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文檔簡介

1、矢量分析矢量分析矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加減法 幾何作圖法(平行四邊形法則,三角形法則) 標量乘矢量第1頁/共33頁矢量分析矢量分析 3.矢量的標積(點積,點乘)矢量的標積(點積,點乘)任何兩個矢量的標量積是個標量滿足交換律 分配律 若 則 與 正交第2頁/共33頁矢量分析矢量分析矢量的矢積(叉積,叉乘)矢量的矢積(叉積,叉乘) 任何兩個矢量的矢量積是個矢量 表示由 , 確定平面的法向。 ABABna第3頁/共33頁矢量分析矢量分析在直角坐標系下 不服從交換率 服從分配率 可作為判斷平行的條件 =0 或第4頁/共33頁矢量分析矢量分析 5.矢量的混合運算 6.單位矢量第5頁/共33

2、頁矢量分析矢量分析 1.三種常用坐標系下的矢量場三種常用坐標系下的矢量場 1.直角坐標系直角坐標系(rectangular coordinate system) 用x,y,z表示, ,變化范圍: 單位矢量 : : 相互正交 長度單元: : 矢量 表示為:xyz, ,dx dy dzCartesian coordinate system第6頁/共33頁2 2. .柱坐標柱坐標 cylindrical coordinate system 用 表示, ,變化范圍: 單位矢量: : 相互正交 矢量 表示為: 矢量分析矢量分析xyzzr, ,rz(0,02 ,)rz 第7頁/共33頁矢量分析矢量分析 長

3、度單元: :,rzdldr dlrddldzcos ,sin ,xryrzz221,yrxytgx第8頁/共33頁矢量分析矢量分析 3.球坐標系球坐標系 spherical coordinate system 用 表示,變化范圍: 單位矢量: 相互正交 矢量 表示為:zyxMr, ,r (0,0,02 )r 第9頁/共33頁矢量分析矢量分析 長度單元: 為過該點球面法向; 為過該點向 增大的方向; 為過該點平行xy平面指向 增大的方向。,sinrdldr dlrddlrd a第10頁/共33頁矢量分析矢量分析sincos ,sinsin ,cos ,xryrzr2222211,xyyrxyzt

4、gtgzx第11頁/共33頁矢量分析矢量分析1.給定三個矢量 如下:求(1) (2) (3) (4) (5) 和 2.證明兩個矢量 和 是相互平行的。, ,A B C第12頁/共33頁標量、矢量與場標量、矢量與場標量:只有大小,沒有方向,這種物理量叫做標量,如溫度T、電荷密度。矢量:要用大小及方向同時表示的物理量叫矢量。如速度 ,電場強度場:如果在空間域上,每一點都存在一確定的物理量A,我們就說:場域上存在由場量A構(gòu)成的場。如果A是標量,我們稱場域上存在一標量場;同理如果 是矢量,則說明場域 上存在一矢量場。 場是物質(zhì)存在的一種形態(tài),但有別于實物粒子。在空間統(tǒng)一點上同時允許存在多種場,或者一種

5、場的多種模式。這與實物粒子的不可入性和排他性有天壤之別。 第13頁/共33頁方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 1.標量場的方向?qū)?shù)標量場的方向?qū)?shù) 設M0是標量場=(M)中的一個已知點,從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l, 在l上M0的鄰近取一點M,MM0=,如圖1-2所示。若當M趨于M0時(即趨于零時),圖 1-2 方向?qū)?shù)的定義 )()(0MM 第14頁/共33頁方向?qū)?shù)方向?qū)?shù))()(lim000MMlMMM 的極限存在,則稱此極限為函數(shù)(M)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù),記為 若函數(shù)=(x, y, z)在點M0(x0, y0, z0)處可微,cos、cos、cos為l方向的方向余弦,則函數(shù)在點M0處沿l

6、方向的方向?qū)?shù)必定存在,且為 0coscoscosMlxyz第15頁/共33頁標量場的梯度 2. 標量場的梯度標量場的梯度 在直角坐標系中,令 式中 分別是l與 軸的夾角, 記為標量函數(shù)的梯度coscoscoscos( ,)lxyzxyzlllaaaaGaaaxyzG aG aG almaxGlG第16頁/共33頁 標量場的梯度標量場的梯度(gradient)標量函數(shù)的梯度 -哈密頓算符,矢性的微分算符。 在直角坐標系下: 梯度的物理意義:在給定點處,梯度的方向表示最大方向?qū)?shù)的方向,其模值為最大方向?qū)?shù)的數(shù)值,它在任一方向的投影就是該方向的方向?qū)?shù)。 標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標的函數(shù)

