八年級(jí)幾何輔助線專題訓(xùn)練

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載常見(jiàn)的幫助線的作法1. 等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2. 倍長(zhǎng)中線 ：倍長(zhǎng)中線， 使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形3. 角平分線在三種添幫助線：（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，（ 2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形； （ 3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形；4. 垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端： 在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形；5. 用“截長(zhǎng)法”或

2、“補(bǔ)短法”： 遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng)，6. 圖形補(bǔ)全法 ：有一個(gè)角為60 度或 120 度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形 .7. 角度數(shù)為 30 度、 60 度的作垂線法 ：遇到三角形中的一個(gè)角為30 度或 60 度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特別直角三角形，然后運(yùn)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣 可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角；從而為證明全等三角形制造邊、角之間的相等條件；8. 面積方法 ：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的學(xué)問(wèn)解答一、等腰三角形“三線合一”法學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.如圖

3、，已知 abc 中， a 90°， ab ac ，be 平分 abc ，cebd 于 e，求證： ce= bd.中考連接：（ 2021.揚(yáng)州，第7 題， 3 分）如圖，已知aob=60°，點(diǎn) p 在邊 oa 上，op=12，點(diǎn) m ， n 在邊 ob 上， pm =pn，如 mn =2，就 om =（）a 3b 4c 5d 6二、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等a例 1、（“期望杯”試題）已知，如圖abc中， ab=5，ac=3，就中線 ad的取值范疇是 .bdc例 2、如圖，abc中，e、f 分別在 ab、ac上，dedf，d是中點(diǎn)， 試比較 be+cf與 ef的大小 .aefbd

4、c例 3、如圖， abc中， bd=dc=a，ce 是 dc的中點(diǎn)，求證： ad平分 bae.abdec中考連接：學(xué)習(xí)必備歡迎下載（09 崇文）以的兩邊 ab、ac 為腰分別向外作等腰rtabc和等腰 rtace ，badcae90 , 連接 de，m、n 分別是 bc、de 的中點(diǎn)探究： am 與 de的關(guān)系 （ 1）如圖當(dāng)abc 為直角三角形時(shí)，am與 de的位置關(guān)系是，線段 am 與 de 的數(shù)量關(guān)系是；（ 2）將圖中的等腰 rtabd 繞點(diǎn) a 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)0<<90后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生轉(zhuǎn)變？并說(shuō)明理由三、借助角平分線造全等1、如圖，已知在 a

5、bc中， b=60°， abc的角平分線 ad,ce相交于點(diǎn) o，求證： oe=odaeobdc2、如圖，已知點(diǎn)c 是 man的平分線上一點(diǎn)， ceab于 e， b、d 分別在學(xué)習(xí)必備歡迎下載am 、an 上，且 ae=（ad+ab ）.問(wèn)： 1 和 2 有何關(guān)系？中考連接：20xx年北京 如圖， op 是 mon 的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以op 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形；請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法， 解答以下問(wèn)題：（ 1）如圖，在 abc 中， acb 是直角， b=60°， ad、ce 分別是bac、 bca 的平分線， ad、ce 相交于點(diǎn) f；請(qǐng)你判定

6、并寫出fe 與fd 之間的數(shù)量關(guān)系；（ 2）如圖，在 abc 中，假如 acb 不是直角， 而1中的其它條件不變， 請(qǐng)問(wèn)，你在1中所得結(jié)論是否仍舊成立？如成立，請(qǐng)證明； 如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；bmbeedfdfopa圖ncac圖圖四,垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端1. （ 2021.廣西賀州，第17 題 3 分）如圖，等腰abc 中， ab=ac，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 dbc =15°， ab 的垂直平分線mn 交 ac 于點(diǎn) d ，就 a 的度數(shù)是2、如圖， abc中， ad平分 bac，dg bc且平分 bc，de ab于 e，df ac于 f.（1）說(shuō)明 be=cf的理由；（2）假如 ab

