高一數(shù)學(xué)必修一第二講函數(shù)的概念 意義概念(老師)

1、歐博教育 高一數(shù)學(xué) 內(nèi)部資料 翻版必究第二講 函數(shù)及其表示1、函數(shù)的概念一、考點(diǎn)聚焦1函數(shù)的定義函數(shù)概念的理解需注意以下幾點(diǎn)：A、B都是非空數(shù)集，因此定義域（或值域）為空集的函數(shù)不存在。在現(xiàn)代定義中，B不一定是函數(shù)的值域，如函數(shù)中稱為實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的函數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是函數(shù)的三要素，缺一不可，其中對(duì)應(yīng)關(guān)系是核心，定義域是根本，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系已確定，則值域也就確定了。函數(shù)符號(hào)的含義：是表示一個(gè)整體，一個(gè)函數(shù)，而記號(hào)“”可以看作是對(duì)“”施加的某種法則（或運(yùn)算），如當(dāng)時(shí)，可看作是對(duì)“2”施加了這樣的運(yùn)算法則：先平方，再減去它與2的積，再加上3；當(dāng)為某一個(gè)代數(shù)式（或某一個(gè)函數(shù)記號(hào)）時(shí)，則

2、左右兩邊的所有都用同一個(gè)代數(shù)式（或函數(shù)記號(hào)）代替，如等，與的區(qū)別就在于前者是函數(shù)值，是常數(shù)；而后者是因變量，是變量。2函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的一般原則是：如果為整式，其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R；如果為分式，其定義域是使分母不為0的實(shí)數(shù)集合；如果是二次根式（偶次根式），其定義域使根號(hào)內(nèi)的式子不小于0的實(shí)數(shù)集合；如果是由以上幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，其定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；的定義域是如果是實(shí)際問題，除應(yīng)考慮解析式本身有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義；不給出解析式，已知的定義域?yàn)椋瑒t的定義域是求使的的取值范圍；已知的定義域?yàn)锳，則的定義域是求在A上的值域。3函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則與的區(qū)別與聯(lián)系

3、：表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量，而是自變量的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量，是的一個(gè)特殊值。如一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是一常量。當(dāng)法則所施加的對(duì)象與解析式中表述的對(duì)象不一致時(shí)，該解析式不能正確施加法則，比如，左端是對(duì)施加法則，右端也是關(guān)于的解析式，這時(shí)此式是以為自變量的函數(shù)的解析式；而對(duì)于，左端表示對(duì)施加法則，右端是關(guān)于的解析式，二者并不統(tǒng)一，這時(shí)此式既不是關(guān)于的函數(shù)解析式，也不是關(guān)于的函數(shù)解析式。4函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法（1）觀察法：（2）配方法： （3）反比例函數(shù)法： （4）反表示法（后續(xù)還會(huì)學(xué)習(xí)不等式法、單調(diào)性法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法等，希望同學(xué)們不斷學(xué)習(xí)，不斷總結(jié)）5、相同函數(shù)的定義。定

4、義域、對(duì)應(yīng)法則相同。注意：定義域、值域相同的函數(shù)不一定為相同函數(shù)。6區(qū)間的概念注意對(duì)于區(qū)間或等，一定滿足，它和不等式有區(qū)別。二、點(diǎn)擊考點(diǎn)考題1（1）、由下列式子是否能確定是的函數(shù)？；考題2已知四組函數(shù)：；其中表示同一函數(shù)的是（ ）A沒有B僅有 C僅有 D有解析在中的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?；在中兩函?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故中的兩個(gè)函數(shù)不是相同的函數(shù)。在中，且兩函數(shù)定義域均為R，故中兩函數(shù)表示同一函數(shù)。在中雖然自變量用不同的字母表示，但兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以表示同一函數(shù)，故選C。點(diǎn)評(píng)只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也

