2020年高考數(shù)學立體幾何專題復習(后附答案)

1、2020 年高考數(shù)學立體幾何專題復習（后附答案）教學目的1. 復習立體幾何初步的相關(guān)知識及基本應(yīng)用2. 掌握典型題型及其處理方法教學重點、難點立體幾何初步的知識梳理和題型歸類以及重點題型的處理方法知識分析1. 多面體的結(jié)構(gòu)特征對于多面體的結(jié)構(gòu)要從其反應(yīng)的幾何體的本質(zhì)去把握，棱柱、 棱錐、 棱臺是不同的多面體，但它們也有聯(lián)系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱臺；棱錐又可以看作是一底面縮為一點的棱臺，因此它們的側(cè)面積和體積公式可分別統(tǒng)一為一個公式。2. 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體是一個平面封閉圖形繞一個軸旋轉(zhuǎn)生成的，一定要弄清圓柱、圓錐、圓臺、球分別是由哪一種平面圖形旋轉(zhuǎn)生成的，從而可掌握旋轉(zhuǎn)體中各元

2、素的關(guān)系，也就掌握了它們各自的性質(zhì)。3. 表面積與體積的計算有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式法為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素。4. 三視圖與直觀圖的畫法三視圖和直觀圖是空間幾何體的不同的表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)由空間幾何體可以畫出它的三視圖，同樣由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化。5. 線線平行的判定方法（ 1）定義：同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線是平行直線；（ 2）公理4： a / /b， b/c，a/ /c ；（ 3）平面幾何中判定兩直線平行的方法；（ 4）線面平行的性質(zhì)：a / /

3、 ， a ，ba/ /b ；（ 5）線面垂直的性質(zhì)：a ， b a/b ；（ 6）面面平行的性質(zhì)：/ / ，a，a/b 。6. 直線和平面平行的判定方法（ 1）定義：aa/ / ；（ 2）判定定理：a/ /b， a ， b a/ ；（ 3）線面垂直的性質(zhì)：b a， b ， a ， a/ / ；（ 4）面面平行的性質(zhì)：/ / ， a a/ / 。7. 判定兩個平面平行的方法（ 1）依定義采用反證法；（ 2）利用判定定理：/ ， b/ ， a ， b ， a b A / ；（ 3）垂直于同一條直線的兩個平面平行；a ， a / ；（ 4）平行于同一平面的兩個平面平行；/，/ 。8. 平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

4、由上面的框圖易知三者之間可以進行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行 出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在解題時把握這一點，靈活確定轉(zhuǎn)化的思路和方向。9. 證明線線垂直的方法（ 1）定義：兩條直線所成的角為90°；（ 2）平面幾何中證明線線垂直的方法；（3）線面垂直的性質(zhì)：a，ba b ；（4）線面垂直的性質(zhì)：a，b/a b 。10. 證明線面垂直的方法（ 1）線面垂直的定義：a 與 內(nèi)任何直線垂直a ；m、 n ， m n A l（ 2）判定定理1 ： l m， l n；（ 3）判定定理2： a/ /b， a a b ；（ 4）面面平行的性質(zhì)：/ ， a a ；（ 5）面面垂直的性質(zhì)：

5、，l， a ， a l a 。11. 判定兩個平面垂直的方法1）利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角。2）判定定理：12.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵?！镜湫屠}】例 1. 圖中所示的是一個零件的直觀圖，畫出這個幾何體的三視圖。a ，a在視圖中，被擋住的輪廓線畫成虛線，尺寸線用細實線標出； 表示直徑，R表示半徑；單位不注明時按mm計

6、。點評： 畫簡單組合體的三視圖應(yīng)注意兩個問題：（1）要確定主視、俯視、左視的方向，同一物體放置位置的不同，所畫的三視圖可能不同。（ 2）要明確簡單組合體是由哪幾個基本幾何體生成的，并注意它們的生成方式，特別是交線位置。例 2. 在球面上有四點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PAPBPCa，求這個球21點評： 因為PA， PB， PC 兩兩垂直，于是也可以構(gòu)造一個長方體來解決，長方體對角線恰為球的直徑，R2 3a2，所以3Ra2 ，這樣就簡單了。例 3. 如圖，已知P為ABC外一點，PA、PB、PC兩兩垂直且PAPBPCa，求P點到平面ABC的距離。點評： （ 1）求點到平面距離的

