八個有趣模型搞定外接球內(nèi)切球問題)

1、有用標準八個好玩模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）pppcccabcccabbaaabpo2cbbcababa圖1圖2圖3圖4方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式22 r2222rabc，即a2b2c2 ，求出 r例 1 （ 1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4 ，體積為 16 ，就這個球的表面積是（）a 16b 20c 24d 32（ 2）如三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ，就其外接球的表面積是（ 3）在正三棱錐sabc中， m 、 n 分別是棱sc、bc的中點，且ammn , 如側(cè)棱 sa23 , 就正三棱

2、錐 sabc外接球的表面積是（ 4） 在四周體sabc 中，sa平面abc ，bac120, saac2, ab1, 就該四周體的外接球的表面積為（）a.11b.7c.103d. 403（ 5） 假如三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6 、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面積是文檔大全有用標準（ 6）已知某幾何體的三視圖如下列圖，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，就該幾何體外接球的體積為類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1題設(shè)：如圖5， pa平面 abc解題步驟：第一步：將abc 畫在小圓面上，a 為小圓直徑的一個端點，作小圓的直p徑 ad ，連接 pd ，

3、就 pd 必過球心 o ；o其次步：o1 為abc 的外心，所以oo1平面 abc ，算出小圓o1 的半aco1d徑 o1dr （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得b圖5a sin ab sin bc sin c2r ）， oo11 pa ；2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：2r2pa 22r 22rpa22r 2 ；22 rr2oo1rr 2oo 212題設(shè)： 如圖 6，7，8， p 的射影是abc 的外心三棱錐 pabc的三條側(cè)棱相等三棱錐 pabc 的底面abc 在圓錐的底上，頂點p 點也是圓錐的頂點ppppooooccccao1da bo 1bao 1bao1b圖6圖7

4、-1圖7-2圖8文檔大全有用標準pppaaao22o2bocdbcdbooo圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟：第一步：確定球心o 的位置，取abc 的外心o1 ，就p ,o, o1 三點共線；其次步：先算出小圓o1 的半徑ao1r ，再算出棱錐的高po1h （也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理：oa22o1 a2o1o22rhr2r，解出 r方法二： 小圓直徑參加構(gòu)造大圓；例 2一個幾何體的三視圖如右圖所示，就該幾何體外接球的表面積為 c16a 3b 2cd以上都不對3類型三、切瓜模型（兩個平面相互垂直）ppppoooacao1bbcao1bcao 1c b圖 9-1圖 9-2圖 9-3圖9-

5、41題設(shè)：如圖9-1 ，平面 pac平面 abc ，且 abbc （即 ac 為小圓的直徑）第一步：易知球心o 必是pac 的外心，即pac 的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑ac2 r ；其次步：在pac 中，可依據(jù)正弦定理文檔大全a sin ab sin bc sin c2r ，求出 r有用標準2如圖 9-2 ，平面 pac平面 abc ，且 abbc （即 ac 為小圓的直徑）oc 2o c 2o o 2r 2r 2o o 2ac2r2o o 211113如圖 9-3 ，平面 pac平面 abc ，且 abbc （即 ac 為小圓的直徑） ，且 p 的射影是abc 的外心三棱錐 p錐的頂點

6、 解題步驟：abc 的三條側(cè)棱相等三棱 pabc的底面abc 在圓錐的底上，頂點p 點也是圓第一步：確定球心o 的位置，取abc 的外心o1 ，就p ,o, o1 三點共線；其次步：先算出小圓o1 的半徑ao1r ，再算出棱錐的高po1h （也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理：oa2o a 2o o 2r2hr 2r 2 ，解出 r114如圖 9-3 ，平面 pac平面 abc ，且 abbc （即 ac 為小圓的直徑） ，且 paac ，就利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：2 r2pa 22r 22rpa22r 2 ； r222roo1r r 2oo 21例 3 （1）正四棱錐的頂點都在同一

7、球面上，如該棱錐的高為1，底面邊長為23 ，就該球的表面積為；（ 2）正四棱錐sabcd的底面邊長和各側(cè)棱長都為2 ，各頂點都在同一個球面上，就此球的體積為（ 3）在三棱錐 pabc中， papbpc3 , 側(cè)棱 pa 與底面 abc 所成的角為 60 ，就該三棱錐外接球的體積為（）4ab.c. 4d.33文檔大全有用標準（ 4）已知三棱錐s abc的全部頂點都在球o 的求面上 ,abc是邊長為1的正三角形 ,sc 為球o 的直徑, 且 sc2 ，就此棱錐的體積為（） a2322abcd6632類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）c11a 1o 2ab 1ocao1abc1c1o

8、2a1bo 2b11oocco 1bao1 b圖10-1圖10-2圖10-3題設(shè)：如圖10-1 ，圖 10-2 ，圖 10-3, 直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心o 的位置，o1是abc 的外心，就oo1平面 abc ；其次步：算出小圓o1 的半徑ao1r ， oo11 aa121 h （2aa1h 也是圓柱的高） ；第三步：勾股定理：oa22o1 a2o1or2h 2r 2r2r 2h 22，解出 r例 4 （1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，9且該六棱柱的體積為，底面周長為3 ，

