人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5

1、高中數(shù)學(xué)必修 1 學(xué)問(wèn)點(diǎn)（1）集合的概念第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1 】集合的含義與表示集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（ 2）常用數(shù)集及其記法n 表示自然數(shù)集，n或 n表示正整數(shù)集，z 表示整數(shù)集，q 表示有理數(shù)集，r 表示實(shí)數(shù)集 .（ 3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象 a 與集合 m 的關(guān)系是 am ，或者 am ，兩者必居其一.（ 4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字表達(dá)的形式來(lái)描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.描述法： x | x 具有的性質(zhì) ，其中 x 為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（ 5）集合的分類(lèi)含有有限個(gè)元素的集合叫做

2、有限集. 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集. 不含有任何元素的集合叫做空集.（ 6）子集、真子集、集合相等【1.1.2 】集合間的基本關(guān)系名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖ab（或a 中的任一元素都屬于 b3如ab 且bc ，就ac4如ab 且ba ，就ab子集1aa2aabbaba或真子集abab ，且 b 中至少（ 1）a （ a 為非空子集）ba（或 ba）有一元素不屬于a2 如 ab 且 bc ，就 ac集合相等aba 中的任一元素都屬于 b，b 中的任一元素都屬于 a1abab2ba（ 7）已知集合a 有nn1 個(gè)元素，就它有2n 個(gè)子集，它有2n1個(gè)真子集，它有2n1個(gè)非空子集，它有2n2 非空

3、真子集 .（ 8）交集、并集、補(bǔ)集【1.1.3 】集合的基本運(yùn)算名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖（ 1）aaa（ 2）a（ 3）abaabb（ 1）aaa（ 2）aa（ 3）abaabb1 aeu a x | xa, 且ab交集abxb x | xa,或ab并集xbab2aeu au補(bǔ)集eu a x | xu ,且xa痧u ab u a.u b 痧u ab u a.u b【補(bǔ)充學(xué)問(wèn)】含肯定值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集| x |a a0 x |axa| x |a a0x | xa 或 xa| axb |c,| axb |cc0把 axb 看 成 一 個(gè) 整 體

4、， 化 成 | x |a ，| x |a a0 型不等式來(lái)求解（ 2）一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數(shù)2yaxbxca0o的圖象一元二次方程x1,2bb24ac2axbxc的根0 a0（其中2ax1x2 bx1x22a無(wú)實(shí)根ax2bxc的解集0 a0 x | xx1 或 xx2 x | xb r2aax2bxc的解集0 a0 x | x1x x2（ 1）函數(shù)的概念1.2 函數(shù)及其表示【1.2.1 】函數(shù)的概念設(shè) a 、 b 是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法就f ，對(duì)于集合a 中任何一個(gè)數(shù)x ，在集合 b 中都有唯獨(dú)確定的數(shù) f x 和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合a ，

5、 b 以及 a 到 b 的對(duì)應(yīng)法就f ）叫做集合a 到 b 的一個(gè)函數(shù)，記 作 f : ab 函數(shù)的三要素 : 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法就只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法就也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2）區(qū)間的概念及表示法設(shè) a, b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab ，滿(mǎn)意 axb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，記做a ,b ；滿(mǎn)意 axb 的實(shí)數(shù)x 的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做a, b ；滿(mǎn)意 axb ，或 axb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做 a, b ， a, b ；滿(mǎn)意 xa, xa, xb, xb 的實(shí)數(shù) x 的集合分別記做 a, a,b , b 留意： 對(duì)于集合 x | axb 與區(qū)間 a,

6、 b ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必需ab （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原就： f x 是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) f x 是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) f x 是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1 ytan x 中， xkkz 2零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零如 f x 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四就運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，就其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：如已知f x 的定義域?yàn)?a, b ，其復(fù)合函數(shù)f g x 的定義