7、基本程序是：首先找到或作出要求的距離；然后使所求距離在某一個三角形中；最后在三角形中根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出距離。（ 2）求距離問題轉(zhuǎn)化到解三角形有關(guān)問題后，在三角形中求距離常常用到勾股定理、定理及有關(guān)三角函數(shù)知識。（ 3）點到平面距離是立體幾何中一個重要內(nèi)容，高考命題中出現(xiàn)較多，應(yīng)充分注意，除了上面提到的方法之外，還有其他一些方法，比如以后學習的等積法，希望同學們在學習過程中不斷總結(jié)正弦例 4. 如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M、 N分別是AB、 PC中點。（ 1）求證：MN/平面PAD；（ 2）求證：MN CD；（ 3）若PDA=45°，求證：MN平面PCD。點評： 應(yīng)用線

8、面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與平面外直線平行的直線。處理有關(guān)線面垂直和線線垂直的問題，要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，線面垂直又可轉(zhuǎn)化為線線垂直。例 5. 正三棱柱ABCA1 B1C1中，若AB1BC1 ，求證：AB1 A1C 。點評： 證明線線垂直的主要方法是證明線面垂直。例 6. 已知正方體ABCD一 A1Bl C1D1的棱長為a， O為面A1Bl C1D1的中心，求點O到平面C1BD的距離。點評： 本例是通過定理“如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面”（即其中一個平面內(nèi)一點在另一個平面上正射影在兩互相垂直平面的交線

9、上）得到點O到平面C1BD的距離OG的?！灸M試題】一 . 選擇題（每小題5 分，共 60 分）1. 給出四個命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；各對角面是全等矩形的平行六面體一定是長方體；有兩個側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱。其中正確命題的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列四個命題：各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；棱錐的所有面可能都是直角三角形；四棱錐中側(cè)面最多有四個直角三角形。正確的命題有個A. 1B. 2C. 3D. 43. 長方體的一個頂點處的三條棱長之比為1： 2： 3，它的表面積為88，則它的

10、對角線長為（）A. 12B. 24C. 2 14D. 4 144. 湖面上漂著一個球，湖結(jié)冰后將球取出，冰面上留下一個面直徑為24cm，深為8cm的空穴，則該球的半徑是（）A. 8cmB. 12cmC. 13cmD. 8 2cm5. 一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積為側(cè)面積的比是（121412A. 2B. 4C.14D. 26. 已知直線 l 平面 ，直線 m 平面 ，有下面四個命題：/ / l m ；l / /m ； l / /m ； l m / /其中正確的兩個命題是（）A. B. C. D. 7. 若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm，若

11、將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（）A. 6 3cm B. 6cmC. 22 18D. 33 1228. 設(shè)正方體的全面積為24cm ，一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是（）A.6 cm3B. 332cm83 cmC. 343 cmD. 39. 對于直線m、 n 和平面 、 能得出的一個條件是（A.m n，m/ /， n/B.m n，m，nC.m/n，n， mD.m/n，m ， n10. 如果直線 l 、 m與平面、 滿足： l ， l / ， m ， m ，那么必有（）A. 和 l m B. / ，和 m/ C. m/ ，且 l m D. 且11. 已知正方

12、體的八個頂點中，有四個點恰好為正四面體的頂點，則該正四面體的體積與正方體的體積之比為（）A. 1 ：3 B. 1： 2C. 2 ： 3D. 1 ： 312. 向高為 H 的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深 h 的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是（）二 . 填空題（每小題4 分，共 16 分）13. 正方體的全面積是a 2 ，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是。314. 正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5： 2： 8，體積為14cm ，則棱臺的高為15. 正三棱柱的底面邊長為a，過它的一條側(cè)棱上相距為b 的兩點作兩個互相平行的截面，在這兩個截面間的斜三棱柱的側(cè)面積為。16.

