第八章多元函數(shù)微分法及其

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念p)( | )(e )(pe, . ., .滿足條件記作的集合的有序?qū)崝?shù)對(duì)就是滿足某種條件平面點(diǎn)集平面上點(diǎn)的集合是同一概念平面上的點(diǎn)與數(shù)對(duì)集的一些概念必須熟悉有關(guān)平面上點(diǎn)元函數(shù)之前在具體研究二因此的集合定義域?qū)⑹亲鴺?biāo)平面上二元函數(shù)軸上的點(diǎn)集一元函數(shù)的定義域是數(shù)平面點(diǎn)集一x,yx,yx,y.,;:.,| ),(),()()( | ),(.,| ),(;,| ),(;,| ),(:22222212的某一個(gè)圓鄰域可以包含的任意一個(gè)方鄰域內(nèi)反之的某一個(gè)方鄰域以包含的任意一個(gè)圓鄰域內(nèi)可點(diǎn)質(zhì)這兩種鄰域具有如下性方鄰域的稱為點(diǎn)平面點(diǎn)集圓鄰域的稱為點(diǎn)平面

2、點(diǎn)集的圓內(nèi)所有點(diǎn)的全體半徑為是平面上以原點(diǎn)為圓心是矩形上點(diǎn)的全體代表全平面例如aaaaabxaxyxbaabyaxyxrryxyxcbycbxayxeyxyxr),(,;,41 | ),(1).(.,.,.)(),(),(),(,| ),()()(0),(),(,),()(,022100222閉集沒有聚點(diǎn)的集合也稱為顯然為閉集則稱的一切聚點(diǎn)都屬于若集合為開集則稱若的內(nèi)點(diǎn)及邊界點(diǎn)研究平面點(diǎn)集例內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)為聚點(diǎn)稱無限多個(gè)點(diǎn)的任意領(lǐng)域內(nèi)含有點(diǎn)集若點(diǎn)邊界點(diǎn)外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)連通等概念區(qū)域閉域開域閉集開集界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)以下介紹聚點(diǎn)是平面點(diǎn)集設(shè)來表示或并用記號(hào)或集的空心鄰域是指平面點(diǎn)點(diǎn)表示或泛指這兩種鄰域用鄰域的點(diǎn)區(qū)

3、別地用將不加包含關(guān)系除非特別指明由于兩種鄰域這種相互eeeaaayxyxededcbaeauaubayxbyaxyxbyaxyxbaaauaua.0| ),(;1; c | ),( ;| ),(.,e,eqde .41 | ),(; .,| ),(212222212是開集但不是開域集合為區(qū)域例為閉域?yàn)殚_域如為區(qū)域分邊界點(diǎn)的集合統(tǒng)稱閉域或開域連同它的部開域?yàn)殚]城合稱開域連用它的邊界的集為開域則稱折線連接起來的都可用一條包含于與中任意兩點(diǎn)若非空開集既非開集也非閉集而既是開集又是閉集與空集全平面上點(diǎn)的集合有聚點(diǎn)沒有內(nèi)點(diǎn)也沒是閉集皆為正整數(shù)平面點(diǎn)集例xyyxbybxayxeryxyxcyxyxcrey

4、xyx 1 , 0,1| ),()(1 4),(, 52 3.,),( .),(),(|,)(),(),( ,),(, 1.,),0 , 0(), 0(,2222值域?yàn)槠矫嫔系膱D域的定義域是函數(shù)例其值域?yàn)檎麄€(gè)坐標(biāo)平面面其定義域是的圖象是空間的一個(gè)平函數(shù)例平面上的投影區(qū)域的曲面在函數(shù)的定義域就是空間二元的圖象是空間的曲面通常二元函數(shù)稱為該函數(shù)的值域數(shù)集稱為因變量稱為自變量稱為函數(shù)的定義域點(diǎn)集或記為的函數(shù)或點(diǎn)的二元函數(shù)是變量則稱的值和它對(duì)應(yīng)按照一定法則總有確定變量如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集設(shè)定義二元函數(shù)二否則稱為無界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集則稱示坐標(biāo)原點(diǎn)表其中使得存在某個(gè)正數(shù)若平面點(diǎn)集yxyxxyyx

