在多媒體網(wǎng)絡教室，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，既豐富了三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識也有了相應的提高。2。不僅要讓學生掌握數(shù)學的基礎知識，更要讓他們領悟科學的研究方法。 課堂教學最終是為了讓學生擺脫課堂，獨立