第八章多元函數(shù)微分法及其

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念p)( | )(e )(pe, . ., .滿足條件記作的集合的有序實數(shù)對就是滿足某種條件平面點集平面上點的集合是同一概念平面上的點與數(shù)對集的一些概念必須熟悉有關平面上點元函數(shù)之前在具體研究二因此的集合定義域將是坐標平面上二元函數(shù)軸上的點集一元函數(shù)的定義域是數(shù)平面點集一x,yx,yx,y.,;:.,| ),(),()()( | ),(.,| ),(;,| ),(;,| ),(:22222212的某一個圓鄰域可以包含的任意一個方鄰域內反之的某一個方鄰域以包含的任意一個圓鄰域內可點質這兩種鄰域具有如下性方鄰域的稱為點平面點集圓鄰域的稱為點平面

2、點集的圓內所有點的全體半徑為是平面上以原點為圓心是矩形上點的全體代表全平面例如aaaaabxaxyxbaabyaxyxrryxyxcbycbxayxeyxyxr),(,;,41 | ),(1).(.,.,.)(),(),(),(,| ),()()(0),(),(,),()(,022100222閉集沒有聚點的集合也稱為顯然為閉集則稱的一切聚點都屬于若集合為開集則稱若的內點及邊界點研究平面點集例內點一定是聚點為聚點稱無限多個點的任意領域內含有點集若點邊界點外點內點連通等概念區(qū)域閉域開域閉集開集界點內點以下介紹聚點是平面點集設來表示或并用記號或集的空心鄰域是指平面點點表示或泛指這兩種鄰域用鄰域的點區(qū)

3、別地用將不加包含關系除非特別指明由于兩種鄰域這種相互eeeaaayxyxededcbaeauaubayxbyaxyxbyaxyxbaaauaua.0| ),(;1; c | ),( ;| ),(.,e,eqde .41 | ),(; .,| ),(212222212是開集但不是開域集合為區(qū)域例為閉域為開域如為區(qū)域分邊界點的集合統(tǒng)稱閉域或開域連同它的部開域為閉城合稱開域連用它的邊界的集為開域則稱折線連接起來的都可用一條包含于與中任意兩點若非空開集既非開集也非閉集而既是開集又是閉集與空集全平面上點的集合有聚點沒有內點也沒是閉集皆為正整數(shù)平面點集例xyyxbybxayxeryxyxcyxyxcrey

4、xyx 1 , 0,1| ),()(1 4),(, 52 3.,),( .),(),(|,)(),(),( ,),(, 1.,),0 , 0(), 0(,2222值域為平面上的圖域的定義域是函數(shù)例其值域為整個坐標平面面其定義域是的圖象是空間的一個平函數(shù)例平面上的投影區(qū)域的曲面在函數(shù)的定義域就是空間二元的圖象是空間的曲面通常二元函數(shù)稱為該函數(shù)的值域數(shù)集稱為因變量稱為自變量稱為函數(shù)的定義域點集或記為的函數(shù)或點的二元函數(shù)是變量則稱的值和它對應按照一定法則總有確定變量如果對于每個點是平面上的一個點集設定義二元函數(shù)二否則稱為無界點集為有界點集則稱示坐標原點表其中使得存在某個正數(shù)若平面點集yxyxxyyx

5、zyxzxyyxfzdyxyxfzzzyxdpfzyxfzpx,yzzdyxpdeorvere元函數(shù)概念義如二元函數(shù)情形可以定維歐化空間記作維空間稱為具有這種距離性質的重合與當見僅當且述三個條件離滿足下可以證明這樣定義的距為距離定義與維空間的點坐標稱為這個點的數(shù)維空間的點稱為個有序實數(shù)組其中每一個維空間構成元函數(shù)維歐氏空間與三nrnnpppppppppppppppppxxppxxxpxxxpnxxxnxxxnnnirxxxxnnnniiinnnnin),(),(),()3( ),(),()2(;, 0),(, 0),() 1 (.)(),(),(),(.,),(., 2 , 1,),(.322

6、131122121212112)2()1(21)2()2(2)2(12)1()1 (2)1(11212121或記作時的極限當為函數(shù)則稱常數(shù)成立都有的一切點使得對于適合不等式總存在正數(shù)數(shù)如果對于任意給定的正的內點或界點是內有定義或閉區(qū)域在開區(qū)域設函數(shù)定義多元函數(shù)的極限四空間的一個超平面以設想這點集描繪了我們可從幾何意義看維空間的一個超平面表示時當表示空間上一個平面時當表示平面上一條直線時當方程,),(lim,),(,),(,),()()(0, 0,.),(,)(),(:.,|),(,(.,3 ,3 ,2,000020200000111ayxfyyxxyxfaayxfdyxpyyxxppdyxpd