5、zyxzxyyxfzdyxyxfzzzyxdpfzyxfzpx,yzzdyxpdeorvere元函數(shù)概念義如二元函數(shù)情形可以定維歐化空間記作維空間稱為具有這種距離性質(zhì)的重合與當(dāng)見僅當(dāng)且述三個(gè)條件離滿足下可以證明這樣定義的距為距離定義與維空間的點(diǎn)坐標(biāo)稱為這個(gè)點(diǎn)的數(shù)維空間的點(diǎn)稱為個(gè)有序?qū)崝?shù)組其中每一個(gè)維空間構(gòu)成元函數(shù)維歐氏空間與三nrnnpppppppppppppppppxxppxxxpxxxpnxxxnxxxnnnirxxxxnnnniiinnnnin),(),(),()3( ),(),()2(;, 0),(, 0),() 1 (.)(),(),(),(.,),(., 2 , 1,),(.322

6、131122121212112)2()1(21)2()2(2)2(12)1()1 (2)1(11212121或記作時(shí)的極限當(dāng)為函數(shù)則稱常數(shù)成立都有的一切點(diǎn)使得對(duì)于適合不等式總存在正數(shù)數(shù)如果對(duì)于任意給定的正的內(nèi)點(diǎn)或界點(diǎn)是內(nèi)有定義或閉區(qū)域在開區(qū)域設(shè)函數(shù)定義多元函數(shù)的極限四空間的一個(gè)超平面以設(shè)想這點(diǎn)集描繪了我們可從幾何意義看維空間的一個(gè)超平面表示時(shí)當(dāng)表示空間上一個(gè)平面時(shí)當(dāng)表示平面上一條直線時(shí)當(dāng)方程,),(lim,),(,),(,),()()(0, 0,.),(,)(),(:.,|),(,(.,3 ,3 ,2,000020200000111ayxfyyxxyxfaayxfdyxpyyxxppdyxpd

7、yxfrreppfpnnnndxcyyxxnnniii.111sin,.,),(),(),(),(lim,),(,)(),(.,), 0(),(22220000000000000上沒有定義在圓周例如函數(shù)形成一條曲線二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以為間斷點(diǎn)稱否則處連續(xù)在則函數(shù)如果的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且是內(nèi)有定義或閉區(qū)域在開區(qū)域設(shè)函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)性五二重極限叫我們把二元函數(shù)的極限為了區(qū)別一元函數(shù)極限其中yxyxypyxpyxfyxfyxfdpdyxpyxfppayxfyyxx)()(lim .,., )(2)( 1.,000pfpfppp即的函數(shù)值則極限就是函數(shù)在該點(diǎn)的定義域內(nèi)函數(shù)處的極限而該點(diǎn)又在此如果要求它在的

8、連續(xù)性由多元函數(shù)內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域區(qū)域是指包含在定義域所謂定義定義域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在其介值定理性質(zhì)最值原理性質(zhì)元函數(shù)也有如下性質(zhì)在有界閉區(qū)域上多形類似與閉區(qū)域上一元函數(shù)情證畢有時(shí)所以于是內(nèi)討論的方鄰域在先限制點(diǎn)因?yàn)樽C依定義驗(yàn)證例14277,) 1 , 2(),( , 0)12(715277 , 72 , 53 ,11, 12| ),(1) 1 , 2(3122 ) 1)(1() 1(2)2()2)(2( ) 1(2)4(7 :7)(lim12222222222)1 , 2(),(yxyxyxyxyxyxyxyxyyxyxyyyxxyyyyxxxyxyxyxyxyxyxyxxxykxyyx

