考研數三真題及解析

1、2001年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題一、填空題(1) 設生產函數為 Q AL K , 其中 Q是產出量 , L 是勞動投入量 , K 是資本投入量 , 而A, ,均為大于零的參數 , 則當 Q =1時 K關于 L的彈性為(2) 某公司每年的工資總額比上一年增加 20的基礎上再追加 2 百萬 . 若以 Wt 表示第 t 年的工資總額 ( 單位：百萬元 ) ，則 Wt 滿足的差分方程是 _k111(3)設矩陣1k11A則k=A1k1, 且秩 ( )=3,1111k(4) 設隨機變量 X, Y 的數學期望都是 2, 方差分別為 1和 4, 而相關系數為 0.5. 則根據切比雪夫不等式P X

2、-Y6.(5)設總體 X服從正態(tài)分布N (0,0.22),而 X1, X 2,的簡單隨機樣本，則隨X15 是來自總體 XX12X102機變量 Y2X112X152 服從 _分布，參數為 _二、選擇題(1)設函數 f( x) 的導數在 x=a處連續(xù) , 又 lim f'( x)1,則( )xa xa(A) x = a 是f ( x) 的極小值點 .(B) x = a 是f ( x) 的極大值點 .(C) ( a, f ( a) 是曲線 y= f ( x) 的拐點 .(D) x =a不是 f( x) 的極值點 , ( a,f ( a) 也不是曲線 y=f ( x) 的拐點 .x1 (x2

3、1),0x1(2)設函數其中2g x在區(qū)間(0,2)內( )g (x)f (u)du,f (x)1 (x 1),1,則()0x23(A) 無界 (B) 遞減 (C) 不連續(xù) (D) 連續(xù)a11a12a13a14a14a13a12a110001(3) 設Aa21a22a23a24, Ba24a23a22a21, P10100,a31a32a33a34a34a33a32a310010a41a42a43a44a44a43a42a411000100000101等于( )P210,其中A 可逆, 則B000001(A)A 1PP12(B) P1A 1P2 (C) P1 P2 A 1(D) P2 A 1P

4、1 .(4) 設A 是 n 階矩陣， 是 n維列向量. 若秩A秩 (A) ，則線性方程組 ( )T0(A) AX = 必有無窮多解( B) AX = 必有惟一解 .(C )AX( D )AX必有非零解 .T00 僅有零解T00yy(5) 將一枚硬幣重復擲 n 次 , 以 X和 Y 分別表示正面向上和反面向上的次數 , 則X和Y的相關系數等于( )(A) -1(B) 0(C)1(D) 12三 、( 本題滿分 5分)設u= f ( x, y, z) 有連續(xù)的一階偏導數 , 又函數 y=y( x) 及 z=z( x) 分別由下列兩式確定 :exyxxz sin tduxy 2 和 e0tdt , 求

5、dx四 、( 本題滿分 6分)已知 fx在(?,+內可導, 且 lim'( ),xc x求 c的值.( )lim f (x)f (x1),xf xe lim(xxcx五 、( 本題滿分 6分)求二重積分1 (x2y2 )的值 ,其中 D 是由直線 y xy= ?1及x圍成的平面區(qū)域2y1 xe= ,=1dxdyD六、 ( 本題滿分 7分)已知拋物線 ypx2qx ( 其中 p<0, q>0) 在第一象限與直線 x+y=5相切，且此拋物線與 x軸所圍成的平面圖形的面積為 S.求出此最大值(1) 問p和q為何值時， 達到最大?(2).S七、 ( 本題滿分 6分)設f ( x)

6、在區(qū)間 0,11上連續(xù) , 在(0,1)內可導 , 且滿足 f (1)k 3 xe1x f ( x) dx,( k 1).0證明：存在 (0,1),使得 f '()2(11 ) f ().八、 ( 本題滿分 7分)已知 f( x) 滿足 fn' ( x)fn (x) xn 1ex (為正整數 ) 且 f(1)e , 求函數項級數nnnni1fn ( x) 之和 .九、 ( 本題滿分 9分)11a1AX 有解但不唯一設矩陣 A1a1,1. 已知線性方程組,試求:=a112(1) a的值 ;(2) 正交矩陣 Q,使 QT AQ 為對角矩陣 .十、 ( 本題滿分 8 分)設A為n階實

