北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件8閉區(qū)間上

1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間ixfxfxfxfxfxfixixxfi 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若

2、區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.21, 310,)(xxxxxf有間斷點(diǎn)有間斷點(diǎn)x=1,最小值為最小值為0，無最大值。，無最大值。xyo)(xfy 1 2定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(mxfm 有有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf二、介值定理二、介值定理定義定義: :.)(, 0)(000的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果

3、xfxxfx .),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 證證,)()(cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax cafa )()( 且且cbfb )()( , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf 幾何解釋幾何解釋:mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交

4、點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .mm例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaaf

5、baxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxf 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxfaafaf )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即三、小結(jié)三、小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)

6、法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)f(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理;思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點(diǎn)點(diǎn).思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無無零零點(diǎn)點(diǎn).一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個(gè)正根，并且它不超過少有一個(gè)正根，并且它不超過ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 21 則在則在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21 . .三、三、 設(shè)