9、xyyxfyxfxyxyxyyxyxfyxyx)sin(lim4)0()0 , 0(),(. 30),(lim:0 00,1sin1sin),(. 22022)0, 0(),(求例形式方式趨于考慮以處的極限在點(diǎn)討論例求證設(shè)例),(|,|,|,|),(),(,),(),(lim),(),(,),(),(. ),(00000000000000000000000略的偏導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地可以定義對(duì)編導(dǎo)數(shù)記作的處對(duì)在則稱此極限為函數(shù)存在如果量相應(yīng)地函數(shù)有增時(shí)處有增量在而固定在當(dāng)?shù)哪骋活I(lǐng)域內(nèi)有定義在點(diǎn)設(shè)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法一偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)yfzxzxfxyxyxfzxyxfyxxfyxfyxxfxxxyyyxy

10、xfzyxxyyxxxyyxxyyxxx.,),(,),(),(lim),(),(),(,.),(),(),(,),(),(,.,.),(.,),(),(0000000函數(shù)的方法它們的求法仍然是一元為定義域的內(nèi)點(diǎn)其中的偏導(dǎo)數(shù)可以定義為處對(duì)在點(diǎn)例如至三元及多元情形偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣處的函數(shù)值在點(diǎn)就是偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)處對(duì)在點(diǎn)由偏導(dǎo)數(shù)概念可知從而等記作的偏導(dǎo)函數(shù)對(duì)自變量稱為函數(shù)的函數(shù)那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是的偏導(dǎo)數(shù)都存在處對(duì)內(nèi)每一點(diǎn)在區(qū)域如果函數(shù)zyxxzyxfzyxxfzyxfxzyxzyxfuyxyxfyxfxyxyxffzzfxzxfxyxfzyxxyxdyxfzxxxxxxxx)( 1. ),(

11、. 5),(.)0 , 0(0 , 00,),(. 4.)sin(3.)0(2 .) 3 , 1 (2),(122222232323導(dǎo)數(shù)符號(hào)那樣進(jìn)行運(yùn)算本例說明偏導(dǎo)數(shù)不能像求證為常量程已知理想氣體的狀態(tài)方例考慮但函數(shù)仍然可能不連續(xù)本題說明偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)例的偏導(dǎo)數(shù)求三元函數(shù)例的偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù)例偏導(dǎo)數(shù)的和關(guān)于在點(diǎn)求函數(shù)例何意義二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的幾pttvvprrtpvkxyyxyxyxxyyxfzyxuxxzyxyyxxyxfy二階混合偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)二階量求導(dǎo)次序不同有下列的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對(duì)變則稱它們是函數(shù)數(shù)也存在如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域設(shè)函數(shù)),()(),()(),(

12、)(),()(.),(,),(),(.),(222222yxfyzyzyyxfxyzyzxyxfyxzxzyyxfxzxzxyxfzyxfyxfdyxfyyyyxxyxxyx高階偏導(dǎo)數(shù)二.33222222323,136xzyzyxzxyzxzxyxyyxz及求設(shè)例)8, 7(, 018laplace 0ln7.,),(:)(22222222222222222稱為拉普拉斯方程例例其中滿足方程證明函數(shù)例滿足方程驗(yàn)證例等個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相那么在該區(qū)域內(nèi)兩內(nèi)連續(xù)在區(qū)域及的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)定理相等本例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)zyxrzuyuxuruyzxzyxzdyxzxyzyxfz.),(),(,

13、),(),(.,)()(-),( )()(-),( , . 處的全增量在稱為二元函數(shù)的偏微分和對(duì)數(shù)對(duì)而右端分別叫做二元函的偏增量和對(duì)二元函數(shù)對(duì)上面兩式左端分別稱為可得微分的關(guān)系元函數(shù)微分學(xué)中增量與根據(jù)一的變化率固變量相對(duì)于該自變量變量固定時(shí)自的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量全微分定義一全微分及其應(yīng)用第三節(jié)yxpyxfzzyxfyyxxfyxyxyx,yfx,yfyyxfxx,yfx,yfyxxfyx)(,),(),(,),(),(,)()(,),(0 ),(),( ),(),(:22證明是明顯的連續(xù)可微即的全微分記作在點(diǎn)為函數(shù)稱而可微在點(diǎn)稱函數(shù)則有關(guān)而僅與不依賴于其中可表示為的全增量在