7、。 梯度的旋度恒等于零。第17頁/共33頁常用梯度公式常用梯度公式2()()()1( )()( )( )cuc uuvuvuvu vv uuv uu vvvf uf uu 第18頁/共33頁矢量場的通量和散度矢量場的通量和散度 3 .矢量場的通量矢量場的通量 將曲面的一個面元用矢量dS來表示,其方向取為面元的法線方向, 其大小為dS, 即是面元法線方向的單位矢量。 將曲面S各面元上的 相加,它表示矢量場 穿過整個曲面S的通量,也稱為矢量 在曲面S上的面積分: 如果曲面是一個封閉曲面,則dSndsnSSA dSA ndSSA dSAAA dS第19頁/共33頁第20頁/共33頁矢量場的通量和散度

8、矢量場的通量和散度 4. .矢量場的散度矢量場的散度 稱此極限為矢量場 在某點的散度,記為 ,即散度的定義式為0limSVA dSV AdivA0limSVA dSdivAV 第21頁/共33頁矢量場的通量和散度矢量場的通量和散度 4.散度散度(divergence) 矢量場A的散度可表示為哈密頓微分算子與矢量A的標量積, 即 散度在直角坐標中的計算公式divyxzAAAAAxyz divAA ()xyzxxyyzzyxzAaaaA aA aA axyzAAAxyz第22頁/共33頁矢量場的通量和散度矢量場的通量和散度散度的意義與性質(zhì)散度的意義與性質(zhì) 矢量場中某點的散度表示矢量場在該點通量源(

9、散度源)的強度,給出了散度源于矢量場各分量的空間變化率的關系。 高斯定理高斯定理矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。該公式表明了區(qū)域V V 中場 與邊界S S上的場 之間的關系。SVA dSAdV AA第23頁/共33頁矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 在力場中,某一質(zhì)點沿著指定的曲線c運動時,力場所做的功可表示為力場F沿曲線c的線積分,即coscWF dlFdlcosccA dlAdl第24頁/共33頁矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 5.矢量場的旋度矢量場的旋度0limcSA dlS max0limcSA dlrotAnS 第25頁/共33頁矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 旋度旋

10、度(rotation) 1.矢量場的旋度矢量場的旋度 在直角坐標系下rotAA rotxyzxyzaaaAxyzAAA第26頁/共33頁矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 2. .旋度的意義和性質(zhì)旋度的意義和性質(zhì) 對于矢量場對于矢量場 ,在給定點,在給定點 的的方向為該點最大環(huán)量的方向,方向為該點最大環(huán)量的方向, 的模為最的模為最大環(huán)量的數(shù)值。大環(huán)量的數(shù)值。 矢量場表示矢量場的空間變化率,該矢量場表示矢量場的空間變化率,該變化率就等于引起矢量場的旋度源。變化率就等于引起矢量場的旋度源。AAAA第27頁/共33頁矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度2()()()()0()ABABAAAA BB

11、AABAAA 02 為拉普拉斯算符0A 2第28頁/共33頁矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 3.斯托克斯公式:斯托克斯公式: 因為旋度代表單位面積的環(huán)量,因此矢量場在閉合曲線l上的環(huán)量等于閉合曲線l所包圍曲面S上旋度的總和, 即 ()SlA dlAdS第29頁/共33頁矢量分析矢量分析4、散度與旋度對比、散度與旋度對比(1)都是描述矢量場在空間的變化都是描述矢量場在空間的變化(2)旋度是矢量,散度是標量。旋度是矢量,散度是標量。(3)旋度表示場點和旋渦源的關系;旋度表示場點和旋渦源的關系; 散度表示場點和通量源的關系。散度表示場點和通量源的關系。(4)旋度場描述矢量與它相垂直方向的變化規(guī)律;旋度場描述矢量與它相垂直方向的變化規(guī)律; 散度場描述矢量沿它自身方向的變化規(guī)律。散度場描述矢量沿它自身方向的變化規(guī)律。第30頁/共33頁矢量分析矢量分析 5.5.無源場與無散場無源場與無散場 矢量場的源:散度源,旋度源矢量場的源:散度源,旋度源 僅由散度源產(chǎn)生的場僅由散度源產(chǎn)生的場 僅由旋度源產(chǎn)生的場僅由旋度源產(chǎn)生的場SVlSA d SAd VA d lAd S ,0,0lSEA dlBAA dS第31頁/共33頁 6.6.亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理: 空間有限區(qū)域空間有限區(qū)域 內(nèi)任一矢量場可由

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