5、就不同。（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同的。（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？碱}3求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）解析（1）令故函數(shù)的定義域?yàn)椋?）令故函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)評(píng)分式要使分母不為零；二次根式要使根號(hào)內(nèi)的式子非負(fù)。考題4（1）已知求；（2）已知若求；（3）已知的定義域?yàn)?，且，若，求解析?duì)于（1），求該函數(shù)的函數(shù)值，要本著“先內(nèi)后外，逐層擊破”的原則。對(duì)于（2），誰(shuí)的函數(shù)值是10呢？從而產(chǎn)生分類討論。對(duì)于（3），聯(lián)系已知中有9，未知中有3，抽象函數(shù)關(guān)系式中有式子，所以必有解：（1），（2）當(dāng)時(shí)，

6、，當(dāng)時(shí)，（舍去，）。由以上可知（3）令，則即點(diǎn)評(píng)已知函數(shù)解析式，求某個(gè)數(shù)的函數(shù)值，只要將這個(gè)數(shù)代入函數(shù)解析式，就可求出它的函數(shù)值。問題（3）中的函數(shù)，由于沒有具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們稱之為抽象函數(shù)。解決抽象函數(shù)的有關(guān)問題，常常采用“特殊值法”，達(dá)到化抽象為具體的目的?？碱}5已知的值域?yàn)?，試求的值域。解析因?yàn)?，所以令，則且，所以所以即為所求。評(píng)注本題利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題?？碱}6已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析由所給式子，確定出對(duì)的限制，再轉(zhuǎn)化為方程根的問題。依題意，要使函數(shù)有意義，必須.要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，必須方程無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程的判別式，即，綜上可得時(shí)，已知函

7、數(shù)的定義域?yàn)镽。點(diǎn)評(píng)由函數(shù)的定義域概念，得到了構(gòu)造不等式（組）的途徑，然后再處理這個(gè)不等式得到的范圍?？碱}7求下列函數(shù)的值域。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解析由值域的定義所有函數(shù)值的集合可知，求函數(shù)的值域可看作求出所有函數(shù)值的問題，可由定義域逐步推出函數(shù)值的集合值域。（1）將分別代入計(jì)算得：函數(shù)的值域?yàn)?（2）運(yùn)用觀察法可知：的值域是函數(shù)的定義域?yàn)椋?即的值域?yàn)椋?），且定義域?yàn)?，（反比例函?shù)法），的值域是（4），函數(shù)的定義域?yàn)镽。又，（運(yùn)用不等式法），函數(shù)的值域?yàn)椋?），（運(yùn)用配方式）， 函數(shù)的值域?yàn)椋?），（運(yùn)用配方法）且，函數(shù)的值域是.2函數(shù)的表示法一、考點(diǎn)聚焦1函數(shù)的

8、表示方法（1）表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法。2映射的概念設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)A中任一元素，在B中有且僅有一個(gè)元素與對(duì)應(yīng)，則稱是集合A到集合B的映射，記作A中元素稱為原象，A所對(duì)應(yīng)的B中的元素稱為象。映射這個(gè)概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：集合A到B的映射，A、B必須是非空集合（可以是數(shù)集，也可以是其他集合）；對(duì)應(yīng)關(guān)系有“方向性”。即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；A中元素的象是集合B的子集。A中元素與B中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以是：一對(duì)一、多對(duì)一，但不能一對(duì)多。3映射與函數(shù)（1）映射，其中A、B是兩個(gè)“非空集合”；而函數(shù)為“非空的實(shí)

9、數(shù)集”，其值域也是實(shí)數(shù)集，于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射。由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射。4分段函數(shù)有些函數(shù)在其定義域中，對(duì)于自變量的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的表達(dá)式因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同表達(dá)式，所以它的圖象也由幾部分構(gòu)成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段，而分段函數(shù)的值域也是各部分上的函數(shù)值的取值集合的并集，最好的求解辦法是“圖象法”。重要的是，分段函數(shù)雖由幾部分構(gòu)成，但它代表的是一個(gè)函數(shù)。二、點(diǎn)擊考點(diǎn)：考題1如圖直角梯形OABC中，直線截該梯形所得位于左邊圖形面積為S，則函數(shù)的圖象大致為（ ）