13、 已知 、 是兩個不同的平面，m、 n 是平面及 之外的兩條不同的直線，給出四個論 斷： m n ， n ， m 。三 . 解答題（共74 分）17. （ 12 分）正方體ABCD A1B1C1D1中，E、 F、 G分別是棱DA、 DC、 DD 1的中點，試找出過正方體的三個頂點且與平面EFG平行的平面，并證明之。2218. （ 12分）球內(nèi)有相距1cm的兩個平行截面，截面的面積分別是5 cm 和 8 cm ，球心不在截面之間，求球的表面積與體積。19. （ 12 分）一個正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個正三棱錐的表面積。20. （ 12 分） 直角梯形的一個內(nèi)角為45°，下底長為上

14、底長的2 ， 這個梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積是（52 ） ，求這個旋轉(zhuǎn)體的體積。21. （ 12 分）有一塊扇形鐵皮形容器的側(cè)面，并且余下的扇形面（大底面）。（如圖）試求（ 1） AD 應(yīng)取多長？（ 2）容器的容積。OAB，AOB=60°，OA=72cm，要剪下來一個扇形ABCD，作圓臺22. （ 14 分）如圖，正四棱柱ABCD A1B1C1 D1中，底面邊長為2 2 ，側(cè)棱長為4， E、 F分別為AB、 BC的中點，EF BD G 。1）求證：平面B1EF 平面BDD1 B；2）求點D1到平面B1EF 的距離d；3）求三棱錐B1 EFD1 的體積V。OCD內(nèi)剪

15、下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺形容器的下底16. m n，m ，n（或 m ， n ，m n）參考答案.1. B2. B3. C4. C5. A6. D7. B8. D9. C10. A11. D12. B. 13.2 a214. 2cm15. 3ab. 17. 證明： 過A、C、D1的平面與平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、DD1 的中點可得GE/ AD1 ，GF/ CD1 ， GE 平面EFG， GF 平面 EFG又 AD1 CD1D1EFG/平面ACD1AD1/ 平面AEG， CD1 / 平面 EFG18. 解：如圖，設(shè)兩平行截面半徑分別為r1 和 r2，且r2r122依題

16、意，r15 ，r28r125， r228OA1和 OA2都是球的半徑ROO1R r1R 5OO2R2 r22R2 8R2 5 R2 8 1解得R29 R 322S球4 R 36 (cm )423V球R 36 (cm )319. 解：由三視圖知正三棱錐的高為2mm由左視圖知正三棱錐的底面三角形的高為2 3mm3a 2 3 a 4設(shè)底面邊長為a，則2正三棱柱的表面積S S側(cè)2S底3 4 2 2 1 4 2 3 24 8 3(mm2)220. 解：如圖，梯形ABC，D AB/CD，A=90°，B=45°，繞AB邊旋轉(zhuǎn)一周后形成一圓柱和一圓錐的組合體。CD設(shè)3x， AB x2AD則

17、xAB CD2S全面積S圓柱底S圓柱側(cè)BC 2 x2S圓錐側(cè)AD 2 2 AD CD AD BC2x422522 x4x xx 2x2252根據(jù)題設(shè)4(52) ，則 x 2V AD 2 CD所以旋轉(zhuǎn)體體積2AD 2 (AB CD) 312 2 3 12 (3 2)21. 解：如圖，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r 、 R、 AD=x，則OD 72 x60AB 2 R7218060CD 2 r 60(72 x)180OD 72 x 3RR 12， r 6， x 36AD 36cm2)又圓臺的高h= x2(R r)2362 (12 6)26 35122V h(R2 Rr r2)31226 35 (122 12 6 62)33504 35 (cm )22. 證明：（1 ）如圖，連結(jié)ACABCDA1 B1C1 D 1的底面呈正方形ACBD 又ACD1D AC平面BDD 1B1E、F 分別為AB、BC的中點E