高中數(shù)學解析幾何解題方法

1、高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法本章節(jié)處理方法建議：三、高考核心考點四、常規(guī)題型及解題的技巧方法a:常規(guī)題型方面（1）中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。典型例題給定雙曲線。過a（2，1）的直線與雙曲線交于兩點及，求線段的中點p的軌跡方程。分析：設(shè)，代入方程得，。兩式相減得。又設(shè)中點 p（ x,y），將，代入，當時得。又，代入得。當弦斜率不存在時，其中點p（2，0）的坐標也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是說明：本題要注意思維的嚴密性，必須單獨考慮斜率不存在時的情況。（2）焦點三角形問題橢圓或

2、雙曲線上一點p，與兩個焦點、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題設(shè) p(x,y)為橢圓上任一點，為焦點，。（1）求證離心率sinsin)sin(e；（2）求的最值。分析：（ 1）設(shè)，由正弦定理得。得，s i ns i n)s i n (ace（2）。當時，最小值是；當ax時，最大值是。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法典型例題（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（2）設(shè)直線與拋物線的交點為a、b，且 oa ob，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t)的表達式。（1）證明：拋物線的

3、準線為由直線 x+y=t 與 x 軸的交點（ t，0）在準線右邊，得故直線與拋物線總有兩個交點。（2）解：設(shè)點a(x1，y1)，點 b(x2，y2) （4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)， 均值不等式）求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0) ，過 m（a,0）且斜率為1 的直線 l 與拋物線交于不同的兩點a、b，|ab|2p （1）求 a 的取值范圍；（2）若線段ab 的垂直平分線交x

4、 軸于點 n，求 nab 面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即： “求范圍，找不等式”?；蛘邔?a 表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把 nab 的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問題，函數(shù)思想”。解： (1)直線l 的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線l 與拋物線兩交點的坐標分別為a（x1,y1）,b(x2,y2)，則221212)(204)(4axxpaxxapa,又 y1=x1-a,y2=x2-a,

5、 ,2)2(80,0)2(8,2|0)2(84)(2)()(|21221221221pappapppabappxxxxyyxxab解得 :.42pap(2)設(shè) ab 的垂直平分線交ab 與點 q，令其坐標為（x3,y3），則由中點坐標公式得：paxxx2213, .2)()(221213paxaxyyy所 以 |qm|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 mnq為 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 |qm|=|qn|=p2， 所 以snab=22222|22|21pppabpqnab,即 nab 面積的最大值為p22。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用

6、待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線l 過原點，拋物線c 的頂點在原點，焦點在x 軸正半軸上。若點a（ -1，0）和點 b（0，8）關(guān)于 l 的對稱點都在 c 上，求直線l 和拋物線 c 的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，l：y=kx(k 0),c:y2=2px(p0) 設(shè) a、b 關(guān)于 l 的對稱點分別為a/、b/，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：a/（12,11222kkkk）， b（1)1(8,116222kkkk）。因為a、 b 均在拋物線上，代入，消去p，得： k2-k-1=0. 解得：k=251,p=552. 所以直線 l 的方程為： y=251x,拋

7、物線 c 的方程為y2=554x. 2曲線的形狀未知- 求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點q （2， 0） 和圓 c： x2+y2=1, 動點 m 到圓 c 的切線長與 |mq|的比等于常數(shù)（0）,求動點 m 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè) mn 切圓 c 于點 n，則動點 m 組成的集合是： p=m|mn|=|mq| ，由平面幾何知識可知：|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1，將m點坐標代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0. 當=1 時它表示一條直線；當1 時，它表示圓。這種方法叫做直接法。（6） 存在兩點關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩

8、點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。（當然也可以利用韋達定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題已知橢圓c 的方程，試確定m 的取值范圍，使得對于直線，橢圓 c 上有不同兩點關(guān)于直線對稱。分析：橢圓上兩點，代入方程，相減得。又，代入得。又由解得交點。交點在橢圓內(nèi)，則有，得。（7）兩線段垂直問題m n q o 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線c 有兩個不同的交點（如圖）。（1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時， a、b 與拋物線c 的焦點

9、連線互相垂直。分析：（ 1）直線代入拋物線方程得，由，得。（2）由上面方程得，焦點為。22arctan由，得，或22arctanb:解題的技巧方面在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設(shè)直線與圓相交于 p、q 兩點， o 為坐標原點， 若，求的值。解：圓過原點，并且，是圓的直徑，圓心的坐標為又

10、在直線上，即為所求。評注： 此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點并且， pq 是圓的直徑， 圓心在直線y b a p (-2,0) o x 上，而是設(shè)再由和韋達定理求，將會增大運算量。評注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點 m 是在以 op 為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計算量將很大，并且比較麻煩。二. 充分利用韋達定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標而不求它，而是結(jié)合韋達定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點o，焦點在軸上的橢圓與直線相交于 p、q 兩點， 且，求此橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于p、兩點。由方程組消去后

11、得由，得（1）又 p、q 在直線上，把（ 1）代入，得，即化簡后，得（4）由，得把（ 2）代入，得，解得或代入（ 4）后，解得或由，得。所求橢圓方程為評注：此題充分利用了韋達定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計算。三. 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓和0 的交點，且圓心在直線：上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：即，其圓心為 c（）又 c 在直線上，解得，代入所設(shè)圓的方程得為所求。評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點，故簡化了計算。四、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題p 為橢圓22221xyab上一動點， a 為長軸的右端點，b 為短軸的上端點，求四邊形oapb 面積的最大值及此時點 p 的坐標。五、線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦ab 長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則|12ak，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運算過程。例求直線被橢圓所截得