7、yxfrreppfpnnnndxcyyxxnnniii.111sin,.,),(),(),(),(lim,),(,)(),(.,), 0(),(22220000000000000上沒有定義在圓周例如函數(shù)形成一條曲線二元函數(shù)的間斷點可以為間斷點稱否則處連續(xù)在則函數(shù)如果的內點或邊界點且是內有定義或閉區(qū)域在開區(qū)域設函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)性五二重極限叫我們把二元函數(shù)的極限為了區(qū)別一元函數(shù)極限其中yxyxypyxpyxfyxfyxfdpdyxpyxfppayxfyyxx)()(lim .,., )(2)( 1.,000pfpfppp即的函數(shù)值則極限就是函數(shù)在該點的定義域內函數(shù)處的極限而該點又在此如果要求它在的

8、連續(xù)性由多元函數(shù)內的區(qū)域或閉區(qū)域區(qū)域是指包含在定義域所謂定義定義域內連續(xù)一切多元初等函數(shù)在其介值定理性質最值原理性質元函數(shù)也有如下性質在有界閉區(qū)域上多形類似與閉區(qū)域上一元函數(shù)情證畢有時所以于是內討論的方鄰域在先限制點因為證依定義驗證例14277,) 1 , 2(),( , 0)12(715277 , 72 , 53 ,11, 12| ),(1) 1 , 2(3122 ) 1)(1() 1(2)2()2)(2( ) 1(2)4(7 :7)(lim12222222222)1 , 2(),(yxyxyxyxyxyxyxyxyyxyxyyyxxyyyyxxxyxyxyxyxyxyxyxxxykxyyx

9、xyyxfyxfxyxyxyyxyxfyxyx)sin(lim4)0()0 , 0(),(. 30),(lim:0 00,1sin1sin),(. 22022)0, 0(),(求例形式方式趨于考慮以處的極限在點討論例求證設例),(|,|,|,|),(),(,),(),(lim),(),(,),(),(. ),(00000000000000000000000略的偏導數(shù)相應地可以定義對編導數(shù)記作的處對在則稱此極限為函數(shù)存在如果量相應地函數(shù)有增時處有增量在而固定在當?shù)哪骋活I域內有定義在點設函數(shù)偏導數(shù)定義及其計算法一偏導數(shù)第二節(jié)yfzxzxfxyxyxfzxyxfyxxfyxfyxxfxxxyyyxy

10、xfzyxxyyxxxyyxxyyxxx.,),(,),(),(lim),(),(),(,.),(),(),(,),(),(,.,.),(.,),(),(0000000函數(shù)的方法它們的求法仍然是一元為定義域的內點其中的偏導數(shù)可以定義為處對在點例如至三元及多元情形偏導數(shù)的概念可以推廣處的函數(shù)值在點就是偏導函數(shù)的偏導數(shù)處對在點由偏導數(shù)概念可知從而等記作的偏導函數(shù)對自變量稱為函數(shù)的函數(shù)那么這個偏導數(shù)就是的偏導數(shù)都存在處對內每一點在區(qū)域如果函數(shù)zyxxzyxfzyxxfzyxfxzyxzyxfuyxyxfyxfxyxyxffzzfxzxfxyxfzyxxyxdyxfzxxxxxxxx)( 1. ),(

11、. 5),(.)0 , 0(0 , 00,),(. 4.)sin(3.)0(2 .) 3 , 1 (2),(122222232323導數(shù)符號那樣進行運算本例說明偏導數(shù)不能像求證為常量程已知理想氣體的狀態(tài)方例考慮但函數(shù)仍然可能不連續(xù)本題說明偏導數(shù)存在的偏導數(shù)在點求函數(shù)例的偏導數(shù)求三元函數(shù)例的偏導數(shù)求函數(shù)例偏導數(shù)的和關于在點求函數(shù)例何意義二元函數(shù)的偏導數(shù)的幾pttvvprrtpvkxyyxyxyxxyyxfzyxuxxzyxyyxxyxfy二階混合偏導數(shù)偏導數(shù)四個二階量求導次序不同有下列的二階偏導數(shù)按照對變則稱它們是函數(shù)數(shù)也存在如果這兩個函數(shù)的偏導內具有偏導數(shù)在區(qū)域設函數(shù)),()(),()(),(

12、)(),()(.),(,),(),(.),(222222yxfyzyzyyxfxyzyzxyxfyxzxzyyxfxzxzxyxfzyxfyxfdyxfyyyyxxyxxyx高階偏導數(shù)二.33222222323,136xzyzyxzxyzxzxyxyyxz及求設例)8, 7(, 018laplace 0ln7.,),(:)(22222222222222222稱為拉普拉斯方程例例其中滿足方程證明函數(shù)例滿足方程驗證例等個二階混合偏導數(shù)必相那么在該區(qū)域內兩內連續(xù)在區(qū)域及的兩個二階混合偏導數(shù)如果函數(shù)定理相等本例中兩個混合偏導數(shù)zyxrzuyuxuruyzxzyxzdyxzxyzyxfz.),(),(,

