MATLAB在電力中的實(shí)際應(yīng)用

1、第二章 MATLAB在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的應(yīng)用2.1 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)用2.2 MATLAB在線性代數(shù)中的在線性代數(shù)中的應(yīng)用應(yīng)用2.3 MATLAB在積分變換中的在積分變換中的應(yīng)用應(yīng)用2.4 MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的在復(fù)變函數(shù)中的使用使用2.5 多項(xiàng)式多項(xiàng)式運(yùn)算運(yùn)算2.1 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.1.1 微分和積分1. 微分微分微分運(yùn)算使用符號(hào)表達(dá)式的diff函數(shù)，命令格式如下：diff(f,t,n) %計(jì)算計(jì)算f對(duì)符號(hào)變量對(duì)符號(hào)變量t的的n階階微分微分【例例2_1】計(jì)算表達(dá)式f=cos(ax)+sin(ax)+ ysin(2x)對(duì)x的一階微分和二階微分，以及

2、對(duì)y的一階微分。 syms a x y%創(chuàng)建符號(hào)變量 f=cos(a*x)+sin(a*x)+y3*sin(2*x); dfdx=diff(f)%計(jì)算對(duì)x的一階微分dfdx =2*cos(2*x)*y3 + a*cos(a*x) - a*sin(a*x) dfdx2=diff(f,2)%計(jì)算對(duì)x的二階微分dfdx2 =- 4*y3*sin(2*x) - a2*cos(a*x) - a2*sin(a*x) dfdy=diff(f,y)%計(jì)算對(duì)y的一階微分dfdy =3*y2*sin(2*x)2. 積分積分在數(shù)學(xué)中積分其命令的語法格式如下：int(f,t,a,b)%計(jì)算符號(hào)變量計(jì)算符號(hào)變量t的積分

3、的積分說明：f為符號(hào)表達(dá)式；t為積分符號(hào)變量，可以省略，當(dāng)t省略時(shí)則指默認(rèn)自由符號(hào)變量；a和b為積分上下限a b，可以省略，省略時(shí)計(jì)算的是不定積分。2.1.2極限極限函數(shù)格式表達(dá)式說明limt(f)求符號(hào)表達(dá)式f對(duì)x趨近于0的極限limt(f,a)求符號(hào)表達(dá)式f對(duì)默認(rèn)自由符號(hào)變量趨近于a的極限limt(f,x,a) 求符號(hào)表達(dá)式f對(duì)x趨近于a的極限limt(f,x,a, left)求符號(hào)表達(dá)式f對(duì)x左趨近于a的極限limt(f,x,a, right) 求符號(hào)表達(dá)式f對(duì)x右趨近于a的極限f(x)x0limf(x)axlimf(x)axlimf(x)axlimf(x)axlim2.1.3級(jí)數(shù)1.

4、級(jí)數(shù)求和級(jí)數(shù)求和MATLAB提供了symsum函數(shù)實(shí)現(xiàn)有限個(gè)級(jí)數(shù)求和，其命令的語法格式如下：symsum(s,x,a,b) %計(jì)算表達(dá)式計(jì)算表達(dá)式s當(dāng)當(dāng)x從從a到到b的級(jí)數(shù)和的級(jí)數(shù)和說明：s為符號(hào)表達(dá)式；x為符號(hào)變量，可省略，省略時(shí)使用默認(rèn)自由變量；a和b為符號(hào)變量的范圍，可省略，省略時(shí)范圍是無限個(gè)級(jí)數(shù)。2. taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有從一階到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0時(shí)，趨向無窮的冪級(jí)數(shù)為：taylor(f,x,n,x0) %求泰勒求泰勒級(jí)數(shù)以符號(hào)變量級(jí)數(shù)以符號(hào)變量x在在x0點(diǎn)展開點(diǎn)展開n項(xiàng)項(xiàng)說明：f為符號(hào)表達(dá)式；x為符號(hào)變量，可省