10、分析根據(jù);，求出面積的函數(shù)關(guān)系式，由分析圖象。解析當(dāng)時(shí)，陰影為直角三角形，它的面積為當(dāng)時(shí)，陰影為梯形，它的面積為它的圖象應(yīng)為C?？碱}2（1）圖中各圖表示的對(duì)應(yīng)構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)是（ ）A3B4C5D6（2）已知在映射作用下的象是在在作用下的象。若在作用下的象是，求它的原象。解析（1）這三個(gè)圖所表示的對(duì)應(yīng)都符合映射的定義，即A中每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)法則下，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。對(duì)于，A的每一個(gè)元素與B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是A到B的映射。對(duì)于，A中的元素在B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是A到B的映射。綜上可知，能構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)為3。選A。（2），在作用下的象是 解得或在作用下的原象是和點(diǎn)評(píng)（1

11、）從集合M到集合P的映射，是指按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合M的任何一個(gè)元素，在集合P中都有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)。由此可知，映射應(yīng)滿足存在性（即集合M中的每一個(gè)元素在集合P中都有對(duì)應(yīng)元素）和唯一性（即集合M中的每一個(gè)元素在集合P中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)）。（2）集合A到集合B中元素對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以是“多對(duì)一”，也可以是“一對(duì)一”，但不能是“一對(duì)多”。（3）已知映射及原象，求象時(shí)只要代入對(duì)應(yīng)法則即可，已知及象求原象時(shí)，常常是解方程組?？碱}3下列對(duì)應(yīng)是不是從A到B的函數(shù)？是不是從A到B的映射？（1）；（2）三角形的內(nèi)切圓；（3）；（4）分析對(duì)于從A到B的對(duì)應(yīng)，我們也常采用這樣一種記法：設(shè)，則從A到B的對(duì)應(yīng)記

12、為解析（1）取，則，即A中的元素3在B中沒有象，所以（1）不是函數(shù)，也不是映射。（2）由于A、B不是數(shù)集，所以（2）不是函數(shù)，但每個(gè)三角形都有唯一的內(nèi)切圓，所以（2）是A到B的映射。（3）中的每一個(gè)數(shù)都與B中的數(shù)1對(duì)應(yīng)，因此，（3）是A到B的函數(shù)，也就是A到B的映射。（4）取，則由得，即A中的一個(gè)元素0與B中的兩個(gè)元素地應(yīng)，因此，（4）不是A到B的函數(shù)，也不是從A到B的映射。點(diǎn)評(píng)9（1）函數(shù)是一種特殊的映射，是非空數(shù)集間的一種映射。（2）有的同學(xué)問：關(guān)系式是關(guān)于的函數(shù)，那么關(guān)系式是關(guān)于的函數(shù)嗎？對(duì)于關(guān)系式，顯然有，則1與全體實(shí)數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，不符合函數(shù)的定義。因此，“”不是關(guān)于的函數(shù)?？碱}4已

13、知集合是從A到B的映射，求A中元素在B中的對(duì)應(yīng)元素和B中元素在A中的對(duì)應(yīng)元素。解析把代入對(duì)應(yīng)關(guān)系中可求得在B中對(duì)應(yīng)元素，在A中對(duì)應(yīng)的元素可通過列方程組解出。答案將代入對(duì)應(yīng)關(guān)系，可求出其在B中的對(duì)應(yīng)元素由得所以在B中對(duì)應(yīng)元素為在A中對(duì)應(yīng)元素為考題5作出下列函數(shù)的圖象：（1） （2）；（3）解析（1）用段函數(shù)作圖法作函數(shù)的圖象如圖所示，它是由一段拋物線弧和一條射線所組成的。（2）所給函數(shù)可化為如圖所示。（3）先作的圖象，保留軸上方圖象，再把軸下方圖象對(duì)稱翻到軸上方，再把它向上平移1個(gè)單位，即得到的圖象，如圖所示。點(diǎn)評(píng)在初中我們已經(jīng)掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的作圖方法，即：列表描點(diǎn)法。這里