7、域應(yīng)由不等式 ag xb 解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，依據(jù)問(wèn)題詳細(xì)情形需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)爭(zhēng)論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，仍要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（ 4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，假如在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀看法：對(duì)于比較簡(jiǎn)潔的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀看直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后依據(jù)變量的取值范疇確定函數(shù)的值域或最值判別式法：如函數(shù)y f x

8、可以化成一個(gè)系數(shù)含有y 的關(guān)于 x 的二次方程2a y xb y xc y0 ，就在a y0時(shí)，由于x, y 為實(shí)數(shù)，故必需有b2 y4a yc y0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法（ 5）函數(shù)的表示方法【1.2.2 】函數(shù)的表示法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)

9、變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 6）映射的概念設(shè) a 、 b 是兩個(gè)集合，假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法就f ，對(duì)于集合a 中任何一個(gè)元素，在集合b 中都有唯獨(dú)的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合a ， b 以及 a 到 b 的對(duì)應(yīng)法就f ）叫做集合a 到 b 的映射，記作f : ab 給定一個(gè)集合a 到集合 b 的映射，且象，元素 a 叫做元素 b 的原象aa, bb 假如元素a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b 叫做元素 a 的（ 1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì) 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1 】單

10、調(diào)性與最大（?。┲刀x圖象判定方法假如對(duì)于屬于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1 、x2 , 當(dāng) x1<x2時(shí)，都yy=fxfx2 （ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性有 fx 1<fx2 ， 那 么 就 說(shuō)函數(shù)的單調(diào)性 fx在這個(gè)區(qū)間上是 增函數(shù)假如對(duì)于屬于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x 1、x2 ，當(dāng) x1 <x2 時(shí)，都fx1 ox1x 2 xyy=fxfx 1（ 3）利用函數(shù)圖象 （在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象 （在有 fx 1>fx2 ， 那 么

11、就 說(shuō)fx2 1fx在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù) oxx 2x某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf g x ，令ug x ，如yf u 為增，ug x 為增，就yf g x為增；如yf u 為減， ug x 為減， 就yf g x 為增；如yf u 為增， ug x 為減， 就yf g x 為減；如yf u 為減，ug x 為增，就yf g x 為減（ 2）打“”函數(shù)f xx a a xy0 的圖象與性質(zhì)f x 分別在 ,a 、 a , 上為增函數(shù)，分別在a

12、 ,0 、 0,a 上為減函數(shù)（ 3）最大（小）值定義一般地，設(shè)函數(shù)y f xox的定義域?yàn)?i ，假如存在實(shí)數(shù)m 滿(mǎn)意：（ 1）對(duì)于任意的xi ，都有f xm ；（2）存在 x0i ，使得f x0 m 那么，我們稱(chēng) m 是函數(shù)f x的最大值，記作fmax xm 一般地，設(shè)函數(shù)yf x 的定義域?yàn)閕 ，假如存在實(shí)數(shù)m 滿(mǎn)意：（1）對(duì)于任意的xi ，都有f xm ；（2）存在 x0i ，使得f x0 m 那么，我們稱(chēng)m 是函數(shù)f x 的最小值，記作f max xm （ 4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)【1.3.2 】奇偶性定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性假如對(duì)于函數(shù)fx定義域內(nèi)任意一個(gè) x

13、，都有 fx=fx, 那么函數(shù)fx叫做 奇函數(shù)假如對(duì)于函數(shù)fx定義域內(nèi)任 意 一 個(gè)x ， 都 有f x=fx, 那么函數(shù) fx叫做偶函數(shù)（ 1）利用定義（要先判肯定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（ 1）利用定義（要先判肯定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)）如函數(shù)f x 為奇函數(shù)，且在x0 處有定義，就f 00 奇函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或

14、商）是奇函數(shù)補(bǔ)充學(xué)問(wèn)函數(shù)的圖象（ 1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；爭(zhēng)論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫(huà)出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要精確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換yf xh 0,左移h個(gè)單位h 0,右移 | h|個(gè)單位yf xh yf xk0,上移k個(gè)單位 k 0,下移 | k |個(gè)單位yf xk伸縮變換yf x01,伸1,縮yf xyf x0 a 1, 縮yafxa 1, 伸對(duì)稱(chēng)變換yf xx軸yf xyf xy軸yf x原點(diǎn)yf xyf xyf x直線(xiàn) yx1yf xyf x

