數(shù)量積、向量積

1、三維向量空間中向量的內(nèi)積來源于物理和三維向量空間中向量的內(nèi)積來源于物理和幾何背景?？紤]物理問題：幾何背景。考慮物理問題： f1例例1.1解解: 所做功 w = f1 sssf1= |f| |s|cos (f, s)= f s.f 8.2 數(shù)量積 向量積一、兩向量的數(shù)量積 , 設(shè)， 為 兩個(gè)向量， 記與的夾角為， 稱數(shù)，cos| 為向量， 的數(shù)量積，記為， 即 | |cos,.(1.1)或記為)., ( 1、數(shù)量積定義(i) ; (ii) ;(iii) ;(iv) 0, 且 = 0 當(dāng)且僅當(dāng) = 0.交換律分配律非負(fù)性 ； coscos; 2、性質(zhì)數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：;abba

2、 （2）分配律：;)(cbcacba （3）若 為數(shù) ),()()(bababa 若 、 為數(shù)： ).()()(baba 證明（1）、（3）由定義可證余下證明（2）3,3 ,36q 例：設(shè)=, =1,= ,求向量p=2的夾角p qp q解：由數(shù)量積的定義知，cos(p,q)22(23 )(3)6733516 373322p q 而 2222323412934 3 1239392p 239 36 31192q 515151cos,arccos2 39 192 7412 741p qp q所以,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,k

3、ji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式3.數(shù)量積得坐標(biāo)表示 = (x1, y1, z1) r3,| | | | = = x1 x1 y1 y1 z1 z1 ，222111|.xyz = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) r3， 垂直于 的充要條件為cos = 0.也即 = x1 x2 y1 y2 z1 z2 = 0.若 /, 則有 0，使 = . = ( ) ( )= 2 ( )cos(,)| | = ( )= 2| | 2.=1 0,1 0.= | |2. 1,1,4,1,2 , 2,1;2;3.

4、例 ： 已 知求求與的 夾 角求在上 的 投 影 11112429 2222114182221223 91cos,3 182 34 3cospr j pr3j 解： 定理 (chauchy-schwarz不等式）向量的數(shù)量積滿足| | |, 其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)向量 和 線性相關(guān). 22|),(,|),(422|),(),(|),(),(2),(222|),(|. 0。所以| ),( |二、兩個(gè)向量二、兩個(gè)向量的的向量積向量積在前面介紹的向量加法與減法時(shí)我們知道，兩向量之和或差仍然是一個(gè)向量，但在介紹向量的數(shù)量積時(shí)卻發(fā)現(xiàn)， 不再是一個(gè)向量而是一個(gè)數(shù)了，因此，我們?nèi)韵Ｍ胂蛄康哪撤N“積”運(yùn)算，

5、使之結(jié)果仍為一個(gè)向量，構(gòu)造的準(zhǔn)則之一: 有實(shí)際應(yīng)用.mbl| |=, 稱為角速度向量. = | r |sin =| | | r| sin考察一個(gè)剛體繞一軸 l 作旋轉(zhuǎn)，剛體上任意一點(diǎn)就產(chǎn)生線速度 v ，它的大小等于點(diǎn) m 到旋轉(zhuǎn)軸的距離乘旋轉(zhuǎn)角速度 . 方向垂直于過 l 及 m 的平面.vrv 的方向與 , r 都垂直.=| | | r |sin(, r ). / l 軸，滿足a| v |= | mb| 則定義定義1：設(shè) , r3，定義 = r3 滿足ii) 的指向按右手法則從 轉(zhuǎn)到 確定且與 , 所在平面垂直.由此知上例中稱 為向量 和 的向量積.v = r .i) | | = | | |