7、=a ， ac=b ，求 ae、be的長(zhǎng).aebgcfd中考連接：（ 20xx 年廣東汕尾，第19 題 7 分）如圖，在rt abc 中， b=90°，分別以點(diǎn)a、c 為圓心，大于ac 長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)m 、n，連接 mn ，與 ac、bc 分別交于點(diǎn)d、e，連接 ae（ 1）求 ade ；（直接寫出結(jié)果）（ 2）當(dāng) ab=3， ac=5 時(shí)，求 abe 的周長(zhǎng)補(bǔ)充：尺規(guī)作圖過(guò)直線外一點(diǎn)做已知直線的垂線五、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，abc 中， ab=2ac， ad平分bac ，且 ad=bd，求證： cd ac學(xué)習(xí)必備歡迎下載acbd2、如圖， ad bc，ea,eb分別平分 d

8、ab,cba， cd過(guò)點(diǎn) e，求證 ;abad+bc；adebc3、如圖，已知在 abc 內(nèi)，bac060，c400 ，p，q分別在 bc，ca上，并且 ap， bq分別是bac ，abc 的角平分線；求證： bq+aq=ab+bpabqpc4、如圖，在四邊形 abcd中， bcba,adcd，bd平分abc ，求證：aac180 0dbc5. 如圖，已知正方形 abcd 中，e 為 bc 邊上任意一點(diǎn)，af 平分 dae 求證： aebedf學(xué)習(xí)必備歡迎下載6.如圖， abc 中， abc=60°，ad 、ce 分別平分 bac ，acb ，判定 ac的長(zhǎng)與 ae+cd 的大小關(guān)系

9、并證明 .7.如圖， rtabc 中， acb=90°，cdab 于 d，af 平分 cab 交 cd 于 e，交 cb 于 f，且 egab 交 cb 于 g，判定 cf 與 gb 的大小關(guān)系并證明；a d六、綜合f1、正方形 abcd中， e 為 bc上的一點(diǎn)， f 為 cd上的一點(diǎn)，b ec學(xué)習(xí)必備歡迎下載be+df=e，f 求 eaf的度數(shù).2、如圖，abc 為等邊三角形， 點(diǎn) m , n 分別在與 bn 交于 q 點(diǎn)；求aqn 的度數(shù)；bc, ac 上，且 bmcn ，am3、已知四邊形 abcd 中， abad ， bccd ， abbc ， abc120 ， mbn60

10、 ， mbn繞 b 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ad，dc（或它們的延長(zhǎng)線）于 e，f 當(dāng)mbn 當(dāng)mbn繞 b 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 aecf 時(shí)（如圖 1），易證 aecfef 繞 b 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 aecf 時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情形下，上述結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)賜予證明；如不成立，線段ae，cf數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明， ef 又有怎樣的abemaab embc fdncfdnfcdnem（圖 1）（圖 2）（圖 3）b4 、d為等腰 rtabc 斜邊 ab 的中點(diǎn)， dmdn,dm,dn分別交 bc,caa于e點(diǎn) e,f；mcfa（1） 當(dāng)mdn 繞點(diǎn) d 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 de=d；f（

11、2） 如 ab=2，求四邊形 decf的面積；n學(xué)習(xí)必備歡迎下載5、在等邊abc 的兩邊 ab 、ac 所在直線上分別有兩點(diǎn)m 、n，d 為abc外一點(diǎn)，且mdn60 ,bdc120,bd=dc.探究：當(dāng) m 、n 分別在直線 ab 、ac 上移動(dòng)時(shí)， bm 、nc 、mn 之間的數(shù)量關(guān)系及amn 的周長(zhǎng) q 與等邊abc的周長(zhǎng) l 的關(guān)系圖 1圖 2圖 3（i）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) m 、n 邊 ab 、ac 上，且 dm=dn時(shí)， bm 、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系是； 此時(shí) q；l（ ii）如圖 2，點(diǎn) m 、n 邊 ab 、ac 上，且當(dāng) dmdn 時(shí)，猜想（ i）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論仍成立嗎？寫出你

12、的猜想并加以證明；（ iii ） 如圖 3，當(dāng) m 、n 分別在邊 ab 、ca 的延長(zhǎng)線上時(shí)， 如 an= x ，就 q=（用 x 、l 表示）中考連接：（ 2021.撫順第 25 題（ 12 分）已知： rta bc rtabc ， a cb=acb=90°， a bc= abc=60°， rta bc可繞點(diǎn) b 旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線cc和 aa 相交學(xué)習(xí)必備歡迎下載于點(diǎn) d（1）如圖 1 所示，當(dāng)點(diǎn) c在 ab 邊上時(shí)，判定線段ad 和線段 a d 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將 rta bc由圖 1 的位置旋轉(zhuǎn)到圖 2 的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？