13、),(),(.,)()(-),( )()(-),( , . 處的全增量在稱為二元函數(shù)的偏微分和對數(shù)對而右端分別叫做二元函的偏增量和對二元函數(shù)對上面兩式左端分別稱為可得微分的關系元函數(shù)微分學中增量與根據一的變化率固變量相對于該自變量變量固定時自的偏導數(shù)表示當另一個二元函數(shù)對某個自變量全微分定義一全微分及其應用第三節(jié)yxpyxfzzyxfyyxxfyxyxyx,yfx,yfyyxfxx,yfx,yfyxxfyx)(,),(),(,),(),(,)()(,),(0 ),(),( ),(),(:22證明是明顯的連續(xù)可微即的全微分記作在點為函數(shù)稱而可微在點稱函數(shù)則有關而僅與不依賴于其中可表示為的全增量在

14、點如果函數(shù)定義ybxadzdzyxyxfzybxayxyxfzyxyxyxbaybxazyxfyyxxfzyxyxfz),(),( ),(),(),(),(),(),( ),(),(),(),(.,),(,),()(),(),(,),(,),(),()(2121,21yxyyxfxyxfyyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyzxzyxfzdyyzdxxzdzyxyxfzyxyxyxfzyxyxffyxyx連續(xù)證則函數(shù)在該點可微分連續(xù)點在的偏導數(shù)如果函數(shù)充分條件定理證明的全微分為在點且函數(shù)的偏導數(shù)必定存在則該函數(shù)在點可微分在點如果函數(shù)必要條

15、件定理)()0 , 0(.0 , 0 0 ,),(. 4.2sin. 3) 1 , 2(. 2. 1),(,.),(),()0, 0( 0. 0, 0, 0, 0,2222222221212121能推出可微本題說明偏導數(shù)存在不點連續(xù)本題在在原點的可微性考察函數(shù)例的全微分計算函數(shù)例處的全微分在計算函數(shù)例的全微分計算函數(shù)例全微分可寫成函數(shù)習慣上是可微分的在從而說明又且當函數(shù)為其中yxyxyxxyyxfeyxuezyyxzdyyzdxxzdzyxfzyxpyxfzyxyxyxyxyzxy.)0 , 0(),(,)0 , 0(,)0 , 0( 0 , 00,1sin)(),( :)0, 0()()0.

16、(),()0 , 0(0 , 00,2),()(22222222222222處可微在點但不連續(xù)處在點都存在的領域內證明在設考察函數(shù)可微性主要考察不可微性及可微性偏導數(shù)存在性不連續(xù)點處的連續(xù)性在能推出連續(xù)本例說明偏導數(shù)存在不考察函數(shù)yxfyfxfyfxfyxyxyxyxyxfdzzffyxyxyxxyyxfyx都存在的任何領域內所以在時當同理所以證yfxfyxyxyxyxyyxyyxfyxyxyxyxxyxxyxfyxyxxyxxyxfyxffxxxfxfyxxyxxx,)0 , 0(0, 0 0,1cos21sin2),(0, 0 0,1cos21sin2),(1cos21sin2),(,0.

17、 0)0 , 0(; 0)0 , 0(, 01sinlim0)0 , 0()0 ,(lim:22222222222222222222222222222000)0 , 0(,)0 , 0(),(01sinlim1sin)(lim)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(lim.)0 , 0(),(;)0 , 0(),(.)21cos1(lim )21cos121sin2(lim),(lim022222200202200dfyxfyxyxyxyfxffyxfyxfyxfxxxxxxyxfyxyxxxxxyx且點可微在所以點也不連續(xù)在同理點不連續(xù)在故不存在又因為tvtutvvztuuztzvu

18、vuvvzuuzzvuvufzdtdvvztduduzdtdztttfzvuvufzttvtu212121)0,(0, 0 .),(),(:(1) ,)(),(,),(),(,)()( 當其中處可微在證列公式計算且其導數(shù)可用下可導在點合函數(shù)則復具有連續(xù)偏導數(shù)在對應點函數(shù)可導都在點及如果函數(shù)定理則多元復合函數(shù)的求導法第四節(jié)tvtuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdztwttfzttvtuwvufzdtdvvzdtduuzdtdzt圖稱為全導數(shù)中的導數(shù)及在公式則同樣可以推得復合而得到復合函數(shù)例如間變量多于兩個的情形數(shù)的中可將定理推廣到復合函用同樣的方法得令) 1 (.(2)(1)

