教師版南莫中學(xué)高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)策略專題分類討論 (2)

1、第3講分類討論思想1 分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度2 分類討論的常見類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)

2、運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法(6)由實(shí)際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用3 分類討論的原則(1)不重不漏(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明(3)能不分類的要盡量避

3、免或盡量推遲，決不無原則地討論4 解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理的分類(3)逐類討論：即對(duì)各類問題詳細(xì)討論，逐步解決(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納.類型一由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論例1(1)若函數(shù)f(x)ax(a>0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.(2)已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_答案(1)(2)解析(1)討論字母的取值，從而確定函數(shù)的最大值與最小值若a>1，有a24，a1m，此時(shí)a2，m，此時(shí)g(x

4、)為減函數(shù)，不合題意若0<a<1，有a14，a2m，故a，m，檢驗(yàn)知符合題意(2)當(dāng)a>0時(shí)，1a<1,1a>1.這時(shí)f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合題意，舍去當(dāng)a<0時(shí)，1a>1,1a<1，這時(shí)f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a.由f(1a)f(1a)得1a23a，解得a.綜上可知，a的值為. 應(yīng)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)往往對(duì)底數(shù)是否大于1進(jìn)行討論，這是由它的性質(zhì)決定的處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間段，再選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則，離開定義

5、域討論問題是產(chǎn)生錯(cuò)誤的重要原因之一 已知圓的方程x2y21，則過點(diǎn)P(1,2)的圓的切線方程為_答案x1或3x4y50解析當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x1，也是切線，當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為y2k(x1)，即kxyk20.圓心(0,0)到直線的距離d1，解得k.直線方程為3x4y50.切線方程為x1或3x4y50.類型二由元素的位置、圖形的形狀變化引起的分類討論例2已知mR，求函數(shù)f(x)(43m)x22xm在區(qū)間0,1上的最大值解當(dāng)43m0，即m時(shí)，函數(shù)y2x，它在0,1上是減函數(shù)，所以ymaxf(0).當(dāng)43m0，即m時(shí)，y是二次函數(shù)當(dāng)43m>0，即m<時(shí)，二次函數(shù)y的圖象開口向上，對(duì)

6、稱軸方程x>0，它在0,1上的最大值只能在區(qū)間端點(diǎn)取得(由于此處不涉及最小值，故不需討論區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系)f(0)m，f(1)22m，當(dāng)m22m，又m<，即m<時(shí)，ymaxm.當(dāng)m<22m，又m<，即m<時(shí)，ymax2(1m)當(dāng)43m<0，即m>時(shí)，二次函數(shù)y的圖象開口向下，又它的對(duì)稱軸方程x<0，所以函數(shù)y在0,1上是減函數(shù)，于是ymaxf(0)m.由、可知，這個(gè)函數(shù)的最大值為ymax 求解有關(guān)幾何問題中，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對(duì)稱軸位

7、置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化 設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且PF1>PF2，則的值為_答案2或解析若PF2F190°，則PFPFF1F，PF1PF26，F(xiàn)1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190°，則F1FPFPFPF(6PF1)2，解得PF14，PF22，2.綜上所述，2或.類型三由參數(shù)變化引起的分類討論例3已知函數(shù)f(x)ln xax(0<a<1)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解f(x

8、)a，x(0，)由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.(1)若0<a<，則x2>x1.當(dāng)0<x<1或者x>1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)>0.故此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)若a，則x1x2，此時(shí)f(x)0恒成立，且僅在x處等于零，故此時(shí)函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；(3)若<a<1，則0<x2<x1，當(dāng)0<x<1或者x>1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)>0.故此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間

9、是，(1，)，單調(diào)遞增區(qū)間是. 含有參數(shù)的問題，主要包括：(1)含有參數(shù)的不等式的求解；(2)含有參數(shù)的方程的求解；(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題；(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等求解時(shí)，要結(jié)合參數(shù)的意義，對(duì)參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進(jìn)行分類討論，分類要合理，要不重不漏，要符合最簡原則 設(shè)a>0，函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲線yf(x)在(2，f(2)處與直線yx1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值解(1)由已知x>0，f(x)x(a1)，因?yàn)榍€yf(x)在(2，f(2)處切線的斜率為1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0

10、，此時(shí)f(2)220，故曲線f(x)在(2，f(2)處的切線方程為xy20.(2)f(x)x(a1).當(dāng)0<a<1時(shí)，若x(0，a)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(a,1)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(1，)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)xa是f(x)的極大值點(diǎn)，x1是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是f(a)a2aln a，極小值是f(1)；當(dāng)a1時(shí)，若x(0,1)，f(x)>0，若x1，f(x)0，若x(1，)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn)，也無極值當(dāng)a>

11、1時(shí)，若x(0,1)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(1，a)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(a，)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)x1是f(x)的極大值點(diǎn)，xa是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是f(1)，極小值是f(a)a2aln a；綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的極大值是a2aln a，極小值是；當(dāng)a1時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的極大值是，極小值是a2aln a.分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)逐類進(jìn)行討論歸納綜

12、合結(jié)論檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集)做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論常見的分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集的討論(2)函數(shù)：對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a>1和0<a<1的討論；函數(shù)yax2bxc有時(shí)候分a0和a0的討論；對(duì)稱軸位置的討論；判別式的討論(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n>1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論(5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論(6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論

13、；平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論(7)(理排列、組合、)概率中的分類計(jì)數(shù)問題(8)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等.1 正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為_答案4或解析分側(cè)面矩形長、寬分別為6和4或4和6兩種情況2 等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)之和S321，則公比q的值是_答案1或解析當(dāng)公比q1時(shí)，a1a2a37，S33a121，符合要求當(dāng)q1時(shí)，a1q27，21，解之得，q.3 若x>0且x1，則函數(shù)ylg xlogx10的值域?yàn)開答案(，22，)解析當(dāng)x>1時(shí)，ylg

14、 xlogx10lg x22；當(dāng)0<x<1時(shí)，ylg xlogx1022.所以函數(shù)的值域?yàn)?，22，)4 過雙曲線2x2y22的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若AB4，則這樣的直線有_條答案3解析由2x2y22，得x21.當(dāng)l無斜率時(shí)，AB4，符合要求當(dāng)l有斜率時(shí)，若A、B兩點(diǎn)都在右支上，則AB>4不符合要求A、B在左、右兩支上，有兩條所以共3條5函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案0,4解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，所以mx2mx10對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)m0時(shí)，原不等式即10對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)m0時(shí)，則需，解得0<m4.綜上，實(shí)

15、數(shù)m的取值范圍是0,46 已知線段AB和平面，A、B兩點(diǎn)到平面的距離分別為1和3，則線段AB的中點(diǎn)到平面的距離為_答案1或2解析此題分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況，答案為1或2.7 (2013·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為_答案，1解析PA2(xa)22x22ax2a2a222a2a222a22由x>0，得x2，由已知條件或解得a，或a1.8 已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1 (q0，nN*)，