15、去掉 y軸左邊圖象保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)圖象yf | x |yf（ 2）識(shí)圖x保留x軸上方圖象 將x軸下方圖象翻折上去y| f x |對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范疇、 變化趨勢(shì)、 對(duì)稱(chēng)性等方面爭(zhēng)論函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，留意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系（ 3）用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為爭(zhēng)論數(shù)量關(guān)系問(wèn)題供應(yīng)了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法（ 1）根式的概念其次章基本初等函數(shù) 2.1 指數(shù)函數(shù)【2.1.1 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算假如 xna, ar, xr, n1，且 nn，那么 x 叫做

16、 a 的 n 次方根當(dāng)n 是奇數(shù)時(shí)， a 的 n 次方根用nnn符號(hào)a 表示； 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， 正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號(hào)a 表示， 負(fù)的 n 次方根用符號(hào)a 表示； 0 的 n 次方根是 0；負(fù)數(shù) a 沒(méi)有 n 次方根n式子a 叫做根式， 這里 n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開(kāi)方數(shù) 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， a 為任意實(shí)數(shù)； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， a0 nnnnnnaa0根式的性質(zhì)：a a ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，aa ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，a| a |aa0（ 2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：ma nn a m a0, m, nn, 且 n1) 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0m1 m

17、1正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：an nn m a0, m, nn, 且 n1 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)aa有意義留意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（ 3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ara sa r s a0, r , sr ar sa rs a0, r , sr ab rar br a0, b0, rr（ 4）指數(shù)函數(shù)【2.1.2 】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)ya x a0 且 a1 叫做指數(shù)函數(shù)a10a1yya x圖象y10,1yayxy10,1oxox定義域r值域0,過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn) 0,1 ，即當(dāng) x0 時(shí)， y1 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 r 上是增函數(shù)在 r 上是減函數(shù)函數(shù)值的

18、變化情形a x1 x0a x1 x0a x1 x0a x1x0a x1x0a x1x0a 變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越高；在其次象限內(nèi)，a 越大圖象越低（ 1）對(duì)數(shù)的定義2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)【2.2.1 】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算如 a xn a0,且a1 ，就 x 叫做以 a 為底 n 的對(duì)數(shù)，記作xlog an ，其中 a 叫做底數(shù)，n 叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlog anaxn a0, a1, n0 （ 2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式log a 10 ， log a ab1 ， log a ab （ 3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)： lg n ，即log 10 n ；

19、自然對(duì)數(shù)：ln n ，即 log e n （其中 e2.71828）（ 4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如 a0, a1,m0, n0 ，那么加法： log a mlog a nlog a mn 減法： log a mlog a nmlog an數(shù)乘：n log a mlog am n nr a log a nnaan logb mn log bm b0, nr換底公式：log a nlog b n b logb a0, 且b1（ 5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)【2.2.2 】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù) ylog a xa0 且 a1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)a1yx1yloga x0a1yx1yloga x圖象o1,0

20、x1,0ox定義域0,值域r過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn) 1,0 ，即當(dāng) x1 時(shí)， y0 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 0, 上是增函數(shù)在 0, 上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情形log a x log a x log a x0x0x0011x1log a x log a x log a x0 x0 x0 011x1a 變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a 越大圖象越靠高6 反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)yf x 的定義域?yàn)閍 ，值域?yàn)?c ，從式子yf x中解出 x ，得式子 x y 假如對(duì)于y 在 c中的任何一個(gè)值， 通過(guò)式子 x y ， x 在 a 中都有唯獨(dú)確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子 x y