7、對稱矩陣，秩 (A)=n ， Aij 是 Aaijn n中元素 aij 的代數余子式 ( i , jnnAij=1,2, , n) ，二次型 f ( x1 , x2, xn )xi x j .i 1j 1A(1) 記 A ( x1, x2 ,xn ), 把 f ( x1 , x2 ,nnAijxi xj . 寫成矩陣形式，并證明二次型xn )Ai 1j 1f ( X ) 的矩陣為 A 1 ;(2)二次型 g ( X )X T AX 與 f ( X ) 的規(guī)范形是否相同？說明理由.十一、 ( 本題滿分 8 分)生產線生產的產品成箱包裝 , 每箱的重量是隨機的 , 假設每箱平均重 50 千克 ,

8、標準差為 5 千克 . 若用最大載重量為 5 噸的汽車承運 , 試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱, 才能保障不超載的概率大于 0.977. ( (2)=0.977, 其中 ( x) 是標準正態(tài)分布函數 ). 十二、 ( 本題滿分 8 分)設隨機變量 X 和 Y 對聯和分布是正方形 G= ( x, y) |1 x3,1 y3 上的均勻分布，試求隨機變量 U= X?Y的概率密度 p(u).2001 年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題解析一、填空題(1) 【答案】【使用概念】設 y fx 在 x 處可導，且 f x0 ，則函數 y 關于 x 的彈性在 x 處的值為1【詳解】由 Q A

9、L K，當 Q 1時，即 AL K1，有 KA L ,于是 K 關于 L的彈性為：(2) 【答案】 1.2Wt 1 2【詳解】 Wt 表示第 t 年的工資總額，則 Wt 1 表示第 t1 年的工資總額，再根據每年的工資總額比上一年增加 20的基礎上再追加 2百萬，所以由差分的定義可得Wt 滿足的差分方程是：(3) 【答案】 -3 【詳解】方法 1：由初等變換 ( 既可作初等行變換，也可作初等列變換 ). 不改變矩陣的秩，故對 A 進行初等變換可見只有當 k =?3時， r ( A)=3. 故k =?3.方法 2：由題設 r ( A)=3 ，故應有四階矩陣行列式A0 . 由解得 k =1或 k

10、= ?3.當k =1時，可知，此時 r ( A)=1 ，不符合題意，因此一定有k =?3.(4) 【答案】 1 12【所用概念性質】切比雪夫不等式為：PX E(X)D(X )2期望和方差的性質： E( X Y )EXEY ； D(X Y)DX 2cov( X ,Y ) DY【詳解】 把 X Y 看成是一個新的隨機變量，則需要求出其期望和方差 .故E(XY)EXEY220又相關系數的定義：cov( X ,Y )(X,Y)DYDX則cov( X ,Y )( X ,Y ) DX DY(0.5) 141所以由切比雪夫不等式：(5) 【答案】 F ； (10,5)X【所用概念】 1. F 分布的定義：

11、Fn1其中X2 (n1 )Y 2 (n2 )Yn2n2.2 分布的定義：若 Z1, , Zn 相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布N (0,1) ，則 Zi2 2 (n)i 13. 正態(tài)分布標準化的定義：若 Z N (u, 2 ) ，則 Z u N (0,1)【詳解】因為 X iN (0, 22 )i 1,2, ,15 ，將其標準化有 Xi 0XiN (0,1) ，從而根據卡方22分布的定義由樣本的獨立性可知，故，根據 F 分布的定義故 Y 服從第一個自由度為二、選擇題(1) 【答案】 B【詳解】2222X1X10與 X11X15相互獨立 .222210，第二個自由度為 5的 F 分布 .方法 1：

12、由 lim f'( x)1, 知x a xa又函數f ( x) 的導數在 xa處連續(xù)，根據函數在某點連續(xù)的定義，左極限等于右極限等于函數在這一點的值，所以f ( a)0 ，于是有即 f ( a)0 ， f (a)10，根據判定極值的第二充分條件：設函數f (x) 在 x0 處具有二階導數且 f ( x0 )0 ， f( x0 ) 0 ，當 f ( x0 )0 時，函數 f (x) 在 x0 處取得極大值 . 知x a 是 f ( x) 的極大值點，因此，正確選項為 (B).方法 2：由 limf '( x)1, 及極限保號性定理：如果lim fxA，且 A0(或A 0)，那么x