5、略，省略時(shí)使用默認(rèn)自由變量；n是指f進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開的項(xiàng)數(shù)，可省略，n省略則默認(rèn)展開前5項(xiàng)；x0是泰勒級(jí)數(shù)的展開點(diǎn)?！纠?_7】使用泰勒級(jí)數(shù)在0.5展開y=ln(x)的前三項(xiàng)和五項(xiàng)級(jí)數(shù)，并顯示其波形曲線。 syms x f1 f1=log(x); y1=taylor(f1,x,3,0.5)%計(jì)算x=0.5處的泰勒級(jí)數(shù)前三項(xiàng)展開和y21 =2*x - log(2) - 2*(x - 1/2)2 - 1 y2=taylor(f1,0.5)%計(jì)算x=0.5處的泰勒級(jí)數(shù)前五項(xiàng)展開和y22 =2*x - log(2) - 2*(x - 1/2)2 + (8*(x - 1/2)3)/3 - 4*(x -

6、 1/2)4 + (32*(x - 1/2)5)/5 - 1 taylortool%打開泰勒級(jí)數(shù)窗口2.1.4 解方程和微分方程2. 解解微分方程微分方程（1）dsolve函數(shù)MATLAB提供dsolve函數(shù)來求常微分方程的符號(hào)解，命令格式如下：dsolve(eqn,cond,v) %求解微分方程dsolve(eqn1,eqn2,cond1,cond2,v1,v2,) %求解微分方程組說明：eqn和eqn1,eqn2,是符號(hào)常微分方程，方程組最多可允許12個(gè)方程，方程中D表示微分，則D2、D3分別表示二階、三階微分，y的一階導(dǎo)數(shù)dy/dx或dy/dt表示為Dy；cond是初始條件，可省略，應(yīng)寫

7、成y(a)=b,Dy(c)=d的格式，當(dāng)初始條件少于微分方程數(shù)時(shí)，在所得解中將出現(xiàn)任意常數(shù)符C1，C2，解中任意常數(shù)符的數(shù)目等于所缺少的初始條件數(shù)，是微分方程的通解；v1,v2,是符號(hào)變量，表示微分自變量，可省略，如果省略則默認(rèn)為符號(hào)變量t。【例2_9】求微分方程dy/dt=cos(t)-ycos(t)當(dāng)y(0)=1時(shí)的特解。 syms t y y=dsolve(Dy=cos(t)-y*cos(t),y(0)=1)y =1MATLAB為解常微分方程提供了7種數(shù)值求解的方法，包括ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t和ode23tb 函數(shù)，各函數(shù)的命令格式

8、如下：t,y=ode45(fun,ts,y0,options)%解常微分方程【例例2_10】求微分方程的數(shù)值解dxdt=0.5(x-x2)，使用dsolve函數(shù)和ode45函數(shù)分別求解，初始條件x(0)=0.05，并繪制輸出波形如圖2_5所示。 clear fun=inline(0.5*(x-x2),t,x);%創(chuàng)建inline對(duì)象 t,x=ode45(fun,-1 6,0.05); plot(t,x) syms x1 t x1=dsolve(Dx1=0.5*(x1-x12),x1(0)=0.05)x1 =1/(exp(log(19) - t/2) + 1) figure(2) ezplot(

9、x1) 2.1.5函數(shù)1. 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)（1）反函數(shù)函數(shù)f(x)存在一個(gè)反函數(shù)g(.)，g(f(x)=x，則g和f互為反函數(shù)。g=finverse(f,v) %對(duì)對(duì)f(v)按指定自變量按指定自變量v求求反函數(shù)反函數(shù)（2）復(fù)合函數(shù)MATLAB提供了compose函數(shù)可以求出f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(y)。其命令的語法格式如下：compose(f,g,x,y,z)%計(jì)算計(jì)算f和和g的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)說明：x、y、z都可以省略，都省略時(shí)則計(jì)算出的復(fù)合函數(shù)為f(g(y)；當(dāng)x和y省略時(shí)，計(jì)算出f(g(z)；都不省略時(shí)以x為自由符號(hào)變量計(jì)算出f(g(z)，并將z替代符號(hào)變

10、量y。2. 函數(shù)函數(shù)的最小值的最小值（1）fminbnd函數(shù)fminbnd函數(shù)用來計(jì)算單變量非線性函數(shù)的最小值。其命令的語法格式如下：x,y=fminbnd(h_fun,x1,x2,options)x,y=fminbnd(funname,x1,x2,options)【例【例2_13】用fminbnd求解函數(shù)-x(1-x)+10的極小值，函數(shù)曲線如圖2_7所示。 syms x y h=inline(-x*(1-x)+10);%inline產(chǎn)生函數(shù) x,y=fminbnd(h,-6,6)%求解極小值x = 0.5000y = 9.7500 ezplot(h) text(x,y,MIN) （2）fm