21、 表示 x 是 y 的函數(shù)，函數(shù) x y 叫做函數(shù)yf x 的反函數(shù)，記作1x f y ，習(xí)慣上改寫(xiě)成1y f x （7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f x 中反解出 xf1 y ；將 xf1 y 改寫(xiě)成 yf1 x ，并注明反函數(shù)的定義域（ 8）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)yf x 與反函數(shù) yf1 x 的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx 對(duì)稱(chēng)函數(shù)yf x 的定義域、值域分別是其反函數(shù)1yf x 的值域、定義域如 pa, b 在原函數(shù)yf x 的圖象上，就'p b, a 在反函數(shù) yf1 x的圖象上一般地，函數(shù)（ 1）冪函數(shù)的定義yf x 要有反函數(shù)就它必需為單調(diào)函數(shù)2.3 冪

22、函數(shù)一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x 為自變量，是常數(shù)（ 2）冪函數(shù)的圖象 見(jiàn)課本 （ 3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) ；是奇函數(shù)時(shí)， 圖象分布在第一、 三象限 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限過(guò)定點(diǎn)：全部的冪函數(shù)在0, 都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)1,1單調(diào)性：假如0 ，就冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在0, 上為增函數(shù)假如0，就冪函數(shù)的圖象在0,上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x 軸與 y 軸奇偶性： 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 冪函數(shù)為奇函數(shù)， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 冪函數(shù)為偶函

23、數(shù) 當(dāng)q（其中pp, q 互質(zhì)， p 和 qz ），如 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，就qyx p 是奇函數(shù)，如p 為奇數(shù) q 為偶數(shù)時(shí)，就qyx p是偶函數(shù)，如p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，q就 yx p 是非奇非偶函數(shù)圖象特點(diǎn)：冪函數(shù)yx , x0, ，當(dāng)1 時(shí)，如 0x1，其圖象在直線(xiàn)yx 下方，如x1 ，其圖象在直線(xiàn) yx 上方，當(dāng)1時(shí)，如 0x1，其圖象在直線(xiàn)yx 上方，如x1 ，其圖象在直線(xiàn)yx 下方補(bǔ)充學(xué)問(wèn)二次函數(shù)（ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f xax2bxca0 頂點(diǎn)式：f xa xh2k a0 兩根式：f xa xx1 xx2 a0 （ 2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)

24、點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式如已知拋物線(xiàn)與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求f x 更便利（ 3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)f xax2bxca0 的圖象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為xb , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是2ab4 acb2, 2 a4a當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在,4acb2b 上遞減，在 2ab , 上遞增，當(dāng)xb時(shí)，2a2abbbf min x；當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下， 函數(shù)在 , 上遞增，在 , 上遞減，當(dāng) x4a2a2a2a時(shí) ， fmax x4acb24a二次函數(shù)f xax2bxca0 當(dāng)b24ac

25、0 時(shí)，圖象與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)m1x1,0,m2x2,0,|m1m2 | | x1x2 |a|（ 4）一元二次方程ax 2bxc0 a0 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分學(xué)問(wèn)在中學(xué)代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整， 且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布2設(shè)一元二次方程axbxc0 a0 的兩實(shí)根為x1, x2 ，且 x1x2 令f x2axbxc ，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：開(kāi)口方向：a對(duì)稱(chēng)軸位置：xkx1 x2b判別式：端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)2 ayf k 0a0ox

26、ybx2akxoxk1x2x12xbf k 0xa02ax1 x2kya0ox1f k0x2kxyxb2aokx1x2xxba02af k 0x1 k x2af k 0yya0okx1x2xf k 0f k0x1okx2xa0k1 x1x2 k2yok1f k1 x1a00f k 2 0x2k 2xyk1ox1xb2ak2x2xf k1 0xb2aa0f k 2 0有且僅有一個(gè)根x1（或 x2 ）滿(mǎn)意 k1 x1 （或 x2 ） k2f k1 f k20，并同時(shí)考慮f k1=0 或 f k2 =0這兩種情形是否也符合yok1a0f k1 0x1k2x2xyox1f k1 k10k2x2xf k