9、就這個球的體積為8（ 2）直三棱柱abca1b1c1 的各頂點都在同一球面上，如abacaa12 ,bac120，就此球的表面積等于；文檔大全有用標準（ 3）已知eab 所在的平面與矩形abcd 所在的平面相互垂直，eaeb3, ad2,aeb60，就多面體 eabcd的外接球的表面積為；（ 4）在直三棱柱abca1b1c1 中， ab4, ac6, a, aa134 就直三棱柱abca1b1c1 的外接球的表面積為類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 如圖 11a'oh 2dh 1aecb圖11第一步：先畫出如下列圖的圖形，將bcd 畫在小圓上，找出b

10、cd 和a bd 的外心h 1 和h 2 ；其次步：過h 1 和h 2 分別作平面bcd 和平面a bd 的垂線，兩垂線的交點即為球心o ，連接oe,oc ；第三步：解oeh 1 ，算出oh 1 ，在 rtoch1 中，勾股定理：oh 1ch 1oc 222例 5 三棱錐 pabc中，平面pac平面 abc ， pac 和abc 均為邊長為2 的正三角形，就三棱錐 pabc外接球的半徑為.類型六、對棱相等模型（補形為長方體）文檔大全有用標準題設(shè)：三棱錐（即四周體） 中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑 （ ab第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；cd ，adbc ，acbd

11、）其次步： 設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b, c ， adbcx ， abcdy ， acbdz ，列方程組，a 2b 2x2b 2c2y2c2a 2z22 r2a 2b2c2x2y2z2，2axdyyczz補充： vabcdabc1 abc46c1bbaabcx3第三步：依據(jù)墻角模型，2ra2b2c2xyz222，2圖12x2y 2z2x 2y 2z2r2，8r，求出 r ，8例如，正四周體的外接球半徑可用此法；例 6（ 1）棱長為 2 的正四周體的四個頂點都在同一個球面上，如過該球球心的一個截面如圖，就圖中三角形 正四周體的截面 的面積是.（ 2）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上

12、，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，就該正三棱錐的體積是（）(1) 題po 2c3 3333abcdp43412oabo1b（ 3）在三棱錐abcd 中， abcd2, adbc3, acbd4, 就三1題解答圖棱錐 abcd外接球的表面積為；（ 4）如下列圖三棱錐表面積為.a bcd ，其中abcd5, acbd6, adbc7, 就該三棱錐外接球的文檔大全有用標準（ 5）正四周體的各條棱長都為2 ，就該正面體外接球的體積為類型七、兩直角三角形拼接在一起 斜邊相同 , 也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐 模型pbcoa圖 13題設(shè)：apbacb90 ，求三棱錐pabc外接球半徑（分析：取

13、公共的斜邊的中點o ，連接op,oc ，就 oaobocop1 ab ，o 為三棱錐p2abc外接球球心， 然后在 ocp 中求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值；例 7（1）在矩形abcd 中 ， ab4， bc3 ，沿 ac 將矩形 abcd 折成一個直二面角bacd ，就四周體abcd 的外接球的體積為（）125a12125b9125c6125d3（ 2）在矩形 abcd 中，ab2 ， bc3 ，沿 bd 將矩形abcd折疊， 連接 ac ，所得三棱錐abcd的外接球的表面積為類型八、錐體的內(nèi)切球問題文檔大全有用標準1題設(shè)：

14、如圖14，三棱錐 pabcp上正三棱錐，求其外接球的半徑；第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，1e, h分別是兩個三角形的外心；eoac其次步：求dhbd ， po3phr， pd 是側(cè)面abp 的高；hdb第三步：由poe 相像于pdh ，建立等式：oedhpo ，解出 rpd圖142題設(shè)：如圖15，四棱錐 pabc上正四棱錐，求其外接球的半徑p第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，p, o, h三點共線；其次步：求fh1 bc ， po2phr， pf 是側(cè)面pcd 的高；g oade第三步：由pog 相像于pfh ，建立等式：oghfpo，解出pfhfb c圖 153題設(shè)：三棱錐pabc是任意三棱錐，

15、求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；其次步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ，建立等式：vp abcvo abcvopabvo pacvopbcvpabc1s abcr31spabr31spacr31spbcr31 s3abcs pabspacs pbc r第三步：解出r3vpabcsoabcso pabso pacso pbc習(xí)題：1如三棱錐 sabc的三條側(cè)棱兩兩垂直， 且 sa2 ，sbsc4 ，就該三棱錐的外接球半徑為（）a. 3b.6c. 36d. 92 三棱錐 sabc中， 側(cè)棱 sa平面 abc ，底面 abc 是邊長為3 的正三角形，sa23 ，就該三棱錐的外接球體積等于3正三棱錐s于.abc中，