11、insearch函數(shù)fminsearch函數(shù)是求多變量無束縛非線性最小值，是采用Nelder-Mead單純形算法求解多變量函數(shù)的最小值。其命令的語法格式如下：x=fminsearch(h_fun,x0)x=fminsearch(funname,x0)說明：x0是最小值點(diǎn)的初始猜測(cè)值?！纠纠?_14】求著名的Banana測(cè)試函數(shù)f(x,y)=100(y-x2)2+(1-x)2的最小值，它的理論最小值是x=1，y=1。該測(cè)試函數(shù)有一片淺谷，很多算法都難以逾越。 fn=inline(100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2 ,x) %用inline產(chǎn)生內(nèi)聯(lián)函數(shù)fn = Inline f

12、unction: fn(x) = 100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2 y=fminsearch(fn,0.5,-1) %從(0.5,-1)為初始值開始搜索求最小值y =1.0 1.00002.2 MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用在線性代數(shù)中的應(yīng)用2.2.1行列式行列式1. 計(jì)算計(jì)算特征值和特征向量特征值和特征向量在MATLAB中，eig函數(shù)求解特征值和特征向量。2. 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性定理：向量組a1，a2，a3，am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=（a1，a2，a3，am）的秩小于向量個(gè)數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是秩=m。當(dāng)矩陣的秩等于矩陣

13、的邊長，則線性無關(guān)。行列式的值det(x)也可以判斷線性相關(guān)，當(dāng)det(x)=0則線性相關(guān)。3. 矩陣矩陣翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)函數(shù)名功能例子輸入結(jié)果flipud(x)使x沿水平軸上下翻轉(zhuǎn)flipud(a)4 5 61 2 3fliplr(x)使x沿垂直軸左右翻轉(zhuǎn)fliplr(a)3 2 16 5 4flipdim(x,dim)使x沿特定軸翻轉(zhuǎn)dim=1，按行維翻轉(zhuǎn)dim=2，按列維翻轉(zhuǎn)flipdim(a,1)4 5 61 2 3rot90(x,k)使x逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)k*900默認(rèn)k取1rot90(a)3 62 51 42.2.2正交性正交性【例例2_18】把向量組（a1,a2,a3）=規(guī)范正交化。 A=1 1

14、 1;1 2 4;1 3 9; q,r=qr(A)q = -0.5774 0.7071 0.4082 -0.5774 0.0000 -0.8165 -0.5774 -0.7071 0.4082r = -1.7321 -3.4641 -8.0829 0 -1.4142 -5.6569 0 0 0.81652. 正交分解正交分解在MATLAB中，利用qr函數(shù)對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解。其函數(shù)的語法格式如下：q,r=qr(x)%生成一個(gè)生成一個(gè)上三角矩陣上三角矩陣r和正交矩陣和正交矩陣q說明：矩陣q的列向量組就是所求的規(guī)范正交化向量組。mn矩陣x分解為一個(gè)正交方陣q和一個(gè)與x同階的上三角矩陣r的乘積。方陣q

15、的邊長為矩陣x的n和m中較小者，且其行列式的值為1。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R(Qb)。9314211112.2.3向量空間向量空間的基定義是：一個(gè)向量空間 V 最大的線性獨(dú)立子集，稱為這個(gè)空間的基。向量空間的所有基擁有相同基數(shù)，稱為該空間的維度。2.3 MATLAB在積分變換中的應(yīng)用2.3.1 Fourier變換fourier和ifourier函數(shù)的命令格式如下：Ffourier(f,t ,w) %求以求以t為符號(hào)變量為符號(hào)變量f的的fourier變換變換Ff=ifourier (F,w,t) %求以求以w為符號(hào)變量的為符號(hào)變量的F的的fourier反變反變換換f2.3.2