27、 2 0a0fk 2 0k1 x1k2 p1 x2 p2此結(jié)論可直接由推出（ 5）二次函數(shù)f xax2bxc a0 在閉區(qū)間 p , q 上的最值設(shè) f x 在區(qū)間 p, q 上的 最大值為 m ，最小值為m ，令 x01 pq 2（）當(dāng) ab0 時(shí)（開(kāi)口向上）bbb如p ，就2amf p 如 pq ，就2amf 如2a2aq ，就 mfq fqofpxofqxfpoxff pb b2af b 2abqff b 2a如x0 ，就 mf 2aq x0 ，就2amf p fx0qoxfpx0foxff b f pb 2aq2a 當(dāng) a0 時(shí) 開(kāi)口向下 bbbb如p ，就2amf p 如 pq ，就

28、2amf 如2a2aq ，就mf qf b 2apofxfqpf b 2afoxfqpqofbf f2axb如x0 ，就 mf 2aqbx0 ，就 mf p 2afpof b 2ax0xfqx0pqofbff2a x一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)第三章函數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)零點(diǎn)的概念： 對(duì)于函數(shù)y的零點(diǎn)；f x xd ，把使f x0 成立的實(shí)數(shù)x 叫做函數(shù)yf x xd 2、函數(shù)零點(diǎn)的意義： 函數(shù) y的橫坐標(biāo)；即：f x 的零點(diǎn)就是方程f x0 實(shí)數(shù)根， 亦即函數(shù)yf x 的圖象與 x 軸交點(diǎn)方 程 fx0 有實(shí)數(shù)根函數(shù) yf x 的圖象與 x 軸有交點(diǎn)函數(shù) yf x 有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)

29、yf x 的零點(diǎn)： 1（代數(shù)法）求方程f x0 的實(shí)數(shù)根； 2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)零點(diǎn)4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：yf x 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出二次函數(shù)yax 2bxca0 ），方程），方程ax 2ax 2bxcbxc0 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0 有兩相等實(shí)根（二重根） ，二次函數(shù)的圖象與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)），方程ax 2bxc0 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)高中數(shù)學(xué)必修2 學(xué)問(wèn)點(diǎn)第一章空間幾何體1.1 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)1.2 空間幾何體的三視圖和

30、直觀圖1 三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2 畫(huà)三視圖的原就：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3 直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法4 斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（ 1） . 平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依舊平行于坐標(biāo)軸；（ 2） . 平行于 y 軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x， z 軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；（ 3） . 畫(huà)法要寫(xiě)好；5 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（ 2）畫(huà)底面（ 3）畫(huà)側(cè)棱（ 4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1 棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和2 圓柱的表面積s2rl2 3r 2圓錐的表面積srlr 24 圓臺(tái)的表面積srlr 2rlr25 球的表面積 s4 r

31、2（二）空間幾何體的體積1 柱體的體積vs底h1錐體的體積1svh2底3433 臺(tái)體的體積v（ s上 3s上 s下s下 h4 球體的體積vr 3其次章直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系dc2.1 空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 ab1 平面含義：平面是無(wú)限延展的2 平面的畫(huà)法及表示（ 1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2 倍長(zhǎng)（如圖）（ 2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面ac、平面 abcd等；3 三個(gè)公理：（ 1）公理 1：假如一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)

32、平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)符號(hào)表示為albl=> la b公理 1 作用：判定直線(xiàn)是否在平面內(nèi)（ 2）公理 2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；符號(hào)表示為： a、b、c 三點(diǎn)不共線(xiàn)=>有且只有一個(gè)平面，使 a、 b、 c；公理 2 作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)；a ·lab ·c··（ 3）公理 3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)；符號(hào)表示為： p => =l，且 pl公理 3 作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系p1 空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：

33、·l相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線(xiàn)平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；2 公理 4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)相互平行；符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c 是三條直線(xiàn)a b c b=>ac強(qiáng)調(diào)：公理4 實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用；公理 4 作用：判定空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)；3 等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 留意點(diǎn)： a' 與 b' 所成的角的大小只由a、b 的相互位置來(lái)確定，與o 的挑選無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)o 一般取在兩直線(xiàn)中的一條上； 兩條異面直

