數(shù)列通項(xiàng)公式求法大全(配練習(xí)及答案)

1、優(yōu)秀教案歡迎下載數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法ana1(n1)ddna1d( nN * )n 1a1n*ana1 qq (nN )二、累加法an 1anf ( n)例 1已知數(shù)列 an 滿足 an 1 an2n1， a11 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。a n2n例 2已 知 數(shù) 列 an 滿 足 an 1an2 3n1， a13 ， 求 數(shù) 列 an 的 通 項(xiàng) 公 式 。（ an 3n n 1. ）三、累乘法an 1f (n)an例 3已知數(shù)列 an 滿足 an 12( n1)5nan， a13，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。3 2n 1n (n1)（ an5 2n!. ）評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵

2、是把遞推關(guān)系an 12(n 1)5nan 轉(zhuǎn)化為 an 12(n 1)5n ，進(jìn)而求an出 anan 1a3a2 a1 ，即得數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。an1 an 2a2a1例 4 已知數(shù)列 an 滿足 a1 1， ana12a2 3a3(n 1)an 1(n2) ，求 an 的通項(xiàng)n!. ）公式。（ an2優(yōu)秀教案歡迎下載評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1( n1)an (n2) 轉(zhuǎn)化為an 1n1(n 2) ，an進(jìn)而求出anan 1a3 a2 ，從而可得當(dāng) n2時(shí)， an 的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 an 的an 1an 2a2通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法an 1pan qan 1pan

3、f nan2pan 1 qan（其中 p，q 均為常數(shù)）。例 5已 知 數(shù) 列 an 滿 足 an 12an3 5n ， a16 ， 求 數(shù) 列 an的通項(xiàng)公式。（ an2n15n ）評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an12an35n 轉(zhuǎn)化為 an 15n 12(an 5n ) ，從而可知數(shù)列 an 5n 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 an5n 的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。例 6已知數(shù)列 an 滿足 an 13an52n4， a11，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。（ an133n 152n2 ）評(píng) 注 ： 本 題 解 題 的 關(guān) 鍵 是 把 遞 推 關(guān) 系 式 an 13an52n

4、4 轉(zhuǎn) 化 為an 1 5 2n 123(an 5 2n2) ，從而可知數(shù)列 an 5 2n2 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 an 52n2 的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。例 7已知數(shù)列 n 滿足 an 12an 3n24n 5， a11，求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。a a （ an2n 43n2 10 n 18 ）評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 12an3n24n 5 轉(zhuǎn)化為an 13(n1)210(n 1) 18 2( an3n210 n18)，從而可知數(shù)列優(yōu)秀教案歡迎下載 an3n210n18 是等比數(shù)列， 進(jìn)而求出數(shù)列 an3n210n18 的通項(xiàng)公式， 最后再求出數(shù)列 an

5、 的通項(xiàng)公式。五、遞推公式為 Sn 與 an 的關(guān)系式 (或 Snf ( an ) )解法：這種類(lèi)型一般利用anS1(n1)SnSn 1( n2)例 8 已知數(shù)列an前 n 項(xiàng)和 Sn4an11 與 an 的關(guān)系；（ 2）求通項(xiàng)公2n 2 .（ 1）求 an式 an .六例 9 已知數(shù)列 an 滿足 an13an23n1， a13，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解： an 13an23n1兩邊除以3n1 ，得 an 1an21，3n 13n33n1an 1an21則 n 1n3n 1 ，故333ananan 1)an 1an 2)an 2an 3(a2a1a1n( n(n 2(n 2n 3 )21

6、 )333 an 1an 13333 3( 2 1n ) ( 2n11) (2n12 )(2 12)33333333332(n1)1111113(nnn 13n22 )33331n1因此an2(n1)3n (13)12n11，3n3133223n則 an2 n 3n1 3n1 .322評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an13an23n1 轉(zhuǎn)化為 an 1an21，3n 13n33n1進(jìn)而求出anan 1an 1an 2)(an 2an 3)(a2a1a1，即得數(shù)列an( nn1 ) (n1n2n2n 321 )33n33333333的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。優(yōu)秀教案歡迎下載

7、七、對(duì)數(shù)變換法（當(dāng)通項(xiàng)公式中含冪指數(shù)時(shí)適用）例 10已知數(shù)列 an 滿足 an 123na5n ， a17 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n 123nan5， a17 ，所以an0， an 10 。在an 123nan5 式兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an15lg ann lg3lg 2設(shè)x(n 1) y 5(lg axn y)11lg ann 1nnlg 3 lg 2 x n(1)yny將式代入11 式，得5 lg a5(lga xn，兩邊消去5 lg an 并整理，得 (lg3x)nxylg 25xn 5 y ，則lg3lg3x5xx，故4xylg 25ylg3lg 2y416lg31)

