拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)-文檔資料

1、.1二、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)二、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)例例1.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交拋物線相交,兩交點(diǎn)為兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(1)|AB|=x1+x2+p (2)通徑長為通徑長為2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直線若直線AB的傾斜角為的傾斜角為,則則|AB|=2p/sin2 (5)以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(6)焦點(diǎn)焦點(diǎn)F對對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。OyABF112(7)AFBFp.2x xy yo oAABBFxOyABF過拋

2、物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交相交,兩交點(diǎn)為兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(1)|AB|=x1+x2+p (2)通徑長為通徑長為2p.3AXyOFBl lA1M1B1M過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩兩交點(diǎn)為交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(5)以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.222111證明：如圖，AABBAFBFABMM故以故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.4XyFAOBA1B1過拋物線過拋物線y2=2px(

3、p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩兩交點(diǎn)為交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(6)焦點(diǎn)焦點(diǎn)F對對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。12345600023563518049090AFB 證明：如圖，1=， 4=，又 14，1，即.5過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩兩交點(diǎn)為交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 證明：思路分析：韋達(dá)定理證明：思路分析：韋達(dá)定理01ABx當(dāng)軸時，pppp易得A（ ， ），B（ ，- ），

4、2222224pypx11y-，x；02 AB斜率存在時設(shè)為k，（k0）p則直線AB方程為y=k（x- ）22px2代入拋物線方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxpp1xxOyABF.62222212224212222()2220(2244ypxpyp mypxmyypmypy ypyyppppp 12即：（定值）x x定值）2pABxmymR設(shè)方 程法 二 ： 由 題 知 AB不為， （與 x軸 平 行）xOyABF.7QPBA,為點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足，解：過)0 ,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(

5、),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩兩交點(diǎn)為交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法法3：利用性質(zhì)焦點(diǎn)：利用性質(zhì)焦點(diǎn)F對對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為在準(zhǔn)線上射影的張角為90 。.8代入拋物線得代入拋物線得y2ms，練習(xí)練習(xí) (1).若直線過定點(diǎn)若直線過定點(diǎn)M(s,0)(s0)與拋物線與拋物線y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps

6、.證明：設(shè)證明：設(shè)AB 的方程為的方程為=ms（m）2222121222224yypsx xsppp（）122syyp (2). 若直線與拋物線若直線與拋物線y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn) (s,0)(s0)證明證明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相減得11122pAByyxxyy直線方程為（）21121022yyy ypxpx令得2112ypx12因為，y y =-2ps代入上式得0 xsABs 直線必過點(diǎn)（ ， ）lyy2=2pxAMxB.9過拋物線

7、過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩兩交點(diǎn)為交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(4)若直線若直線AB的傾斜角為的傾斜角為,則則|AB|=2p/sin2 xOyABF證明證明: 思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|= 12xxp0190pp20（）時，k不存在，pp易得A（ ， ），B（ ，- ），222pAB =2P=sin 9002290tantankyxpx12p（ ）時，斜率，直線方程為（）22p然后聯(lián)立方程組用韋達(dá)定理得 ABxsin思考：焦點(diǎn)弦何時最短？思考：焦點(diǎn)弦何時最短？過焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短過焦點(diǎn)的所有

8、弦中，通徑最短.1012121212121222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppx xxxxxxxpppxxpxOyABF過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩兩交點(diǎn)為交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則112AFBFp.11例例2.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F的一條直線和的一條直線和拋物線相交于拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準(zhǔn)線于交準(zhǔn)線于C,則直線則直線CB平行

9、于拋線的對稱軸平行于拋線的對稱軸.22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12證明 設(shè)直線的方程代入得設(shè)（x， ），（x ， ）則xC1111ypyppy=，x=-聯(lián)立得（- ，-）x222x121221y yypyy11c211pypyy-y2x22p|BCX軸yFABCO.12例例2.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F的一條直線和的一條直線和拋物線相交于拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過過B作作BC準(zhǔn)線準(zhǔn)線l,垂足為垂足為C,則則AC過原點(diǎn)過原點(diǎn)O共線共線. 22221212:,2,220.ABpxmyypxypm

10、ypAyByy yp 12證明 設(shè)直線的方程代入得設(shè)（x， ），（x ， ）則|BX軸2Cyp（-， ），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk|OC OAO且共點(diǎn) ，ACO直線過點(diǎn)yFABCO.13例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的上的兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且OAOB， 1. 求求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； 2. 求證：直線求證：直線AB過定點(diǎn)；過定點(diǎn)； 3. 求弦求弦AB中點(diǎn)中點(diǎn)P的軌跡方程；的軌跡方程； 4. 求求AOB面積的最小值；面積的最小值； 5. 求求O在在AB上的射影上的

11、射影M軌跡方程軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題二、拋物線中的直角三角形問題.14例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且OAOB， (1) 求求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； 解答解答 (1)設(shè)設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，中點(diǎn)，中點(diǎn)P(x0, y0)， 2211,xykxykOBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 022212221 yypypy y10, y20, y1y2= 4p2 x1x2=4p2.15例例3.3. A

12、、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且OAOB，(2) 求證：直線求證：直線AB過定點(diǎn)；過定點(diǎn)；解答解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1 y2)(y1+y2) = 2p(x1 x2)2121212yypxxyy 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直線線21112122yypxyyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB過定點(diǎn)過定點(diǎn)T(2p, 0).16)2,2(2kpkpA同理，同理， 以代以代k得得B(2pk

13、2, -2pk) .k1 )1()1(0220kkpykkpx例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且OAOB， (3) 求弦求弦AB中點(diǎn)中點(diǎn)P的軌跡方程；的軌跡方程； 2)1(1222kkkk2)(200 pypx即即 y02 = px0-2p2， 中點(diǎn)中點(diǎn)M軌跡方程軌跡方程 y2 = px-2p2(3)設(shè)設(shè)OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: k 0， .17|)|(|)|(|212121yypyyOTSSSBOMAOMAOB(4)2214|2pyyp 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時，等號成立時，等號成立. 例例3.3

14、. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且OAOB，(4)求求AOB面積的最小值；面積的最小值；.18(5)法一：設(shè)法一：設(shè)M(x3, y3), 則則 33xykOM33yxkAB )(:3333xxyxyyAB 得代入即pxyxyyxyx2)(23333, 02223323332pxxpyyxpyy例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M軌跡方程軌跡方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 23323422ppxxpy 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 點(diǎn)點(diǎn)M軌跡方程為軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉去掉(0, 0).19 M在以在以O(shè)T為直徑的圓上為直徑的圓上 點(diǎn)點(diǎn)M軌跡方程為軌跡方程為(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉 (0, 0). 評注：此類問題要充分利用評注：此類問題要充分利用(2)的結(jié)論的結(jié)論. OMT=90 , 又又OT為定線段為定線段法二：法二： AB過定點(diǎn)過定點(diǎn)T(2p, 0).7.7. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且上