14、點(diǎn)如果函數(shù)定義ybxadzdzyxyxfzybxayxyxfzyxyxyxbaybxazyxfyyxxfzyxyxfz),(),( ),(),(),(),(),(),( ),(),(),(),(.,),(,),()(),(),(,),(,),(),()(2121,21yxyyxfxyxfyyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyzxzyxfzdyyzdxxzdzyxyxfzyxyxyxfzyxyxffyxyx連續(xù)證則函數(shù)在該點(diǎn)可微分連續(xù)點(diǎn)在的偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)充分條件定理證明的全微分為在點(diǎn)且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在則該函數(shù)在點(diǎn)可微分在點(diǎn)如果函數(shù)必要條

15、件定理)()0 , 0(.0 , 0 0 ,),(. 4.2sin. 3) 1 , 2(. 2. 1),(,.),(),()0, 0( 0. 0, 0, 0, 0,2222222221212121能推出可微本題說明偏導(dǎo)數(shù)存在不點(diǎn)連續(xù)本題在在原點(diǎn)的可微性考察函數(shù)例的全微分計(jì)算函數(shù)例處的全微分在計(jì)算函數(shù)例的全微分計(jì)算函數(shù)例全微分可寫成函數(shù)習(xí)慣上是可微分的在從而說明又且當(dāng)函數(shù)為其中yxyxyxxyyxfeyxuezyyxzdyyzdxxzdzyxfzyxpyxfzyxyxyxyxyzxy.)0 , 0(),(,)0 , 0(,)0 , 0( 0 , 00,1sin)(),( :)0, 0()()0.

16、(),()0 , 0(0 , 00,2),()(22222222222222處可微在點(diǎn)但不連續(xù)處在點(diǎn)都存在的領(lǐng)域內(nèi)證明在設(shè)考察函數(shù)可微性主要考察不可微性及可微性偏導(dǎo)數(shù)存在性不連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)性在能推出連續(xù)本例說明偏導(dǎo)數(shù)存在不考察函數(shù)yxfyfxfyfxfyxyxyxyxyxfdzzffyxyxyxxyyxfyx都存在的任何領(lǐng)域內(nèi)所以在時(shí)當(dāng)同理所以證yfxfyxyxyxyxyyxyyxfyxyxyxyxxyxxyxfyxyxxyxxyxfyxffxxxfxfyxxyxxx,)0 , 0(0, 0 0,1cos21sin2),(0, 0 0,1cos21sin2),(1cos21sin2),(,0.

17、 0)0 , 0(; 0)0 , 0(, 01sinlim0)0 , 0()0 ,(lim:22222222222222222222222222222000)0 , 0(,)0 , 0(),(01sinlim1sin)(lim)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(lim.)0 , 0(),(;)0 , 0(),(.)21cos1(lim )21cos121sin2(lim),(lim022222200202200dfyxfyxyxyxyfxffyxfyxfyxfxxxxxxyxfyxyxxxxxyx且點(diǎn)可微在所以點(diǎn)也不連續(xù)在同理點(diǎn)不連續(xù)在故不存在又因?yàn)閠vtutvvztuuztzvu

18、vuvvzuuzzvuvufzdtdvvztduduzdtdztttfzvuvufzttvtu212121)0,(0, 0 .),(),(:(1) ,)(),(,),(),(,)()( 當(dāng)其中處可微在證列公式計(jì)算且其導(dǎo)數(shù)可用下可導(dǎo)在點(diǎn)合函數(shù)則復(fù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)可導(dǎo)都在點(diǎn)及如果函數(shù)定理則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法第四節(jié)tvtuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdztwttfzttvtuwvufzdtdvvzdtduuzdtdzt圖稱為全導(dǎo)數(shù)中的導(dǎo)數(shù)及在公式則同樣可以推得復(fù)合而得到復(fù)合函數(shù)例如間變量多于兩個(gè)的情形數(shù)的中可將定理推廣到復(fù)合函用同樣的方法得令) 1 (.(2)(1)