16、 Laplace變換變換laplace和ilaplace函數(shù)的命令格式如下：F=laplace(f,t,s) %求以求以t為變量為變量f的的Laplace變換變換Ffilaplace(F,s,t)%求以求以s為變量的為變量的F的的Laplace反變換反變換f說明：f是符號(hào)表達(dá)式；t是符號(hào)變量，可省略，當(dāng)t省略默認(rèn)自由變量為t；s是符號(hào)變量，可省略，省略時(shí)為s?！纠?_24】根據(jù)圖形計(jì)算函數(shù)的laplace變換，圖中的波形表示為：f(t)=u(t)-(t-)*u(t-) ，則拉氏變換如下： syms A t tou=sym(tou,positive); %定義tou為正實(shí)型符號(hào)變量 f2=A*

17、heaviside(t)-(t-tou)*heaviside(t-tou); F2=laplace(f2)F2 =A/s-exp(-s*tou)/s22.3.3 Z變換使用ztrans 和iztrans函數(shù)計(jì)算Z變換和Z反變換的命令格式如下：F = ztrans (f,n, z)%求以求以n為變量的為變量的f的的Z變換變換Ffiztrans(F,z,n) %求以求以z為變量的為變量的F的的z反變換反變換f說明：f是離散信號(hào)的符號(hào)表達(dá)式；n是符號(hào)變量，可省略，省略時(shí)默認(rèn)符號(hào)變量為n；z表示替換符號(hào)變量，可省略，省略時(shí)默認(rèn)符號(hào)變量為z。【例例2_25】使用ztrans函數(shù)對(duì)單位階躍函數(shù)和t求Z變換

18、。 syms k n z t zf1=ztrans(heaviside(t),n,z)%對(duì)單位階躍函數(shù)求Z變換zf1 =heaviside(t)*z/(z-1)f2=n;zf2=ztrans(f2)%對(duì)t求Z變換zf2 =1/(z-1)2*z程序分析：Z變換是對(duì)于離散信號(hào)的，因此變換前的函數(shù)是以n為變量。2.4 MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的使用2.4.1復(fù)數(shù)兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積可以表示為模相乘而相角相加，復(fù)數(shù)的冪表示為模的冪和相角的倍數(shù)，復(fù)數(shù)的方根表示為模相同，在圓周上正n變形的n個(gè)頂點(diǎn)?！纠?_27】計(jì)算Z=41+i的方根，并繪制出向量圖。 Z=(1+i)(1/4) r=abs(Z) for n=

19、0:(4-1) theta=angle(Z)+(2*n*pi)/4; x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); compass(x,y) hold onendZ = 1.0696 + 0.2127ir = 1.09052.4.2 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)【例例2_28】計(jì)算Cz2dz，其中C為半圓周，起點(diǎn)為-3i，終點(diǎn)為3i，如圖2_11所示。 syms z f=z2; g=int(f,-3i,3i)g =(-18)*i2.4.3 留數(shù)留數(shù)1. 留數(shù)留數(shù)留數(shù)的基本定理：定理一：如果定理一：如果z0為為 f(z)的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn), 那么那么定理二：如果z0為 f(z)的m級(jí)極點(diǎn)

20、, 那么： MATLAB中計(jì)算留數(shù)使用residue函數(shù)，其命令的語法格式如下：r, p = residue (a,b) %計(jì)算留數(shù)（部分分計(jì)算留數(shù)（部分分式法）式法）)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz)()(lim),(Res000zfzzzzfzz2.5 多項(xiàng)式多項(xiàng)式運(yùn)算運(yùn)算一個(gè)多項(xiàng)式按降冪排列為：p(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0在MATLAB中用行向量來表示多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，使用長度為n+1的行向量按降冪排列，用0表示多項(xiàng)式中某次冪的缺項(xiàng)，則表示為：p=an an-1 a1 a0例如，p(x)=x3-4x2+3x+1可表示為p

21、=1 -4 3 1；p(x)=x3+5x2+2x可表示為p=1 5 2 0。 2.5.1 多項(xiàng)式的算術(shù)運(yùn)算1. 多項(xiàng)式多項(xiàng)式與符號(hào)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換與符號(hào)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換poly2sym是將行向量轉(zhuǎn)換為符號(hào)表達(dá)式，相反則使用sym2poly函數(shù)。2. 多項(xiàng)式多項(xiàng)式的乘法和除法的乘法和除法多項(xiàng)式的乘法和除法運(yùn)算分別使用函數(shù)conv和deconv來實(shí)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)也可以對(duì)應(yīng)于卷積（convpolytion）和解卷（deconvpolytion）運(yùn)算。乘除法的命令格式如下：p=conv(pl,p2) %計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式p1和和p2的乘積的乘積q,r=deconv(pl,p2) %計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式p1與