19、(2) ),(),(, )()w(w )(),(),(, , 0且可用下列公式計算的兩個偏導數(shù)存在點在則復合函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)在對應點函數(shù)的偏導數(shù)及對具有對都在點及設類似地則可以推得以下公式復合而成函數(shù)而設例如是多元函數(shù)情形而中間變量不是一元函數(shù)上述定理還可以推廣至圖,),(),(),(),(,),(),(,)()()(),(, ),(),(),(),(),( , )2(yxyxwyxyxfzwvuwvufzyxx,yx,ywwx,yvx,yuxvvzxuuzxzyxyxfzyxvyxuvufztwtvtuz1 1,),(,),(, yfyuuzyzxfxuuzxzywxvyxyxfzyxuy

20、xwyxvyxuzxwwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz從而的特殊情形取取可看作則復合函數(shù)具有偏導數(shù)當特別地2222222222211 sin,cos,),(. 5 ,),(4cos,sin. 3 ,sin),(. 2,sin. 1222urrurruyvxuryrxyxfuyxwxwfxyzzyxfwdtdutveutuvzyuxuyxzezyxfuyzxzyxvxyuveztzyxu證明之下，在極坐標變換的所有二階偏導數(shù)連續(xù)設例及求具有二階連續(xù)偏導數(shù)設例求全導數(shù)而設例和求而設例和求而設例dvvzduuzdzyvvzyuuzyzxvvzxuuzxzydyzxdxzdzyxy

21、xfzyxvyxuyxu,vdvvzduuzdzvufz得式代入而全微分為的則復合函數(shù)續(xù)偏導數(shù)且這兩個函數(shù)也具有連的函數(shù)又是如果則有全微分具有連續(xù)偏導數(shù)設函數(shù)全微分形式不變性)*( , (*) ),(, ),(,),(),(, ,),(yzxzyxvxyuvezvuvuu和求而設重解例利用全微分形式不變性全微分形式不變性這個性質稱為樣的它們的全微分形式是一的函數(shù)還是中間變量的函數(shù)無論是自變量由此可見,sin1 ., 它滿足條件續(xù)導數(shù)的函數(shù)一個單值連續(xù)且具有連確定的某一鄰域內恒能唯一在點則方程且導數(shù)一鄰域內具有連續(xù)的偏的某在點設函數(shù)隱函數(shù)存在定理一個方程的情形一隱函數(shù)求導公式第五節(jié)),f(),(

22、0)f(0),(f0,),f(,),p()f( 1. 0000y0000 xyyxx,yyxyxyxx,y222220000000000000003222200, 04 2z ,z ),(),(),(0),f(, 0),(, 0),(,),(),f( 22 ,),(),(xzzzyxffyffxyxfzyxfzyyxzyxyyxfyyxfzyxpzyxffffffffdxydxyxfffdxdyxfyzyzxzyxyyyxxyyxxyx求設例并有它滿足條件的函數(shù)連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)確定一個單位的某一領域內恒能唯一在點則方程且內具有連續(xù)的偏導數(shù)的某一領域在點設函數(shù)隱函數(shù)存在定理即得導的復合函數(shù)而

23、再一次求上式可看作的二階偏導數(shù)也都連續(xù)如果并有)( ),( ),(),()(0,)g(0,)f(,)(g gf f)(g)(f,j)(0)g(0,)(,)p()g(),f(3 .00000000000000000000000000,yxuv,yxuuyxvvx,yuu,v,u,yxx,y,u,vx,y,u,v,v,u,yxpvuvuu,v,v,u,yx,v,u,yxf,v,u,yxx,y,u,vx,y,u,v它們滿足條件偏導數(shù)的函數(shù)連續(xù)確定一組值連續(xù)且具有的某一領域內恒能唯一在點則方程組不等于零在點或稱雅可比行列式行列式且偏導數(shù)所組成的函數(shù)又續(xù)偏導數(shù)個變量的連的某一領域內具有對各在點設隱函數(shù)存

24、在定理方程組情形二 g g )(g)(f, 1 g g )(yg)(f, 1 g g ) (g)(f, 1 g g )(g)(f, 1vuvuyuyuvuvuvyvyvuvuxuxuvuvuvxvxgffgffu,yjyvgffgff,vjyugffgffxu,jxvgffgffx,vjxuyvxvyuxuxvuxu-yvxvgxuggxvfxuffxyxvyxuyxyxvyxuyxfvuxvux和求設例得式則可解可克萊姆法求導兩邊對由于式可作如下推導,1y 0, 3(*)000),( ),( ,g 0),( ),( ,:(*)試證明都具有一階連續(xù)偏導數(shù)其中的函數(shù)所確定的是由方程而設補充,0)