13、如成立，請(qǐng)證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將 rta bc由圖 1 的位置按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（ 0° ）1，20當(dāng)° a 、 c、a三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)參考答案與提示一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例 1、（“期望杯” 試題）已知，如圖 abc中，ab=5，ac=3，就中線 ad的取值范疇是 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：延長(zhǎng)ad至 e 使 ae2ad，連 be，由三角形性質(zhì)知aab-be <2ad<ab+be故 ad的取值范疇是1<ad<4bdc例 2、如圖， abc中， e、f 分別在 ab、 ac上， de df， d 是中點(diǎn)，試比較

14、be+cf與 ef的大小 .a解： 倍長(zhǎng)中線 , 等腰三角形“三線合一”法 延長(zhǎng) fd至 g使 fg2ef，連 bg， eg,e明顯 bg fc，在 efg中，留意到dedf，由等腰三角形的三線合一知 eg ef在 beg中，由三角形性質(zhì)知eg<bg+be故： ef<be+fcfbdc例 3、如圖， abc中， bd=dc=a，c e 是 dc的中點(diǎn)，求證：ad平分 bae.abdec解：延長(zhǎng)ae至 g使 ag2ae，連 bg， dg,明顯 dg ac， gdc=acd由于 dc=ac，故 adc= dac在 adb 與 adg 中 ， bd ac=dg， ad ad， adb=

15、adc+acd= adc+ gdc adg故 adb adg，故有 bad= dag，即 ad平分 bae學(xué)習(xí)必備歡迎下載應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊ab 、ac為腰分別向外作等腰abcrtabd和 等 腰rtace ，badcae90 , 連接 de， m 、n分別是 bc、de 的中點(diǎn)探究：am 與de 的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（ 1）如圖當(dāng)abc 為直角三角形時(shí)，am 與de的位置關(guān)系是，線段 am 與de 的數(shù)量關(guān)系是；（ 2）將圖中的等腰rtabd 繞點(diǎn) a 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)0<<90 后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生轉(zhuǎn)變？并說(shuō)明理由解：（ 1） ed2

16、am， amed ；證明：延長(zhǎng)am 到 g，使 mgam ，連 bg，就 abgc 是平行四邊形 acbg ，abgbac180d又daebacabgdae180nhe再證：daeabg de2am ，bagedaa延 長(zhǎng) mn 交 de 于 hbaghda ameddah90bcmdah90g（ 2）結(jié)論仍舊成立證明：如圖，延長(zhǎng)ca 至 f，使 acfa ，fa 交 de 于點(diǎn) p，并連接bf daba ， eaaffbaf90dafeadd在fab 和ead 中npfaaeebafeadabadafabead （ sas）bmc學(xué)習(xí)必備歡迎下載 bfde ，faenfpdfapeaen90

17、 fbde又 caaf ， cmmb am /fb ，且 am1 fb2 amde ， am1 de2二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，abc 中， ab=2ac， ad平分bac ，且 ad=bd，求證： cd ac解：（截長(zhǎng)法）在ab上取中點(diǎn)f，連 fd adb是等腰三角形，f 是底 ab中點(diǎn)，由三線合一知 df ab，故 afd 90° adf adc（sas） acd afd90°即： cd ac2、如圖， ad bc， ea,eb 分別平分 dab,cba， cd過(guò)點(diǎn) e，求證 ;ab ad+bc解：（截長(zhǎng)法）在ab上取點(diǎn) f，使 af ad，連 fead ade afe（s

18、as） ade afe，e ade+ bce 180° afe+ bfe 180°bc故 ecb efb fbe cbe（aas） 故有 bf bc從而 ;ab ad+bc學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、如圖，已知在abc內(nèi)，bac060，c400 ， p，q分別在 bc， ca上，并且 ap，abq分別是bac ，abc 的角平分線；求證：bq+aq=ab+bp解：（補(bǔ)短法 ,運(yùn)算數(shù)值法）延長(zhǎng)ab至 d，使 bd bp，連 dp在等腰 bpd中，可得 bdp 40°b從而 bdp 40° acpq adp acp（asa）p故 ad ac又 qbc 40°