14、我們通過化簡(jiǎn)函數(shù)式，就將較復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)換為我們已熟知的函數(shù)，再作其圖象就不是難事了?？碱}6已知?jiǎng)t的最大值、最小值的情況為（ ）A最大值為3，最小值為B最大值為，無(wú)最小值C最大值為3，無(wú)最小值D無(wú)最大值，無(wú)最小值解析本題是分段函數(shù)，不妨畫出它們的圖象，由圖象找出適合題意的選項(xiàng)。先求出與的交點(diǎn)。由得，當(dāng)時(shí)，解得（舍去），或.當(dāng)時(shí)，解得（舍去），或再畫出與的圖象，根據(jù)題意得到的圖象，如圖，可知存在最大值，此時(shí)，則，不存在最小值。故選B。考題7若不超過的最大整數(shù)，如；試問函數(shù)的圖象與的圖象有多少個(gè)交點(diǎn)？解析作出的圖象如圖所示。由圖象可知函數(shù)的圖象與的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)函數(shù)叫做整數(shù)部函數(shù)，關(guān)鍵是對(duì)函

15、數(shù)準(zhǔn)確理解及作出函數(shù)圖象?？碱}8某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（2）的拋物線表示。（1）寫出圖（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖（2）表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單元：元/千克，時(shí)間單位：天）解析圖（1）是折線，應(yīng)是分段函數(shù)的圖象，并且每段是一次函數(shù)圖象。圖（2）是拋物線，求函數(shù)解析式時(shí)應(yīng)考慮抓住特殊點(diǎn)來考查。對(duì)于（2），純收益即是關(guān)于的函數(shù)，問題

16、即求函數(shù)的最值。答案（1）由圖可得（2）設(shè)從2月1日起的第天的純收益為，則故在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最大值為，由可知，在區(qū)間上的最大值為，這時(shí)，即從2月1日起的第50天上市，西紅柿純收益最大。點(diǎn)評(píng)本題是關(guān)于函數(shù)的圖象、解析式及最值問題的綜合應(yīng)用，注意如何求分段函數(shù)的最值。課后作業(yè)A卷一、選擇題1判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為( C )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函數(shù)y=的定義域是( D )A-1x1 Bx-1或x1 C0x1 D-1，13函數(shù)的值域是( B )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中：A=R，B=(0，

17、+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是從集合A到集合B的映射的個(gè)數(shù)是( B )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列說法中不正確的是( D ) A A中每個(gè)元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有兩個(gè)原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A與B必須是非空的數(shù)集6點(diǎn)(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求點(diǎn)(4，6)在f下的原象( A )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0x4， Q=y|0y2，下列各表達(dá)式中不表

18、示從P到Q的映射的是( C )Ay= By= Cy=x Dy=x28下列圖象能夠成為某個(gè)函數(shù)圖象的是( C ) 9函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)數(shù)目是( C )A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素對(duì)應(yīng)，則的值分別為( D )A B C D11已知，若，則的值是 ( D )A B或 C，或 D12為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象適當(dāng)平移，這個(gè)平移是( D )A沿軸向右平移個(gè)單位 B沿軸向右平移個(gè)單位C沿軸向左平移個(gè)單位 D沿軸向左平移個(gè)單位二、填空題1設(shè)函數(shù)則實(shí)數(shù)的取值范圍是_a-1_2函數(shù)的定義域_x±2_3函數(shù)f(x)=3x-5在區(qū)間上的值域是_-14x13_4若二次函數(shù)的圖象與x軸交于，且函數(shù)的最大值為，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是_y=-x2+2x+8_5函數(shù)的定義域是_x0_6函數(shù)的最小值是_-5/4_三、解答題1求函數(shù)的定義域x-12求