25、,(),() 1 (ffyxtyxfttxfytfyftfxftftfxudxdyxvxugfyvxugvyvuxfu,),(),()2( 2求具有一階連續(xù)編導數(shù)其中設tzzztyyytxxxzzzyyyxxxzzyyxxmtttzyxmttptwztytxt00000000000000 ),(,),()()()() 1 (. 割線方程為的鄰近一點及對應于的一點上對應于在曲線的參數(shù)方程為設空間曲線面空間曲線的切線與法平一微分法在幾何上的應用第六節(jié).) 1 , 1 , 1 (,10)()()(,.)(),(),(,)()()( .),0(32000000000000000外的切線及法平面方程在點

26、求曲線例因此這法平面方程為為法向量的平面而以點它是通過為曲線的法平面而與切線垂直的平面稱通過點處的一個切向量在點就是曲線向量線的切向量切線的方向向量稱為曲處的切線方程即得曲線在點此時令tztytxzztwyytxxttmmmtwttttwzztyytxxmtmm)()(1 ),(),(),(, 1)()(,)()()2(0) 1(3) 1(2) 1( 312111 ,3 , 2 , 1, 1) 1 , 1 , 1 (,3 ,2 , 1:00000000002xzzxyyxxzyxmxxtxzxyxxxxzxyzyxzyxttztyxttt處的切線方程為從而在此時為參數(shù)的參數(shù)方程形式則可視為以形

27、式給出如果空間曲線方程以法平面方程為于是切線方程為所以參數(shù)所對應的而點因為解故可解得由于求全導數(shù)兩邊對在恒等式以下關鍵是求型從而轉化為從函數(shù)組的某一鄰城內確定了一且的連續(xù)偏導數(shù)有對各個變量又設上的一個點是曲線形式給出的方程以空間曲線處的法平面方程為在點, 0),(),(00.0)(),(,0)(),(,)2(),(),(|),(),(,),(.0),(0),()3(0)()()(),(00000000000zygfjdxdzzfxdydygxgdxdzzfxdydyfxfxxxxgxxxfdxdzdxdyxzxyzygfgfzyxmzyxgzyxfzzyyxxxmzyxzyxzyxzyzyyx

28、yxzyzyxzxzgggfffzyxggffggffxdxdzggffggffxdxdy)( )(0)()()(),(),()( ,)(,)(),(, 100000000000000000000000000zzggffyyggffxxggffzyxmggffzzggffyyggffxxzyxmtggffggffxggffggffxmtxxtyxyxxzxzzyzyyxyxxzxzzyzyzyzyyxyxzyzyxzxz處的法平面方程為在點曲線處的切線方程為在點由此可以寫出曲線此時處的一個切向量在點是曲線于是1, 0 , 11| , 0|1111 1111 ,1,:.) 1 , 2, 1 (0

29、, 62)1 , 2, 1()1 , 2, 1(222tdxzddxdyzyyxzyxydxzdzyxzzyzxdxdydxdzdxdyxdxdzzdxdyyxzyxzyx從而由此得得求導并移項將方程兩邊對解的切線及法平面方程處在點求曲線例)()()( ,)(),(),(),(),(),(, )(,.),(, 0),(.) 1 (.00) 1()2(0) 1(1102110000000000000tzztyytxxtwttzyxmtttuztytxtmyxfzzyxfzxzyxzyx為則可得曲線的切線方程不全為零且對應于點給出為假定其以參數(shù)方程形式點作任意一條曲線過作為它的特殊情形面方程然后把

30、由顯式給出的曲面方程的情形首先討論由隱式給出曲曲面的切平面與法線二即法平面方程為故所求切線方程為)(,(),(, ),(0)(),()(),()(),(0|)(),(),(, 0)(),(),(,.,0000000000000000000000定值引入向量即有得求全導數(shù)兩邊過所以有恒等式上完全在曲面由于曲線的法向量同一平面是尋找關鍵上處的切線都在同一平面它們在點的任何曲線處具有切線且在點點上通過在曲面以下要證明zyxfzyxfzyxfntwzyxftzyxftzyxftwttfdtdttwttfmmmzyxzyxtt1f ),(),(),(),(),(),(;),()2(),(),(),(,)

31、,(0)(,()(,()(,(,.,)(, 0)(),(),(z000000000000000000000000000yxfzyxfzyxfzyxfzyxfzyxfyxfzzyxfzzzyxfyyzyxfxxzyxmzzzyxfyyzyxfxxzyxfnnmtntwtttmyyxxzyxzyx從而令量式形式給出考慮曲面方程以法線方程為法線稱為曲面的而垂直于切平面的直線通過點切平面方程為于是向量切向量的所在平面的法可以充當所有從而垂直總與一固定向量是變化的點的任何曲線的切向量此式說明過我們有從而處的切向量為曲線在.),(),(,),(),()(,()(,(0)()(,()(,(1, ),(, )