19、(2) ),(),(, )()w(w )(),(),(, , 0且可用下列公式計(jì)算的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在點(diǎn)在則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及對(duì)具有對(duì)都在點(diǎn)及設(shè)類似地則可以推得以下公式復(fù)合而成函數(shù)而設(shè)例如是多元函數(shù)情形而中間變量不是一元函數(shù)上述定理還可以推廣至圖,),(),(),(),(,),(),(,)()()(),(, ),(),(),(),(),( , )2(yxyxwyxyxfzwvuwvufzyxx,yx,ywwx,yvx,yuxvvzxuuzxzyxyxfzyxvyxuvufztwtvtuz1 1,),(,),(, yfyuuzyzxfxuuzxzywxvyxyxfzyxuy

20、xwyxvyxuzxwwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz從而的特殊情形取取可看作則復(fù)合函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)特別地2222222222211 sin,cos,),(. 5 ,),(4cos,sin. 3 ,sin),(. 2,sin. 1222urrurruyvxuryrxyxfuyxwxwfxyzzyxfwdtdutveutuvzyuxuyxzezyxfuyzxzyxvxyuveztzyxu證明之下，在極坐標(biāo)變換的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)例及求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)例求全導(dǎo)數(shù)而設(shè)例和求而設(shè)例和求而設(shè)例dvvzduuzdzyvvzyuuzyzxvvzxuuzxzydyzxdxzdzyxy

21、xfzyxvyxuyxu,vdvvzduuzdzvufz得式代入而全微分為的則復(fù)合函數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且這兩個(gè)函數(shù)也具有連的函數(shù)又是如果則有全微分具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)全微分形式不變性)*( , (*) ),(, ),(,),(),(, ,),(yzxzyxvxyuvezvuvuu和求而設(shè)重解例利用全微分形式不變性全微分形式不變性這個(gè)性質(zhì)稱為樣的它們的全微分形式是一的函數(shù)還是中間變量的函數(shù)無論是自變量由此可見,sin1 ., 它滿足條件續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一個(gè)單值連續(xù)且具有連確定的某一鄰域內(nèi)恒能唯一在點(diǎn)則方程且導(dǎo)數(shù)一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏的某在點(diǎn)設(shè)函數(shù)隱函數(shù)存在定理一個(gè)方程的情形一隱函數(shù)求導(dǎo)公式第五節(jié)),f(),(

22、0)f(0),(f0,),f(,),p()f( 1. 0000y0000 xyyxx,yyxyxyxx,y222220000000000000003222200, 04 2z ,z ),(),(),(0),f(, 0),(, 0),(,),(),f( 22 ,),(),(xzzzyxffyffxyxfzyxfzyyxzyxyyxfyyxfzyxpzyxffffffffdxydxyxfffdxdyxfyzyzxzyxyyyxxyyxxyx求設(shè)例并有它滿足條件的函數(shù)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)確定一個(gè)單位的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一在點(diǎn)則方程且內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的某一領(lǐng)域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)隱函數(shù)存在定理即得導(dǎo)的復(fù)合函數(shù)而

23、再一次求上式可看作的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)如果并有)( ),( ),(),()(0,)g(0,)f(,)(g gf f)(g)(f,j)(0)g(0,)(,)p()g(),f(3 .00000000000000000000000000,yxuv,yxuuyxvvx,yuu,v,u,yxx,y,u,vx,y,u,v,v,u,yxpvuvuu,v,v,u,yx,v,u,yxf,v,u,yxx,y,u,vx,y,u,v它們滿足條件偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)連續(xù)確定一組值連續(xù)且具有的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一在點(diǎn)則方程組不等于零在點(diǎn)或稱雅可比行列式行列式且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)又續(xù)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)變量的連的某一領(lǐng)域內(nèi)具有對(duì)各在點(diǎn)設(shè)隱函數(shù)存