13、 ax ax x0存在常數0 ，使得當 0x x0時，有 fx0 ( 或 fx0 ) ，知存在 xa 的去心鄰域，在此去心鄰域內f'( x)xa 時 f (x)0；當x0 . 于是推知，在此去心鄰域內當ax a 時 f( x) 0. 又由條件知 f ( x) 在 xa 處連續(xù)，由判定極值的第一充分條件： 設函數f (x) 在 x0 處連續(xù)，且在 x0 的某去心領域內可導，若 xx0, x0時， f ( x)0 ，而x x0 , x0時， f (x)0 ，則 f (x) 在 x0 處取得極大值，知f (a) 為 f ( x) 的極大值 . 因此，選 (B).(2) 【答案】 (D)【詳解

14、】應先寫出 g( x) 的表達式 .當 0x 1時， f ( x)1 (x21) ，有2當 1x 2 時，f ( x)11) ，有( x31 x31 x,0x1即g ( x)6221 x 1,1x2236因為lim g( x)lim1 x31 xx 1x162且g (1)21112 ，23632 ， lim g( x)lim21x 122 ，3x 1x 1363所以由函數連續(xù)的定義，知g (x) 在點 x1 處連續(xù)，所以 g (x) 在區(qū)間 0,2 內連續(xù)，選 (D).同樣，可以驗證 (A) 、(B) 不正確， 0x 1時， g (x)1 x31 x1 x210，單調增，6222所以 (B)

15、遞減錯；同理可以驗證當 1x2121，單調增，2 時， g ( x)x1x 1 0363所以 g 0 g xg 2 ，即 0 gx5 與選項 (A) 無界矛盾 .6(3) 【答案】 (C)【詳解】由所給矩陣A, B 觀察，將 A 的 2,3 列互換，再將 A 的 1,4 列互換，可得 B .根據初等矩陣變換的性質，知將 A 的 2,3列互換相當于在矩陣 A 的右側乘以 E23 ，將 A 的 1,4 列互換相當于在矩陣 A 的右側乘以 E14 ，即10000001AE23E14 B ，其中 E230010， E1401000100001000011000由題設條件知 P1 E14 , P2E23

16、 ，因此 BAP2P1 .由于對初等矩陣 Eij有， Eij1P 1P,P 1PEij ，故 11 22 .因此，由 BAP P ，及逆矩陣的運算規(guī)律，有21B 1AP2 P111P2 1A 1PP12A 1.P1(4) 【答案】(D )【詳解】由題設， A 是n 階矩陣， 是n維列向量，即TA是 n 1是一維行向量， 可知 T0階矩陣 . 顯然有秩A秩 ( A) n n 1, 即系數矩陣A非列滿秩，由齊次線性TT00方程組有非零解的充要條件： 系數矩陣非列或行滿秩， 可知齊次線性方程組AXT00y必有非零解 .(5) 【答案】 A【詳解】擲硬幣結果不是正面向上就是反面向上，所以XYn ，從而

17、 YnX，故DYD (nX )DX由方差的定義：DXEX2(EX )2 ， 所以n22nEXEX 2n22nEX(EX )2EX 2(EX )2DX)由協方差的性質： cov( X , c) 0 (c 為常數 ) ；cov( aX ,bY)ab cov( X , Y)cov( X1X2,Y)cov( X1 ,Y )cov( X 2 , Y) )所以cov( X ,Y )cov( X , nX ) cov( X , n) cov( X , X ) 0DXDX由相關系數的定義，得(X,Y)cov( X ,Y )DX1DX DYDX DX三【變限積分求導公式】 f ( x)g (t)dt xg f