32、,(),(,),(),(, ),(),(00000000000000000000000000000上點的豎標的增量處的切平面在點何在表示曲面在幾的全微分在點此時表明函數(shù)或切平面方程為處的法向量為曲面在點連續(xù)時在點的偏導數(shù)當函數(shù)zyxyxfzyxyxfzyyyxfxxyxfzzzzyyyxfxxyxfyxfyxfnzyxmyxyxfyxfyxfyxyxyxyx222222000000011cos,1cos,1cos,1),(),(yxyxyyxxyxffffffffzzzyxfyyyxfxx則法向量的方向系弦為為銳角軸的正身所成的角即使其與向量的方向是向上的并假定法向角表示曲面的法向量的方如果用

33、法線方程為1, 2 , 41,2 ,21,1),(:)4 , 1 , 2(14332211014320)3(6)2(4) 1(2)3 , 2 , 1 (6 , 4 , 22 ,2 ,2,14),(:)3 , 2 , 1 (143)4, 1 , 2(2222)3 , 2, 1(222222nyxffnyxyxfyxzzyxzyxzyxnzyxfffnzyxzyxfzyxyxzyx解處的切平面及法線方程在點求旋轉拋物面例法線方程為即為處此球面的切平面方程所以在點解處的切平面及法線方程在點求球面4() 1(2)2(4)4 , 1 , 2(zyxzyxzyx法線方程為即處的切

34、平面方程為所以在點),()(,lim)()(lim,),(,),(1.,000000000000zyxfpflflpffpfpfpppelzyxpplezyxfpllpi或記作的方向導數(shù)沿方向在點則稱此極限值為函數(shù)存在若的距離兩點間與表示以內的任一點上且含于為的射線出發(fā)為從點內的一點的定義域為函數(shù)設定義方向的變化率往往要研究沿某一特定題中但在許多實際問標軸方向的函數(shù)變化率偏導數(shù)反映沿平行于坐第七節(jié)方向導數(shù)與梯度),()sin,cos(,00000),(lim00yxfyxflfxlyx我們有正向夾角的時候與表示當用的方向導弦為方向其中且的方向導數(shù)都存在任一方向處沿在點則函數(shù)可微在點函數(shù)若導數(shù)與

35、偏導數(shù)的關系是關于沿任一方向的方向軸正向的方向導數(shù)沿平行于在點則的偏導數(shù)存在關于在點若該點極限存在限存在不能方向方向極從而即使一點處的任意極限是單側極限由于方向方向極限方向導數(shù)是一種特殊的注意lpfpfpfpflpfzyxpzyxfthxflfxpfxpfzyxlppcos,cos,coscos)(cos)(cos)()(,),(),(1:,)2(., ) 1 ( :0000000000000則令則有處可微在點由假設我們有圖如之間的距離與為記上任一點為設證, 0)(0cos)(cos)(cos)( )(0)()()()()()(0)()()()()(,coscoscos,),(:0000000

36、000000000zpfpfpfzpfypfxpfpfpfzpfypfxpfpfpfpfzzyyxxpplzyxpzyxzxxzyx:) 1 , 2, 2( :, 3) 1 , 1 , 1 (, 2) 1 , 1 , 1 (, 1) 1 , 1 , 1 (:.) 1 , 2, 2( :) 1 , 1 , 1 (,),(. 1.,sin),(cos),( cos),(cos),()(,),(cos)(cos)(cos)()()(lim)(22000000000000000的方向余弦是方向由于解的方向導數(shù)沿方向在點求設例軸正向的夾角軸分別與是方向其中我們有來說相應于二元函數(shù)lffflfzyxzyx

37、fyxlzyxfzyxfyxfzyxfpfyxfzpfpfpfpfpfpfzyxyxyxlzyxl趨時趨于沿拋物線當點因為時極限存在但這并不表明此函數(shù)在趨于零相應的沿任何直線趨于原點時當否則時當函數(shù)例的方向導數(shù)所以沿方向),(,0) 10(),(,)0 , 0(),(,),(,),(, 0,0, 1),(:31313)32(2321) , 1 , 1 , 1 (311)2(21cos321)2(22cos321)2(22cos22222222222yxfkkxyyxyxyxfyxxxyyxffll222)0, 0()()()()(),(, )(,),()(),(),(,),(),(2.)2(

38、;,) 1 (0|)0 , 0(,.),(,)0 , 0(,)0 , 0()()0 , 0(. 1pfpfpfgradupfpfpfgradupzyxfupfpfpfzyxpzyxfudeflflyxfzyxzyxzyx它的模讓作梯度的在點為函數(shù)們稱向量那么我處是可微的在點若函數(shù)向導數(shù)存在的必要條件方函數(shù)在一點連續(xù)并不是不是必要條件的充分條件導數(shù)存在函數(shù)在一點可微是方向此例說明都有沿任何方向在點得于是由方向導數(shù)定義可的函數(shù)值恒為零在這一段上的充分小的一段都存在包含的任何射線上但它在過當然不可微不連續(xù)所以函數(shù)在點于cosgradu)(, 1)(cosgradu )cos,cos,(cos) )(