19、; qcb故 bqqcbd bpc從而 bq+aq=ab+bp4、如圖，在四邊形abcd中， bc ba,ad cd， bd平分abc ，求證：ac180 0a解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)ba 至 f，使 bf bc，連 fdd bdf bdc（sas）故 dfb dcb， fddc又 ad cd故在等腰 bfd中 dfb dafbc故有 bad+ bcd 180°5、如圖在 abc中， abac， 1 2， p 為 ad上任意一點(diǎn)，求證;ab-ac pb-pc學(xué)習(xí)必備歡迎下載a12pbcd解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)ac至 f，使 af ab，連 pd abp afp（sas） 故 bp pf由三角形

20、性質(zhì)知pb pc pf pc < cf af acab ac應(yīng)用：分析： 此題連接 ac，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過(guò)證明三角形全等解決它們的問(wèn)題；解：有 bcadae連接 ac，過(guò) e 作 ef / bc 并 ac 于 f 點(diǎn)ad就可證aef 為等邊三角形即 aeef ，aefafe60cfe120又 ad / bc ，b60efbad120bc又dec60ade學(xué)習(xí)必備歡迎下載aedfec在ade 與fce 中eadcfe， aeef ，aedfecadefce adfc bcadae點(diǎn)評(píng)： 此題的解法比較新奇，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角

21、形的問(wèn)題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決；三、四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在abc中， b=60°， abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證： oe=o，ddc+ae =ac證明角平分線在三種添幫助線, 運(yùn)算數(shù)值法 b=60 度,就 bac+ bca=120度;ad,ce 均為角平分線 ,a就 oac+ oca=60 度=aoe= cod;aoc=120度.在 ac 上截取線段 af=ae, 連接 of.e又 ao=ao; oae= oafo.就 oae oafsas,oe=of;ae=af;bc daof= aoe=60 度.就 cof= aoc- aof=60度= co

22、d;又 co=co; ocd= ocf.故 ocd ocfsas, od=of;cd=cf.oe=od dc+ae=cf+af=ac.2、如圖， abc中， ad平分 bac， dg bc且平分 bc， de ab于 e， df ac于 f.（ 1）說(shuō)明 be=cf的理由；（ 2）假如 ab=a ， ac=b ，求 ae、be的長(zhǎng) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載解： 垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端 連接 bd， dcadg垂直平分bc， 故 bddc由于 ad平分 bac， de ab 于 e， df ac于 f，故有 ed df故 rt dbe rt dfc（ hl） 故有 becf；ab+ac2aeae（ a

23、+b） /2 be=a-b/2應(yīng)用：ebgc fd1、如圖， op 是 mon 的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以op 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形；請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問(wèn)題：（ 1）如圖， 在 abc 中， acb 是直角， b=60 °，ad 、ce 分別是 bac、bca的平分線， ad、 ce 相交于點(diǎn)f ；請(qǐng)你判定并寫出fe 與 fd 之間的數(shù)量關(guān)系；（ 2）如圖，在abc 中，假如 acb 不是直角，而1中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在 1 中所得結(jié)論是否仍舊成立？如成立，請(qǐng)證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；bmbeedfdfopa圖nca圖第 23 題圖 圖c解

24、：（ 1） fe 與 fd 之間的數(shù)量關(guān)系為fefd（ 2）答：（ 1）中的結(jié)論fefd 仍舊成立；證法一： 如圖 1，在 ac 上截取 agae ，連結(jié) fg1aef2 ， af 為公共邊，agfafeafg ， fefgb60，ad 、ce 分別是bac 、bca的平分線befd學(xué)習(xí)必備歡迎下載23afecfg60cfd 60afg603cfg4 及 fc 為公共邊cfd fgfd fefd證法二： 如圖 2，過(guò)點(diǎn) f 分別作 fgab 于點(diǎn) g， fhbc 于點(diǎn) hb60，ad 、ce 分別是bac 、bca的平分線b可得2360， f 是abc 的內(nèi)心gef601， fhfge gdf