18、( x) f ( x)a【詳解】 根據復合函數求導公式，有duff dyfdz .(*)dxxy dxzdx在 exyxy2兩邊分別對 x 求導，得即dyy .dxx在 exxz sin tdt 兩邊分別對 x求導，得0 texsin( xz) (1 dz),即 dz1ex (xz) .x zdxdxsin( xz)將其代入 (*) 式，得四 【詳解】因為 lim(11 )x ex xlim( xc) xlim( xc2c )x(把 x c 寫成 xc 2c )xxcxxclim( xc2cxc 2 cxx 寫成 x c2cx ) 2 c xc(把xxc2cx cxc2cx2cxclim(1)

19、 2c( 利用冪函數的性質 amn( am) n )xxcxc2cx2cxcln(1) 2 clim ex c(利用對數性質 eln f ( x)f ( x) )x2cx lnxc(12 c ) 2 cxcxc(利用對數性質 ln f ( x)g ( x)g( x)lnf (x) )lim ex2cx ln (12cx clim) 2 climf ( x)xx cxc(利用 yex 函數的連續(xù)性， lim ef ( x)eex)x2cx lim ln2cx clim(1) 2cxxc xxc( 當各部分極限均存在時，elim f ( x) g( x)lim f ( x) lim g( x) )

20、xxx2cx ln lim2cx clim(1) 2cxxcxxc( 利用 yln x 函數的連續(xù)性， limln f (x)lnlim f ( x) )exxe2c ln e(利用 lim(11 )xe )x xe2c ( ln e 1)又因為 f (x) 在,內可導，故在閉區(qū)間 x1, x 上連續(xù)，在開區(qū)間 ( x1, x) 內可導，那么又由拉格朗日中值定理，有左右兩邊同時求極限，于是lim f ( x)f ( x1) lim f '( )e，xx因為 x 1x ， x 趨于無窮大時，也趨向于無窮大由題意， lim( xc )xlimf( )f(x1),從而2 c1xxxee ，故

21、 cxc2五 【詳解】 積分區(qū)域如圖所示，可以寫成ydxdy11ydx1y(1y)dy2;其中，1dy13Dy于是六【詳解】 方法 1：依題意知，拋物線如圖所示，令 ypx 2qxx( px q) 0 ，求得它與 x 軸交點的橫坐標為：x1 0, x2q .p根據定積分的定義，面積 S 為qp x3q x2q31 xn 1 C )Sp px2 qx dxpq 2 ( 注： xn dx03206pn 1因直線 xy5與拋物線 ypx2qx 相切，故它們有唯一公共點 .由方程組求其公共解，消去 y ，得 px 2( q1)x 50 ，因為其公共解唯一，則該一元二次方程只有唯一解，故其判別式必為零，

22、即解得p1 (q 1)2 .20將 p 代入 S 中，得根據函數除法的求導公式，根據駐點的定義，令S (q)0 ，已知有 q0 ，得唯一駐點 q3.當 1q3 時， S (q)0 ； q3 時， S (q)0 .故根據極值判定的第一充分條件知，q 3 時， S(q) 取唯一極大值，即最大值 .從而最大值為 S225S(3).32方法 2：設拋物線 y px2qx 與直線 xy5 相切的切點坐標為 ( x0 , y0 ) ，切點既在拋物線上，也在直線上，于是滿足方程有y0px02qx0 和 x0 y0 5 .拋物線與直線在切點處的切線斜率是相等的，即一階導數值相等. 在 ypx2qx左右兩邊關于

23、 x 求導，得 y2 pxq ，在 x y 5 左右兩邊關于 x 求導，得 y1，把切點坐標 ( x0 , y0 ) 代入，得由 x0y05y05x0 ，將兩結果代入y0px02qx0 得整理得將 p 代入 S 中，得根據函數除法的求導公式，根據駐點 ( 即使得一階導數為零的點 ) 的定義，令 S (q) 0 ，已知有 q 0 ，得唯一駐點 q3 . 當 1q3 時，S ( q)0; q3 時，S (q)0; 故根據極值判定的第一充分條件知，q 3 時， S(q) 取唯一極大值，即最大值 .從而最大值為SS(3)225 .32七【詳解】將要證的等式中的換成x ，移項，并命問題轉化為證在區(qū)間(0