39、),(),( cos)(cos)(cos)()()cos,cos,(cos,cos,cos,cos.,:0000pfllgradulpfpfpfpfpfpfpflpfllfflzyxzyxl所以由于夾角與為其中方向的方向導數(shù)沿在點函數(shù)單位向量是方向的于是為設有向射線的方向余弦梯度的模這一方向的變化率就是沿增長最快的方向的梯度方向是函數(shù)函數(shù)以下說明.1)2,2()(1),(2)(19) 3() 3(1 ) 3 , 3, 1 ( 3)(, 3)(, 1)(:.) 1 , 1, 2(),(1., 1cos,;, 1cos,2222222222222方向導數(shù)在這點內法線方向上的處沿曲線在點求函數(shù)例習題

40、解答所以由于解處的梯度及其模在點求函數(shù)例方向導數(shù)取得最小值方向與梯度方向相反時的故當時當取得最大值是等于方向導數(shù)時的方向與梯度方向一致當于是byaxbambyaxyxfgradfgradfpfpfpfpyzxyzyxfgradulgradulzyx故所求方向導數(shù)為又因將其單位化后得量為內法線方向向方向向量即法線方程為處的法線斜率曲線在點即求導得兩邊對將方程解,2,2,1,22),2(2|1, 0221:222222222222byyfaxxfabbaababsabybaxaxbabybaykmyaxbyybyaxxbyaxm24316982729427291278|272)(|272|)(|,

41、278|)(|98,94,918|, 4|, 1|, 1:.4,2,.)4, 2 , 1 (. 3)(2coscos322223222232222221112222222pppmpptttluzyxxzzuzyxxyyuzyxzyxuzyxttztytxpzyxxuabbayfxflz故方向導數(shù)切線的方向余弦為故由題設可知解導線方向在此點的切線方向上的沿曲線在點求函數(shù)例711| )coscoscos(|14| ,148| ,146|141cos ,143cos ,142),cos(1 , 3 , 2|2 , 6 , 4| 2 ,6 ,4|),(, 632),(:.)86(1:) 1 , 1 ,

42、 1 (, 63242222122222pppppppzuyuxunuzuyuxuxnzyxnpzyxfzyxzyxfnpyxzupzyxn可得由方向導數(shù)的計算公式故外側法向量為點的在則令解的方向導數(shù)方向處沿在點求函數(shù)外側的法線向量處的指向在點為曲面設例).,)0 , 0()0 , 0(. 3)0 , 0(. 2)0 , 0(43. 1.,).,(),(),(),();,(),(),(),(),(),(,),(),(,. 22220000000000000000為負的點也有使函數(shù)值總有使函數(shù)值為正的點的任一領域內因為點處不取極小值在點函數(shù)例處有極大值在點函數(shù)例處有極小值在點函數(shù)例為極值點使函數(shù)

43、取得極值的點稱極小植統(tǒng)稱為極值極大值有極小值則稱函數(shù)在點如果都適合不等式有極大值則稱函數(shù)在點如果都適合不等式的點域內異于對于該領的某個領域內有定義在點設函數(shù)最小值值多元函數(shù)的極值及最大一法多元函數(shù)的極植及其求第八節(jié)xyzyxzyxzyxfyxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxyxyxyxfzdef:),(),(),(,),(,),(, 0),(, 0),(,),(),()(2.),(),(0),(, 0),(,0)(,()(,(,),(),(,0),(, 0),(:,),(,),(),()( 100000000000000000000000000000000000如下處是否取得極值的條件在

44、則令又且有一階及二階偏導數(shù)的某領域內連續(xù)在點設函數(shù)充分條件定理的駐點稱為函數(shù)同時成立的點凡是能使仿照一元函數(shù)坐標面的平面成為平行于則切平面面處有切平在點這時如果曲面從幾何上看然為零則它在該點的偏導數(shù)必處有極值在點且具有偏導數(shù)在點設函數(shù)必要條件定理yxyxfcyxfbyxfayxfyxfyxfyxyxfzyxfzyxyxfyxfzzxoyyyyxfxxyxfzzzyxyxfzyxfyxfyxyxyxfzyyxyxxyxyxyxyx., ),(2,:,),(:., 0),(, 0),(:),(, 2 , 1.,0)3(0)2(.0;0,0) 1 (00200222是極大值還是極小值極值是否是的結論