24、在定理方程組情形二 g g )(g)(f, 1 g g )(yg)(f, 1 g g ) (g)(f, 1 g g )(g)(f, 1vuvuyuyuvuvuvyvyvuvuxuxuvuvuvxvxgffgffu,yjyvgffgff,vjyugffgffxu,jxvgffgffx,vjxuyvxvyuxuxvuxu-yvxvgxuggxvfxuffxyxvyxuyxyxvyxuyxfvuxvux和求設(shè)例得式則可解可克萊姆法求導(dǎo)兩邊對(duì)由于式可作如下推導(dǎo),1y 0, 3(*)000),( ),( ,g 0),( ),( ,:(*)試證明都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中的函數(shù)所確定的是由方程而設(shè)補(bǔ)充,0)

25、,(),() 1 (ffyxtyxfttxfytfyftfxftftfxudxdyxvxugfyvxugvyvuxfu,),(),()2( 2求具有一階連續(xù)編導(dǎo)數(shù)其中設(shè)tzzztyyytxxxzzzyyyxxxzzyyxxmtttzyxmttptwztytxt00000000000000 ),(,),()()()() 1 (. 割線方程為的鄰近一點(diǎn)及對(duì)應(yīng)于的一點(diǎn)上對(duì)應(yīng)于在曲線的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線面空間曲線的切線與法平一微分法在幾何上的應(yīng)用第六節(jié).) 1 , 1 , 1 (,10)()()(,.)(),(),(,)()()( .),0(32000000000000000外的切線及法平面方程在點(diǎn)

26、求曲線例因此這法平面方程為為法向量的平面而以點(diǎn)它是通過為曲線的法平面而與切線垂直的平面稱通過點(diǎn)處的一個(gè)切向量在點(diǎn)就是曲線向量線的切向量切線的方向向量稱為曲處的切線方程即得曲線在點(diǎn)此時(shí)令tztytxzztwyytxxttmmmtwttttwzztyytxxmtmm)()(1 ),(),(),(, 1)()(,)()()2(0) 1(3) 1(2) 1( 312111 ,3 , 2 , 1, 1) 1 , 1 , 1 (,3 ,2 , 1:00000000002xzzxyyxxzyxmxxtxzxyxxxxzxyzyxzyxttztyxttt處的切線方程為從而在此時(shí)為參數(shù)的參數(shù)方程形式則可視為以形

27、式給出如果空間曲線方程以法平面方程為于是切線方程為所以參數(shù)所對(duì)應(yīng)的而點(diǎn)因?yàn)榻夤士山獾糜捎谇笕珜?dǎo)數(shù)兩邊對(duì)在恒等式以下關(guān)鍵是求型從而轉(zhuǎn)化為從函數(shù)組的某一鄰城內(nèi)確定了一且的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有對(duì)各個(gè)變量又設(shè)上的一個(gè)點(diǎn)是曲線形式給出的方程以空間曲線處的法平面方程為在點(diǎn), 0),(),(00.0)(),(,0)(),(,)2(),(),(|),(),(,),(.0),(0),()3(0)()()(),(00000000000zygfjdxdzzfxdydygxgdxdzzfxdydyfxfxxxxgxxxfdxdzdxdyxzxyzygfgfzyxmzyxgzyxfzzyyxxxmzyxzyxzyxzyzyyx

28、yxzyzyxzxzgggfffzyxggffggffxdxdzggffggffxdxdy)( )(0)()()(),(),()( ,)(,)(),(, 100000000000000000000000000zzggffyyggffxxggffzyxmggffzzggffyyggffxxzyxmtggffggffxggffggffxmtxxtyxyxxzxzzyzyyxyxxzxzzyzyzyzyyxyxzyzyxzxz處的法平面方程為在點(diǎn)曲線處的切線方程為在點(diǎn)由此可以寫出曲線此時(shí)處的一個(gè)切向量在點(diǎn)是曲線于是1, 0 , 11| , 0|1111 1111 ,1,:.) 1 , 2, 1 (0