22、與p2的商的商說明：除法不一定會(huì)除盡，多項(xiàng)式p1被p2除的商為多項(xiàng)式q，而余子式是r。3. 部分分式展開部分分式展開將由分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式構(gòu)成的表達(dá)式進(jìn)行部分分式展開，當(dāng)分母沒有重根時(shí)：r,p,k=residue(B, A)%將分母多項(xiàng)式將分母多項(xiàng)式A和分子多項(xiàng)和分子多項(xiàng)式式B進(jìn)行部分分式展開進(jìn)行部分分式展開B, A=residue(r,p,k)k(s)npsnrpsrpsrA(s)B(s)2211ssss(s)G6116101234ssssssss6667. 1152536667. 16116s10)(G234程序分析：部分分式展開的表達(dá)式為：?！纠?_33】將表達(dá)式G1進(jìn)行部分分式展

23、開，G1和G2表達(dá)式如下：。 a1=1 -6 11 -6 0; b1=10; r1,p1,k1=residue(b1,a1)%將G部分分式展開r1 = 1.6667 -5.0000 5.0000 -1.6667p1 = 3.0000 2.0000 1.0000 0k1 = 4. 多項(xiàng)式的微積分多項(xiàng)式的微積分在MATLAB中可以使用polyder函數(shù)來計(jì)算多項(xiàng)式的微分，polyder函數(shù)可以計(jì)算單個(gè)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)以及兩個(gè)多項(xiàng)式乘積和商的導(dǎo)數(shù)。語法格式如下：polyder(p)%計(jì)算計(jì)算p的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)polyder(a,b) %計(jì)算計(jì)算a和和b乘積的導(dǎo)數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)q,d= polyder(b,a)

24、%計(jì)算計(jì)算a和和b商的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù)MATLAB沒有專門的多項(xiàng)式積分函數(shù)，但可以通過以下的公式計(jì)算完成積分：p./(length(p):-1:1),k %計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式p的積分的積分5. 多項(xiàng)式求根和求值多項(xiàng)式求根和求值使用roots函數(shù)來計(jì)算多項(xiàng)式的根，多項(xiàng)式的根以列向量的形式表示。函數(shù)polyval和polyvalm可以用來計(jì)算多項(xiàng)式在給定變量時(shí)的值。其語法格式如下：polyval(p,x)%得出變量得出變量x對(duì)對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式值應(yīng)多項(xiàng)式值polyvalm(p,x)%得出矩陣得出矩陣x對(duì)對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式值應(yīng)多項(xiàng)式值說明：polyvalm要求輸入的矩陣是行列相等的方陣，以矩陣為整體作為自變量?！纠?/p>

25、2_35】計(jì)算多項(xiàng)式p (x)=5x4+4x3+3x2+2x+1根，計(jì)算當(dāng)x為0到10時(shí)p的值，并繪制出波形圖。 p=5 4 3 2 1; x=roots(p) %求多項(xiàng)式的根x = 0.1378 + 0.6782i 0.1378 - 0.6782i -0.5378 + 0.3583i -0.5378 - 0.3583i t=0:0.1:10; y=polyval(p,t); plot(t,y)2.5.3 多項(xiàng)式的擬合與插值1. 多項(xiàng)式的擬合多項(xiàng)式的擬合（1）擬合函數(shù)多項(xiàng)式的擬合可以使用polyfit函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，擬合的準(zhǔn)則是最小二乘法，即找出使最小的f(x)。語法格式如下：p=polyfit(x,y,n)%由由x和和y得出多項(xiàng)式得出多項(xiàng)式p21niiiy)f(x【例例2_36】使用多項(xiàng)式p (x)=5x4+4x3+3x2+2x+1，根據(jù)擬合的方法對(duì)曲線的數(shù)據(jù)進(jìn)行二階、三階和四階擬合，并繪制二階擬合和四階擬合的曲線進(jìn)行對(duì)比。 x=0:0.5:20; p=5 4 3 2 1; y=polyval(p,x) p2=polyfit(x,y,2)%2階擬合p2 = 1.0e+004 * 0.3572 -3.7338 6.5791 p3=polyfit(x,y,3)%3階擬合p3 = 1.0e+004