8、lg3lg 25(lg anlg3lg3lg 2) 12代入 11式，得 lg an 1( n164n16444由 lg alg31lg3lg 2lg 7lg31lg3lg 20及 12 式，141644164得 lg anlg3lg3 lg 20，4n164lg an 1lg3 (n 1)lg3lg 2則41645 ，lg3lg3lg 2lg an4n416所以數(shù)列 lg alg3 nlg3lg 2 是以 lg 7lg3lg3lg 2為首項(xiàng)，以5 為公比的等n41644164比數(shù)列，則 lg anlg3 nlg3lg 2(lg 7lg3lg3lg 2 )5n 1 ，因此41644164優(yōu)秀教

9、案歡迎下載lg an (lg 7lg 3lg 3 lg 2)5n 1lg 3 nlg 3lg 24164464111n11(lg 7lg 34lg 36lg 24 )5n1lg 34lg 316lg 24111n11lg(73431624 )5n1lg(3 431624 )111n11lg(73431624 )5n 1lg(3 43162 4 )lg(7lg(75 n 15n 1 n5n 1 15n 1 1343 162 4 )5 n 15n4n15n 1131624)75n 15n4n 15n 11則 an3 162 4。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式an 123nan5 轉(zhuǎn)

10、化為lg anlg3(n1)lg3lg 2lg3lg3lg 2) ，從而可知數(shù)列14165(lg ann16444lg anlg3nlg3lg 2 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 lg alg3 nlg3lg 2 的通項(xiàng)4164n4164公式，最后再求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。八、迭代法例 11 已知數(shù)列 an 滿足 an 1 an3( n 1)2 n，a15 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an 1an3( n1)2n，所以 aa3n 2n 1 a3( n 1) 2n 23n 2n 1nn1n 2an32 (2n 1) n 2( n 2) ( n 1) an3( n32) 2n 3 32 (

11、 n 1) n 2(n 2) (n 1)an33 (3n2)( n 1) n 2(n 3)(n 2)( n 1)a13n 1 2 3( n 2) (n 1) n 21 2( n 3) ( n 2) ( n 1)n1n ( n 1)2a13n! 2n 1n ( n1)2又 a1 5，所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an 53 n! 2。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式 an 1 an3( n 1)2 n優(yōu)秀教案歡迎下載兩邊取常用對(duì)數(shù)得 lg an 13(n1) 2nlg an ，即 lg an13(n 1)2n ，再由累乘法可推知lg anlg anlg an

12、1lg a3lg a2n ( n 1)3n 1n( n1)n 1n! 22n ! 2lg anlg a1 lg53，從而 an 52。lg an 1lg an 2lg a2lg a1九、數(shù)學(xué)歸納法例 12 已知數(shù)列 an 滿足 an 1an8(n 1)， a18，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。(2n1)2 (2 n 3) 29解：由 an 18(n1)及 a18an2 (2 n 3)2，得(2n 1)9a2a18(11)8822411)2 (213)2992525(2a3a28(21)24834821)2 (223)225254949(2a4a38(31)48848031)2 (233)24949

13、8181(2由此可猜測(cè) a(2n1)21 ，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。n(2n1)2（1）當(dāng) n1 時(shí)， a1(211)2 18 ，所以等式成立。(211)29（2）假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)等式成立，即 ak(2 k1)2 1，則當(dāng) nk 1 時(shí)，(2k1)2ak 18(k1)ak(2k 1)2 (2 k 3)2優(yōu)秀教案歡迎下載(2k1)218( k1)(2 k1)2(2k1)2 (2 k 3)2(2 k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2 (2k3)2(2k1)2 (2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2 (2k3)2(2k1)2 (2k3)2(2k1)2(2k1)2 (2k3)2(

14、2k3)21(2 k3)22( k1)1212( k 1)12由此可知，當(dāng) nk1時(shí)等式也成立。根據(jù)（ 1），（ 2）可知，等式對(duì)任何nN * 都成立。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n 項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。十、換元法例 13已知數(shù)列 an 滿足 an 11(14an 124an )， a11 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。16解：令 bn124an ，則 an1 (bn21)24故 an11(bn211) ，代入 an 11(14an1 24an ) 得24161211224 (bn 11)161 424(bn1)bn 即 4bn2 1 (bn 3)2因?yàn)?bn124an0 ，故 bn 11 24an 1 0則 2bn 1bn3 ，即 bn 113bn，22可化為 bn 131 (bn3) ，2優(yōu)秀教案歡迎下載所以 b