25、h又hdfb114gefhdf23可證egfdhfac圖 2 fefd五、旋轉(zhuǎn)例 1 正方形 abcd中，e 為 bc上的一點(diǎn)， f 為 cd上的一點(diǎn)， be+df=ef，求 eaf的度數(shù) .證明：將三角形adf 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度，至三角形adabg就 ge=gb+be=df+be=eff又 ae=ae ，af=ag ，所以三角形 aef 全等于 aeg所以 eaf= gae= bae+ gab= bae+ dafbec又 eaf+ bae+ daf=90所以 eaf=45 度例 2 d 為等腰 rtabc 斜邊 ab的中點(diǎn)， dm dn,dm,dn分別交 bc,ca于點(diǎn) e,f

26、 ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1) 當(dāng)mdn 繞點(diǎn) d轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證de=df；(2) 如 ab=2，求四邊形decf的面積；解： 運(yùn)算數(shù)值法 （1）連接 dc，d為等腰 rtabc 斜邊 ab 的中點(diǎn)，故有cd ab， cd da cd平分 bca 90°， ecd dca 45°由于 dm dn，有 edn90°由于 cd ab，有 cda 90° 從而 cde fda 故有 cde adf（ asa）故有 de=df（ 2）s abc=2, s四 decf= s acd=1例 3 如圖，abc 是邊長(zhǎng)為3 的等邊三角形，bdc 是等腰三角形，且bdc0120

27、 ，以 d 為頂點(diǎn)做一個(gè)600 角， 使其兩邊分別交ab于點(diǎn) m，交 ac于點(diǎn) n，連接 mn，就amn的周長(zhǎng)為；解： 圖形補(bǔ)全法 ,“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”,運(yùn)算數(shù)值法 ac 的延長(zhǎng)線與bd 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) f，在線段cf 上取點(diǎn) e，使 cebm學(xué)習(xí)必備歡迎下載 abc 為等邊三角形，bcd 為等腰三角形，且bdc=12°0， mbd= mbc+ dbc=6°0+30°=90°， dce=18°0- acd=18°0- abd=90° ，又 bm=ce ， bd=cd ， cde bdm ， cde= bdm ， de=d

28、m ， nde= ndc+ cde= ndc+ bdm= bdc- mdn=12°0在 dmn 和 den 中，dm=demdn= edn=60° dn=dn dmn den ， mn=ne在 dma 和 def 中，dm=de-60 °=60°，mda=60° - mdb=60° - cde= edf cde= bdm dam= dfe=30° dmn denaas ， ma=feamn 的周長(zhǎng)為 an+mn+am=an+ne+ef=af=6應(yīng)用：1 、 已 知 四 邊 形 abcd 中 ， abad ， bccd ， a

29、bbc ， abc120， mbn60于 e，f ， mbn繞 b 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ad，dc（或它們的延長(zhǎng)線）當(dāng)mbn 當(dāng)mbn繞 b 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到aecf 時(shí)（如圖1），易證 aecfef 繞 b 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到aecf 時(shí)，在圖2 和圖 3 這兩種情形下，上述結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)賜予證明；如不成立，線段ae，cf ， ef 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出學(xué)習(xí)必備歡迎下載你的猜想，不需證明abemaabembcfdncfdnfcdnem（圖 1）（圖 2）（圖 3）解：（ 1） abad ， bccd ， abbc ， aecfabecbf（ sas）；abecbf ， bebfabc120

30、，mbn60abecbf30 ，bef 為等邊三角形 beefbf ， cfae1 be2 aecfbeef（ 2）圖 2 成立，圖3 不成立；證明圖 2，延長(zhǎng) dc 至點(diǎn) k ，使 ckae ，連接 bk就baebcka bebk ，abekbcbemfbe60，abc120fbcfbckbfabe60kbc60fbe60kcfd nkbf kfef kccf圖 2ebfef即 aecfef圖 3 不成立， ae、cf、ef 的關(guān)系是aecfef2、（西城 09 年一模） 已知 :pa=2 ,pb=4, 以 ab為一邊作正方形abcd,使 p、d 兩點(diǎn)落在直線 ab的兩側(cè) .(1) 如圖 ,

