人教版高中數(shù)學(xué)必修五《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》教案

1、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教案一、教學(xué)目的1、懂得等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法； 把握等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡潔問題2、通過公式的推導(dǎo)過程，提高同學(xué)的建模意識及探究問題、分析與解決問題的才能，體會(huì)公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類爭論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)3、通過經(jīng)受對公式的探究，激發(fā)同學(xué)的求知欲，勉勵(lì)同學(xué)大膽嘗試、勇于探究、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得勝利的體驗(yàn)，感受思維的奇特美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡潔應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；

2、教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的關(guān)鍵是通過情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)覺錯(cuò)位相減求和法；應(yīng)用公式的關(guān)鍵是如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列模型，運(yùn)用公式解 決問題；三、教具、學(xué)具預(yù)備多媒體課件；運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，增大教學(xué)容量和直觀性，提高教學(xué)效率和質(zhì)量；四、教學(xué)方法數(shù)學(xué)是一門培育和進(jìn)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓同學(xué)“知其然”，仍要“知其所以然”，為了表達(dá)以同學(xué)進(jìn)展為本，遵循同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，表達(dá)循序漸進(jìn)和啟示式教學(xué)原就，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：在老師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情形，通過開放式問題的設(shè)置來啟示同學(xué)進(jìn)行摸索，在摸索中體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受；

3、本節(jié)課將采納“多媒體優(yōu)化組合勉勵(lì)發(fā)覺”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)；該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過程中的各要素，如老師、同學(xué)、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，制造正確的教學(xué)氛圍；主要包括啟示式講解、互動(dòng)式爭論、爭論式探究、反饋式評判；五、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁” ；教是為了不教，教給同學(xué)好的學(xué)習(xí)方法，讓他們會(huì)學(xué)習(xí)，并善于用數(shù)學(xué)思維去分析問題和解決問題，受益終身；依據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變同學(xué)的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變同學(xué)被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)為主動(dòng)參加式學(xué)習(xí)， 不僅有利于提高同學(xué)的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)同學(xué)整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變；在課堂結(jié)構(gòu)

4、 上我依據(jù)同學(xué)的認(rèn)知層次，設(shè)計(jì)了創(chuàng)設(shè)情形觀看歸納爭論爭論即時(shí)訓(xùn)練總 結(jié)反思任務(wù)連續(xù)，六個(gè)層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深化，從而順當(dāng)完成教學(xué)目的；自主探究、觀看發(fā)覺、類比猜想、合作溝通；抓住同學(xué)情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興 趣，勉勵(lì)同學(xué)大膽猜想、積極探究，準(zhǔn)時(shí)地給以勉勵(lì)，使他們知難而進(jìn)；同時(shí)從同學(xué)原有的 認(rèn)知水平和所需的學(xué)問特點(diǎn)入手，老師在同學(xué)主體下賜予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)；引導(dǎo)同學(xué)理論 聯(lián)系實(shí)際，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，獲得解決問題的方法，幫忙同學(xué)培育勇于探究、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)；六、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回憶，引舊導(dǎo)新（ 1）等比數(shù)列 an 的定義及通項(xiàng)公式an an 1q n2 ， an

5、a q n 11；（ 2）等比中項(xiàng)：假如a,b,c成等比，就 bac ；（ 3）等比數(shù)列 an 的一些結(jié)論：nmanam qpqmn時(shí)，就 a p aqam an2、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，創(chuàng)造了國際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國王大為稱贊，對他說：我可以滿意你的任何要求西薩說：請給我棋盤的 64 個(gè)方格上，第一格放 1 粒小麥，其次格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第 64 格國王令宮廷數(shù)學(xué)家運(yùn)算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚為什么呢？師：同學(xué)們，你能說明這是為什么嗎？本節(jié)課我們爭論等比數(shù)列前n 項(xiàng)和，通過學(xué)習(xí)，我們就可以很簡潔說明這個(gè)問題了；（板書課題）

6、2.5 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和一般地，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和用 sn 表示，即：sna1a2an ；設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)同學(xué)的愛好，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)；此時(shí)我再問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)同學(xué)寫出麥?？倲?shù)1+ 2 + 22+ 23+263 ；帶著這樣的問題，同學(xué)會(huì)動(dòng)手算了起來，他們想到用運(yùn)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和這時(shí)我對他們的這種思路賜予確定設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，老師舍不得花時(shí)間讓同學(xué)去做所謂的 “無用功”，急趕忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎規(guī)律