6、| sin(, )，性質(zhì)性質(zhì)i) ij=k , j k=i, k i=j,ii) =0, 特別有ii=j j=k k=0,iii) , r3 為非零向量，則 / =0.運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律，設(shè) , , r3 , 則i) = ; ii) ( + ) = + ;iii) ( ) = ( ) = ( ). 向量積的坐標(biāo)表示：設(shè) =(x1, y1, z1), =(x2, y2, z2) =(x1i+y1j+z1k)(x2i + y2 j +z2 k)= x1y2 ij + x1z2 ik+y1x2 j i+ y1z2 j k+ z1x2 ki+ z1y2 kj= x1y2 k + x1z2 (j)+y1x

7、2 (k)+ y1z2 i+ z1x2 j+ z1y2 (i)=( y1z2 z1y2 )i+(z1x2 x1z2) j+ (x1y2 y1x2)kkyyxxjzzxxizzyy212121212121 .zz 212121kyyjxxi例例1求以 = (2, 1, 1), =(1, 1, 2)為兩邊的平行四邊形的面積.解：解：s=| |.s=| | | sin( , )而s=| |21 11 12k jikji11 1221 1221 11= i5j 3k = (1, 5, 3),.35)3()5(1222兩非零向量 與 線性相關(guān)(共線)的充要條件是存在不為零的實(shí)數(shù) ，使 = .設(shè) = (a

8、x,ay,az), = (ax,ay,az),則 與 共線的充要條件是 .zzyyxxbababa有了向量積概念后，我們又得：兩非零向量共線的充要條件是 0 .例例 已知向量(2, 3, 1), (3, 9, 6,), 求 ， 2。2解解693132kji,27927kji 2.541854kji 2例例 求同時(shí)垂直于向量(2,3, 1); = (1,2,3,) 且模等于 的向量 。3解解設(shè) (cx , cy , cz) ,321132kji.57kji由向量積的定義知所求向量 與 共線，因此有7xc又因5yc1zc)., 0(rttt2222549ttt,3222zyxccc, 3752t為

9、所求。故51, 1,57得得.51t即定義定義 設(shè)有三個(gè)向量, , , 稱 與 的向量積 再與向量 的數(shù)量積(內(nèi)積)為向量, , 的混合積，記作 (, , ), (,) () (3.1)即即設(shè)向量 (ax, ay, az), zyxzyxbbbaaakjiibbaazyzy則有 = (cx, cy, cz), (bx, by, bz),jbbaazxzx, kbbaayxyx)(由行列式的性質(zhì)有xzyzycbbaa)(.zyxzyxzyxcccbbbaaa(3.2)式 (3.2) 稱為混合積 (, , ) 的坐標(biāo)表示。 yzxzxcbbaa.zyxyxcbbaa給定三個(gè)向量、 ，它們的混合積有

10、不同的組合形式，如 ( ), ( ), ( ), ( ) 等等，除了它們都是實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)外，還有其它聯(lián)系嗎？下面我們從幾何上尋找它們的另一共性。不妨設(shè), , 不在同一平面上. 令 ，由矢量積的幾何意義 | | 表示以 , 為相鄰兩條邊的平行四邊形的面積，由數(shù)量積定義有)(,cos其中,cos是 在上的投影.以空間一點(diǎn)o為始點(diǎn)，作三個(gè)向量、 始于o點(diǎn)，以這三個(gè)向量為棱作一平行六面體，如圖33所示。o =圖圖3-3當(dāng) ,20，即 , , 成右手系時(shí)，cos就是， 所在底面上的高。即為平行六面體的體積。)(因此v.)(若, , 共面，則由 垂直 所在的平面，得 垂直于，故( ) = 0; 反之，若( ) = 0; 則 垂直于，而 垂直于 和 ，故 , , 共面，因此有定理定理 三向量, , 共面的充要條件是 ( ) = 0。運(yùn)算性質(zhì)：運(yùn)算性質(zhì)：.例例3 求由不在一個(gè)平面上的空間四點(diǎn) a(x1, y1, z1), b( x2, y2, z2), c( x3, y3, z3), d ( x4, y4, z