34、線(xiàn)所成的角0 ， ； 當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)相互垂直，記作a b；2 兩條直線(xiàn)相互垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 運(yùn)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角；2.1.3 2.1.4空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：（ 1）直線(xiàn)在平面內(nèi)有許多個(gè)公共點(diǎn)（ 2）直線(xiàn)與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（ 3）直線(xiàn)在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情形統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用a來(lái)表示aa =aa2.2. 直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線(xiàn)與平面平行的判定1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條

35、直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，就該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，就線(xiàn)面平行；符號(hào)表示：a b => aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，就這兩個(gè)平面平行；2、判定兩平面平行的方法有三種：（ 1）用定義；（ 2）判定定理；（ 3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行；符號(hào)表示：a b a b = pa b2.2.3 2.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，就過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行就線(xiàn)線(xiàn)平行；符號(hào)表示：aaa b = b作用：利用該定理可解決直線(xiàn)

36、間的平行問(wèn)題；2、定理：假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行；符號(hào)表示： = aa b = b作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行2.3 直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線(xiàn)與平面垂直的判定1、定義假如直線(xiàn) l 與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)l 與平面相互垂直，記作l，直線(xiàn) l 叫做平面的垂線(xiàn)，平面叫做直線(xiàn)l 的垂面；如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí), 它們唯獨(dú)公共點(diǎn)p 叫做垂足；lp2、判定定理： 一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，就該直線(xiàn)與此平面垂直；留意點(diǎn)：a 定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不行忽視；b 定理表達(dá)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直

37、線(xiàn)垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間始終線(xiàn)動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形 a梭 lb2、二面角的記法：二面角-l-或 -ab- 3、兩個(gè)平面相互垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，就這兩個(gè)平面垂直；2.3.3 2.3.4直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行；2 性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，就一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直；第三章直線(xiàn)與方程3.1 直線(xiàn)的傾斜角和斜率3.1 傾斜角和斜率1、直線(xiàn)的傾斜角的概念：當(dāng)直線(xiàn)l 與 x 軸相交時(shí) ,取 x 軸作為基準(zhǔn) , x 軸正向與直線(xiàn)l 向上方向之間所

38、成的角叫做直線(xiàn)l的傾斜角 . 特殊地 , 當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸平行或重合時(shí),規(guī)定 = 0 ° .2、 傾斜角的取值范疇：0° 180°.當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 °.3、直線(xiàn)的斜率 :一條直線(xiàn)的傾斜角 90° 的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率, 斜率常用小寫(xiě)字母k 表示 , 也就是 k = tan當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸平行或重合時(shí), =0° , k = tan0° =0;當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 ° , k不存在 .由此可知 ,一條直線(xiàn) l 的傾斜角肯定存在, 但是斜率 k 不肯定存

39、在 .4、 直線(xiàn)的斜率公式 :給定兩點(diǎn) p1x1,y1,p2x2,y2,x1 x2, 用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線(xiàn)p1p2的斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x2-x13.1.2兩條直線(xiàn)的平行與垂直1、兩條直線(xiàn)都有斜率而且不重合，假如它們平行，那么它們的斜率相等；反之，假如它們的斜率相等，那么它們平行，即留意 :上面的等價(jià)是在兩條直線(xiàn)不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立即假如k1=k2,那么肯定有 l1l22、兩條直線(xiàn)都有斜率，假如它們相互垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，假如它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們相互垂直，即3.2.1 直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程1、直線(xiàn)的 點(diǎn)斜式 方程：直線(xiàn) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)p0 x0 ,y0 ，且斜率為kyy0k xx0 2、直線(xiàn)的 斜截式 方程：已知直線(xiàn)l 的斜率為 k ，且與 y 軸的交點(diǎn)為3.2.2 直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程0,bykxb1、直