24、,1) 內( x)存在零點 .將看成一個微分方程，用分離變量法求解.由兩邊積分得df ( x)x 1 dx(1 1 )dxf ( x)xx利用 1 dxln x C 及 xndx1xn 1C ，得xn1lnf ( x)x ln x Clnf ( x)ln Cexf (x)Cex，1xx即xexf( )C ，命 F (x)xexf ( x) .由x及積分中值定理 ( 如果函數 f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b 上至少存在一個bf (x)dxf ()(ba)(ab) ) ，知至少存在一點(0, 1)0,1點 ，使得，使ak且F( )ef ( ) ， F (1)e 1 f

25、(1).把 f (1)e1f ( ) 代入，則那么 F (x) 在 ,1上連續(xù)，在 (,1) 內可導，由羅爾中值定理知，至少存在一點( ,1) 0,1，使得即f ( )(11 ) f ( ).八【詳解】由已知條件可見f n(x)fn (x)xn1ex ，這是以 f n ( x) 為未知函數的一階線性非齊次微分方程，其中 p( x)1,q(x)xn 1ex ，代入通解公式得其通解為由條件 f n (1)e ,又 f n (1)e 1C，得 C0 ， 故 fn ( x)xn ex,nnnxn , 則 an1 ，lim an 111記 S(x)lim n1 1，則其收斂半徑為 R1，收斂n 1 nn

26、nann1n區(qū)間為 (1,1) .當 x(1,1)時，根據冪級數的性質，可以逐項求導，S ( x)xnxnxn11，其中11x x2xnn 1 nn 1nn 11 x1 xf (x)dxf (x)C ，得xx故根據函數積分和求導的關系0S ( x)dxS(x) 0S( x)S(0)又由于 S(0)0n0020，所以n 1 n12S( x)S(0)x0x1dxln(1 x) ，S ( x)dx0 1x0即有xnx), x(1,1)ln(1n 1 n當 x1 時，(1)nln 2 . 級數在此點處收斂， 而右邊函數連續(xù)， 因此成立的范圍nn1可擴大到 x1 處，即于是f n ( x)ex ln(1

27、x), x 1,1)n 1九【詳解】 (1)線性方程組 AX有解但不唯一，即有無窮多解r ( A)r ( A)n3 ，將增廣矩陣作初等行變換，得因為方程組 AX有解但不唯一，所以r ( A)r ( A)3 ，故 a=?2.(2) 由 (1) ，有由故A的特征值為10, 23, 33 .當1 0時，于是得方程組(0 EA) x0的同解方程組為可見， r (0 EA)2 ，可知基礎解系的個數為 nr (0 EA)321 ，故有 1個自由未知量，選 x2 為自由未知量，取 x21，解得對應的特征向量為1(1,1,1)T .當 13 時，于是得方程組(3EA) x0 的同解方程組為可見， r (3EA

28、)2 ，可知基礎解系的個數為 nr (3EA)321，故有 1個自由未知量，選 x1 為自由未知量，取 x11，解得對應的特征向量為2(1,0,1)T .當 13 時，于是得方程組 ( 3E A)x0 的同解方程組為可見， r (3EA)2 ，可知基礎解系的個數為 nr ( 3EA)321，故有 1個自由未知量，選 x2 為自由未知量，取 x22 ，解得對應的特征向量為3(1,2,1)T .由于 A 是實對稱矩陣， 其不同特征值的特征向量相互正交， 故這三個不同特征值的特征向量相互正交，之需將 1, 2 , 3 單位化，其中， 112 12 123, 212( 1)22, 3( 1)222(

29、1)26令300則有QTAQ Q1AQ 030 .000十【詳解】 (1) 由題設條件，其中 ( ) 的理由： A 是可逆的實對稱矩陣，故( A1 )T(AT) 1A 1 ，因此由實對稱的定義知，A 1 也是實對稱矩陣，又由伴隨矩陣的性質A AAE，知AA A 1 ，因此 A 也是實對稱TA ，故( )成立.矩陣， A(2) 因為 A1TAA 1AT 1E A 1 ，所以由合同的定義知A與 A 1合同.由實對稱矩陣 A與 B 合同的充要條件：二次型xT Ax 與 xT Bx 有相同的正、負慣性指數 .可知， g ( X )X T AX 與 f ( X ) 有相同的正、負慣性指數，故它們有相同的規(guī)