31、 當(dāng) apb=45°時(shí) , 求 ab及 pd的長(zhǎng) ;(2) 當(dāng) apb變化 , 且其它條件不變時(shí), 求 pd的最大值 , 及相應(yīng) apb的大小 .分析：（ 1）作幫助線， 過(guò)點(diǎn) a 作 aepb 于點(diǎn) e，在 rtpae學(xué)習(xí)必備歡迎下載中，已知ape ， ap 的值，依據(jù)三角函數(shù)可將ae， pe 的值求出，由pb 的值，可求be的值，在rt abe 中，依據(jù)勾股定理可將ab 的值求出；求pd 的值有兩種解法，解法一：可將pad 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到p ab ，可得padp ab ，求 pd 長(zhǎng)即為求p b 的長(zhǎng)，在rt app中，可將pp 的值求出，在rt pp b 中，依

32、據(jù)勾股定理可將p b 的值求出；解法二：過(guò)點(diǎn)p 作 ab 的平行線，與da 的延長(zhǎng)線交于f，交 pb 于 g，在 rt aeg 中，可求出 ag， eg 的長(zhǎng)，進(jìn)而可知pg 的值，在勾股定理可將pd 的值求出；rt pfg 中，可求出pf，在 rtpdf中，依據(jù)（ 2）將pad 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ，得到p ab ，pd 的最大值即為p b 的最大值，故當(dāng) p 、p、b 三點(diǎn)共線時(shí)，p b 取得最大值，依據(jù)p bpppb 可求p b 的最大值，此時(shí)apb180app135 解：（ 1）如圖，作aepb 于點(diǎn) ed rtpae 中，apb45 ， pa2 aepe pb4 bepb2212

33、pe3capeb在 rtabe 中，aeb90 abae 2be 210解法一： 如圖， 由于四邊形abcd 為正方形， 可將將pad 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到p ab ，可得padp ab ， pdp b ， pap adpap90 ，app45 ，p pb90c pp pd2， pa222p bpppb224 225 ；papeb解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)p 作 ab 的平行線，與da 的延長(zhǎng)線交于f，設(shè) da 的延長(zhǎng)線交pb于 g在 rtaeg 中，可得 agcosaeeagcosaeabe10， eg31 ， pgpe3eg2d3在 rt在 rtpfg pdf中，可得 pf中，可得pg

34、cosfpgpg cosabe10 ， fg10515cagp f eb學(xué)習(xí)必備歡迎下載pdpf 22adagfg2101010515210253（ 2）如下列圖， 將pad 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 , 得到的最大值p ab ，pd 的最大值， 即為 p bpp b 中， p bpppb ， pp2 pa2 ， pb4 且 p、d 兩點(diǎn)落在直線ab 的兩側(cè)當(dāng) p 、p、b 三點(diǎn)共線時(shí)，dp b 取得最大值（如圖）dccapp此時(shí) p bppbpb6 ，即p b 的最大值為6appb此時(shí)apb180app1353、在等邊abc 的兩邊 ab 、ac 所在直線上分別有兩點(diǎn)m 、n， d 為abc

35、 外一點(diǎn)，且mdn60,bdc120,bd=dc.探究：當(dāng)m 、n 分別在直線ab 、ac 上移動(dòng)時(shí)，bm 、nc 、mn 之間的數(shù)量關(guān)系及amn 的周長(zhǎng) q 與等邊abc 的周長(zhǎng) l 的關(guān)系圖 1圖 2圖 3（i ）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) m 、n 邊 ab 、ac 上，且 dm=dn時(shí)， bm 、 nc 、mn 之間的數(shù)量關(guān)系是； 此時(shí) q；l（ii ）如圖 2，點(diǎn) m 、n 邊 ab 、ac 上，且當(dāng) dmdn 時(shí)，猜想（ i）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論仍學(xué)習(xí)必備歡迎下載成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（iii ） 如圖 3，當(dāng) m 、n 分別在邊ab 、ca 的延長(zhǎng)線上時(shí)，如 an= x ，就 q=（用 x 、 l 表示）分 析 ：（ 1 ） 如 果dmdn，dmndnm， 因 為bddc， 那 么dbcdcb30 ，也就有mbdncd603090，直角三角形mbd 、ncd中，由于bddc， dmdn ，依據(jù)hl定理，兩三角形全等；那么bmnc ，bmddnc60 ，三角形ncd 中，ndc30 ， dn2nc ，在三角形dnm 中，dmdn，mdn60， 因 此 三 角 形dmn是 個(gè) 等 邊 三 角 形 ， 因 此mndn2ncncbm，三角形amn 的周長(zhǎng) qamanmnamanmbncabac2ab