7、順理成章的事，老師為什么不相加而立刻相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處同學(xué)難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營造學(xué)問形成過程的氛圍，突破同學(xué)學(xué)習(xí)的障 礙同時(shí)，形成繁難的情境激起了同學(xué)的求知欲，迫使同學(xué)急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆；3、師生互動(dòng)，探究問題在確定他們的思路后， 我接著問：1+ 2 + 22+ 23+263 是什么數(shù)列？有何特點(diǎn)？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？ 探討 1：設(shè)1+ 2 + 22+ 23+263 ，記為（ 1）式，留意觀看每一項(xiàng)的特點(diǎn)，有何聯(lián)系？（同學(xué)會(huì)發(fā)覺，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2 倍）探討 2：假如我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2 就有

8、2s64= 2+ 22+ 23+ 263 + 264 ，記為（ 2）式比較（ 1）2 ）兩式，你有什么發(fā)覺？設(shè)計(jì)意圖： 留出時(shí)間讓同學(xué)充分地比較， 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變 “加”為 “減”，在老師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在同學(xué)看來卻是“不行思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培育同學(xué)的辯證思維才能的良好契機(jī)；經(jīng)過比較、爭論，同學(xué)發(fā)覺：（1）、（ 2）兩式有很多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：全過程；s642641；老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求同學(xué)縱觀老師推導(dǎo)師：為什么（ 1）式兩邊要同乘以2 呢？生：乘以 2 后使得（ 1）式與（ 2）式顯現(xiàn)相

9、同的項(xiàng)，從而可以實(shí)現(xiàn)兩式相減，消去相同的項(xiàng)；設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過繁難的運(yùn)算之苦后，突然發(fā)覺上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓同學(xué)在探究過程中，充分感受到勝利的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；4、類比聯(lián)想，解決問題這時(shí)我再順勢引導(dǎo)同學(xué)將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列 an ，首項(xiàng)為 a1 ，公比為 q ，如何求前 n 項(xiàng)和 sn 呢？在此讓同學(xué)自主完成，并叫一名同學(xué)上黑板，然后對每個(gè)同學(xué)在自覺爭論時(shí)遇到的難題進(jìn)行指導(dǎo)點(diǎn)拔；設(shè)計(jì)意圖：在老師的指導(dǎo)下，讓同學(xué)從特殊到一般，從已知到未知，步步深化，讓同學(xué)自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的開心和成就感；a1 - a1qn在同學(xué)推導(dǎo)完成后，我再問：由1-

10、 qsn= a1- a1qn 得sn =1 - q，對不對呢？這里的 q 能不能等于 1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？ q=1 時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn導(dǎo)同學(xué)對 q 進(jìn)行分類爭論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)）.（這里引即： sna1 11na1q n q1qq1再次追問： 結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式aaqn 1 ，如何把 s 用 a 、a 、q 表示出來？ （引n1n1n導(dǎo)同學(xué)得出公式的另一形式）即： sna11na1anqq1 qq1設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使同學(xué)加深對學(xué)問的熟悉，完善學(xué)問結(jié)構(gòu)，另一方面使同學(xué)由簡潔地仿照和接受，變?yōu)閷W(xué)問的主動(dòng)熟悉，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合

11、的才能這一環(huán)節(jié)特別重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用；5、爭論溝通，延長拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式，仍有其它方法嗎？方法二：我們知道 ,sn = a1 +a1q+a1q2 +a1qn-1 = a1 +qa1 +a1q+a1qn-2；那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出sn 呢？即：提取公比 q，有：saa qa q2a qn 2a qn 1n11111a（q aa qa q n 2）1111a1q（sna1qn 1）1qsna1a1 q na11sn1na1qn q1qq1方法三：依據(jù)等比數(shù)列的定義又有a2 = a1a3 = a2a4 =a3an

12、 an-1= q ，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sn 呢？即：利用等比定理a2a3a1a2a 2a3a4anqa3a n 1ansna1 qa1a2an 1snan1q snsna1a11na1anqan qq1 qq1設(shè)計(jì)意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)同學(xué)的探究欲望，營造一個(gè)讓同學(xué)主動(dòng)觀看、摸索、爭論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到sna1qsn1 ,這其實(shí)就是關(guān)于sn 的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有特別重要的爭論價(jià)值，是爭論性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對同學(xué)的思維進(jìn)展有促進(jìn)作用；6、例題講解，形成技能例 1、口答以下各題：(1) 求等比數(shù)列1, 1 , 1 , 1 ,248的前 10