45、判定按定理的符號定出第三步和求出二階偏導數(shù)的值對于每一個駐點第二步即可求得一切駐點求得一切實數(shù)解解方程第一步的極值求法如下導數(shù)的函數(shù)我們把具有二階連續(xù)偏利用定理需另作討論也可能沒有極值時可能有極值時沒有極值極小值時有當時有極大值且當時具有極值yxfbaccbayxyxfyxfyxfzbacbacaabacyx31)2 , 3()2 , 3(, 0, 0)6(12,)2 , 3(;)0 , 3(, 0612,)0 , 3(;)2 , 1 (, 0)6(12,)2 , 1 (; 5)0 , 1 ()0 , 1 (, 0, 0612,)0 , 1 (, 66),(, 0),(, 66),()2 ,

46、3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 ( 063),(0963),(:933),(. 42222222233fabacfbacfbacfabacyyxfyxfxyxfyyyxfxxyxfxyxyxyxfyyxyxxyx有極大值處所以函數(shù)在又處在點不是極值所以處在點不是極值所以處在點處有極小值所以函數(shù)在又處在點再求二階偏導數(shù)求得駐點為先解方程組解的極值求函數(shù)例)0, 0(),22(2)22(2,2,:?,2. 5).(),(,.,),(,),(,.,3yxyxxysxyxxyyxysxyymxmmdyxfddyxfdyxf即此水箱所用材料面積則其高為寬為設水箱的長為解才能使用料最

47、省高各取怎樣尺寸時寬問當長的有蓋長方體水箱體積為某廠需用鐵板做成一個例最小值上的最大值在函數(shù)值就是函數(shù)則該駐點處的又駐點唯一得如果最值一定在內部取根據實際問題的就是最小值最小其中最大的是最大值小值相互比較的邊界上的最大值和最在值及內的所有駐點處的函數(shù)在具體方法是將函數(shù)求出最值則可以利用極值上連續(xù)在有界閉區(qū)域如果與一元情形類似偏導數(shù)不存在的點在求極值時同樣要考慮與一元情形類似.,.,)(2,.,.(*) .2222,2,2,2,2,2,20)2(20)2(2,22233333333322無條件極值域內的極值問題稱為除了限制在函數(shù)的定義相應地極值稱為條件極值條件的象這樣對自變量有附加還必須滿足量所

48、以自變又因假定表面積為則體積為設長方體三棱為的體積問題而體積為最大的長方體求表面積為例拉格朗日乘數(shù)法條件極值二時水箱所用材料最省為高寬為也即當水箱的長為取得最小值時當又由駐點的唯一性可知一定存在水箱所用材料的最小值由題意可知解得駐點令稱為目標函數(shù)的二元函數(shù)和就是可見axzyzxyzyxaxyzzyxammsyxyxyxsxysyxsyx.)2(2,)(22,)(2,.) 1 (222的無條件極值問題于是問題轉化為求中再將其代入函數(shù)的表示成將可由條件比如對于上述問題規(guī)方法來解決轉化為無條件極值用常條件極值問題的解答yxxyaxyvxyzvyxxyazyxzaxzyzxy0,),(,(),(),(

49、0),(0),(,),(.0),(),()2(00(*)0000 xxxzxxzxxfzyxfzxyyxyxyxyxyxfz從而處取得極值的一元函數(shù)在作為于是也即說明中得將其代入唯一確定了一個函數(shù)函數(shù)在滿足一定條件下作為隱又則處取得極值設函數(shù)在下取得極值的必要條件在條件首先尋求函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法.(*)(*),0),(),(),(),()(),(),(0),(),(*)0000000000000000000件即為取得極值的必要條于是代入上式得隱函數(shù)求導公式而yxyxyxfyxfyxyxdxdydxdyyxfyxfdxdzyxyxyxxxxxyxxx(3) 0),( (2) 0),(),(1)

50、0),(),(,),(),(00000000000000yxyxyxfyxyxfyxyxfyyxxyy上述條件變?yōu)樵O0),(0),(),(0),(),(),(),(),(.,0),(),(:.,),(),(),(),()2(),1 (00yxyxyxfyxyxfyxyxfyxfyxyxfzyxyxyxfyxfyyxx點組的解得出可能的極限然后求下列方程可先作輔助函數(shù)點下的可能極值在附加條件要確定函數(shù)小結待定其中的值數(shù)在的兩個一階偏導恰好是函數(shù)而6322222)6(108,6ln3ln2ln,0, 0, 0.) 1 , 0 , 2(),1 , 0 , 1 (,1.cbacabcbarzyxzyxuzyxqpzyx成立不等式并證明對任意的正實數(shù)上的最大值在球面函數(shù)時當例離平方和最小的距使它與兩定點上求一點在平面例.,:) ) )(0 (1)(0 )()!1()()( !)()(! 2)(