29、, 62)1 , 2, 1()1 , 2, 1(222tdxzddxdyzyyxzyxydxzdzyxzzyzxdxdydxdzdxdyxdxdzzdxdyyxzyxzyx從而由此得得求導(dǎo)并移項(xiàng)將方程兩邊對(duì)解的切線及法平面方程處在點(diǎn)求曲線例)()()( ,)(),(),(),(),(),(, )(,.),(, 0),(.) 1 (.00) 1()2(0) 1(1102110000000000000tzztyytxxtwttzyxmtttuztytxtmyxfzzyxfzxzyxzyx為則可得曲線的切線方程不全為零且對(duì)應(yīng)于點(diǎn)給出為假定其以參數(shù)方程形式點(diǎn)作任意一條曲線過作為它的特殊情形面方程然后把

30、由顯式給出的曲面方程的情形首先討論由隱式給出曲曲面的切平面與法線二即法平面方程為故所求切線方程為)(,(),(, ),(0)(),()(),()(),(0|)(),(),(, 0)(),(),(,.,0000000000000000000000定值引入向量即有得求全導(dǎo)數(shù)兩邊過所以有恒等式上完全在曲面由于曲線的法向量同一平面是尋找關(guān)鍵上處的切線都在同一平面它們?cè)邳c(diǎn)的任何曲線處具有切線且在點(diǎn)點(diǎn)上通過在曲面以下要證明zyxfzyxfzyxfntwzyxftzyxftzyxftwttfdtdttwttfmmmzyxzyxtt1f ),(),(),(),(),(),(;),()2(),(),(),(,)

31、,(0)(,()(,()(,(,.,)(, 0)(),(),(z000000000000000000000000000yxfzyxfzyxfzyxfzyxfzyxfyxfzzyxfzzzyxfyyzyxfxxzyxmzzzyxfyyzyxfxxzyxfnnmtntwtttmyyxxzyxzyx從而令量式形式給出考慮曲面方程以法線方程為法線稱為曲面的而垂直于切平面的直線通過點(diǎn)切平面方程為于是向量切向量的所在平面的法可以充當(dāng)所有從而垂直總與一固定向量是變化的點(diǎn)的任何曲線的切向量此式說明過我們有從而處的切向量為曲線在.),(),(,),(),()(,()(,(0)()(,()(,(1, ),(, )

32、,(),(,),(),(, ),(),(00000000000000000000000000000上點(diǎn)的豎標(biāo)的增量處的切平面在點(diǎn)何在表示曲面在幾的全微分在點(diǎn)此時(shí)表明函數(shù)或切平面方程為處的法向量為曲面在點(diǎn)連續(xù)時(shí)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)函數(shù)zyxyxfzyxyxfzyyyxfxxyxfzzzzyyyxfxxyxfyxfyxfnzyxmyxyxfyxfyxfyxyxyxyx222222000000011cos,1cos,1cos,1),(),(yxyxyyxxyxffffffffzzzyxfyyyxfxx則法向量的方向系弦為為銳角軸的正身所成的角即使其與向量的方向是向上的并假定法向角表示曲面的法向量的方如果用

33、法線方程為1, 2 , 41,2 ,21,1),(:)4 , 1 , 2(14332211014320)3(6)2(4) 1(2)3 , 2 , 1 (6 , 4 , 22 ,2 ,2,14),(:)3 , 2 , 1 (143)4, 1 , 2(2222)3 , 2, 1(222222nyxffnyxyxfyxzzyxzyxzyxnzyxfffnzyxzyxfzyxyxzyx解處的切平面及法線方程在點(diǎn)求旋轉(zhuǎn)拋物面例法線方程為即為處此球面的切平面方程所以在點(diǎn)解處的切平面及法線方程在點(diǎn)求球面4() 1(2)2(4)4 , 1 , 2(zyxzyxzyx法線方程為即處的切