13、 項(xiàng)的和；(2) 已知等比數(shù)列 an 中，a12 ， q3 ，求s3 ；(3) 請利用第 2 題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求 自己擬題能鞏固和深化所學(xué)的學(xué)問a1 或求 q，并求解21 10生： 口答 （ 1）s10111023（2） s32133 26131151223 生甲：已知： q=3， s326 求 a1 解：s3a 133 11326 ，a12 ；生乙：已知：a12 ， s326；求 q；解：s32113q 26 ， qq2q120q3或q=-4 ；例 2、已知 an為等比數(shù)列，且 sna ， s2nb ， ab 0 ，求s3n ；師：要求s3n ，需知a1 ，q，而已知條件為sn 和s2

14、n 能否進(jìn)一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？生甲： sna1 11qn aq1a 1q2 n a 1qn 1qn s112 nb21q1q（1）式除以（ 2）式得： 1q nb ，即aq nb a13a 1 b121將（ 3）式代入（ 1）式得： aa1q，就a11qa，2abs3na1 1a1 b13 q23n1q2aba以下再化簡即可師：這位同學(xué)處理問題很奇妙他沒有分別求得a1 與q 的值，而改為求qn 與a1的1q值，這樣使問題變得簡潔些，請問同學(xué)們，這樣解這個(gè)題目是否有問題呢？生乙：我認(rèn)為第（ 1）式就有問題，他附加了條件q1 ，而對 q1 情形沒有考慮師：對！使用等比數(shù)列前n

15、 項(xiàng)和公式時(shí)， 要特殊留意適用條件， 即 q1 時(shí)， snna1 ；1a 1qn aa qq1 時(shí)， sn1q1n；1q 含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，同學(xué)常忽視q=1 情形，要引起足夠重視，以培育同學(xué)思維的嚴(yán)密性 同學(xué)演算習(xí)題，老師投影出正確答案解：設(shè)數(shù)列的公比為 q ；如 q1 此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列 ，就 snna 1a，s2n2na1b ，此時(shí)， 2 ab ，就 s3na3a或s3 b；如 q1 ，即 2 ab ，就由已知sna1 113 nqn aq13n21s2 na1 11q2n bq2又由于 ab0 ，所以由（ 2）式除以（ 1）式得：1q2 n1qnb ，即 1q nab ，所以

16、aq nb a131將（1）式式變形后代入（ 3）式得：aaa2 n，于是數(shù)列的前 3n 項(xiàng)的和1q1q2ab為： s3na11q3n a2ba2113 xabb2.1q2abaa師： 小結(jié) 這節(jié)課我們從已有的學(xué)問動(dòng)身，用多種方法 迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯(cuò)位相減法 推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，并在應(yīng)用中加深了對公式的熟悉如已知 a1，n，q，就挑選a 1qn 1q1sn1qna1q1已知 a1，q，an，就挑選a1sn1na1an qq1 qq1對含字母的題目一般要分別考慮q=1 和 q1 兩種情形，不能附加條件，統(tǒng)一按aa qa 1qn ns1n1q1去解題；1qaa qa 1qn 1

17、q小結(jié)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式aa qn 1 和前 n 項(xiàng)和公式 s1n1中，從1qn1na1 , q, n, an , sn 這五個(gè)量中，只要知道任意三個(gè)量，均可求得其余兩個(gè)量；7、加強(qiáng)練習(xí)，深化熟悉（ 1）求1 1 ,221 ,3 148,4 1 ,5 11632的前 n 項(xiàng)和（ 2）求1 , 2 , 3 , 4 , 5的前 n 項(xiàng)和248 1632（ 3）求數(shù)列 1aa 2a3an 1a0 的前 n 項(xiàng)和；（ 4）畫一個(gè)邊長為2cm的正方形 ,再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2 個(gè)正方形 ,依此類推 , 這樣一共畫了 10 個(gè)正方形 ,求這 10 個(gè)正方形的面積的和；8、總結(jié)歸納，加深懂得

18、以問題的形式顯現(xiàn)，引導(dǎo)同學(xué)回憶公式、推導(dǎo)方法，勉勵(lì)同學(xué)積極回答，然后老師再從學(xué)問點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法方面總結(jié)：(1) 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式(2) 公式的推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法(3) 求和思路構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列；通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮同學(xué)的主體作用，有利于同學(xué)鞏固所學(xué)學(xué)問，也能培育同學(xué)的歸納和概括才能；進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素養(yǎng)目標(biāo)；設(shè)計(jì)意圖：以此培育同學(xué)的口頭表達(dá)才能，歸納概括才能；9、故事終止，首尾呼應(yīng)19最終我們回到故事中的問題，我們可以運(yùn)算出國王獎(jiǎng)賞的小麥約為1.84 ×10粒，大約7000 億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10 米、厚 8 米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459 倍，明顯國王兌現(xiàn)不了他的承諾；設(shè)計(jì)意圖：把引入課題時(shí)的懸念