34、平面方程為所以在點(diǎn)),()(,lim)()(lim,),(,),(1.,000000000000zyxfpflflpffpfpfpppelzyxpplezyxfpllpi或記作的方向?qū)?shù)沿方向在點(diǎn)則稱此極限值為函數(shù)存在若的距離兩點(diǎn)間與表示以內(nèi)的任一點(diǎn)上且含于為的射線出發(fā)為從點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn)的定義域?yàn)楹瘮?shù)設(shè)定義方向的變化率往往要研究沿某一特定題中但在許多實(shí)際問標(biāo)軸方向的函數(shù)變化率偏導(dǎo)數(shù)反映沿平行于坐第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度),()sin,cos(,00000),(lim00yxfyxflfxlyx我們有正向夾角的時(shí)候與表示當(dāng)用的方向?qū)覟榉较蚱渲星业姆较驅(qū)?shù)都存在任一方向處沿在點(diǎn)則函數(shù)可微在點(diǎn)函數(shù)若導(dǎo)數(shù)與

35、偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是關(guān)于沿任一方向的方向軸正向的方向?qū)?shù)沿平行于在點(diǎn)則的偏導(dǎo)數(shù)存在關(guān)于在點(diǎn)若該點(diǎn)極限存在限存在不能方向方向極從而即使一點(diǎn)處的任意極限是單側(cè)極限由于方向方向極限方向?qū)?shù)是一種特殊的注意lpfpfpfpflpfzyxpzyxfthxflfxpfxpfzyxlppcos,cos,coscos)(cos)(cos)()(,),(),(1:,)2(., ) 1 ( :0000000000000則令則有處可微在點(diǎn)由假設(shè)我們有圖如之間的距離與為記上任一點(diǎn)為設(shè)證, 0)(0cos)(cos)(cos)( )(0)()()()()()(0)()()()()(,coscoscos,),(:0000000

36、000000000zpfpfpfzpfypfxpfpfpfzpfypfxpfpfpfpfzzyyxxpplzyxpzyxzxxzyx:) 1 , 2, 2( :, 3) 1 , 1 , 1 (, 2) 1 , 1 , 1 (, 1) 1 , 1 , 1 (:.) 1 , 2, 2( :) 1 , 1 , 1 (,),(. 1.,sin),(cos),( cos),(cos),()(,),(cos)(cos)(cos)()()(lim)(22000000000000000的方向余弦是方向由于解的方向?qū)?shù)沿方向在點(diǎn)求設(shè)例軸正向的夾角軸分別與是方向其中我們有來說相應(yīng)于二元函數(shù)lffflfzyxzyx

37、fyxlzyxfzyxfyxfzyxfpfyxfzpfpfpfpfpfpfzyxyxyxlzyxl趨時(shí)趨于沿拋物線當(dāng)點(diǎn)因?yàn)闀r(shí)極限存在但這并不表明此函數(shù)在趨于零相應(yīng)的沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)當(dāng)否則時(shí)當(dāng)函數(shù)例的方向?qū)?shù)所以沿方向),(,0) 10(),(,)0 , 0(),(,),(,),(, 0,0, 1),(:31313)32(2321) , 1 , 1 , 1 (311)2(21cos321)2(22cos321)2(22cos22222222222yxfkkxyyxyxyxfyxxxyyxffll222)0, 0()()()()(),(, )(,),()(),(),(,),(),(2.)2(

38、;,) 1 (0|)0 , 0(,.),(,)0 , 0(,)0 , 0()()0 , 0(. 1pfpfpfgradupfpfpfgradupzyxfupfpfpfzyxpzyxfudeflflyxfzyxzyxzyx它的模讓作梯度的在點(diǎn)為函數(shù)們稱向量那么我處是可微的在點(diǎn)若函數(shù)向?qū)?shù)存在的必要條件方函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)并不是不是必要條件的充分條件導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在一點(diǎn)可微是方向此例說明都有沿任何方向在點(diǎn)得于是由方向?qū)?shù)定義可的函數(shù)值恒為零在這一段上的充分小的一段都存在包含的任何射線上但它在過當(dāng)然不可微不連續(xù)所以函數(shù)在點(diǎn)于cosgradu)(, 1)(cosgradu )cos,cos,(cos) )(

39、),(),( cos)(cos)(cos)()()cos,cos,(cos,cos,cos,cos.,:0000pfllgradulpfpfpfpfpfpfpflpfllfflzyxzyxl所以由于夾角與為其中方向的方向?qū)?shù)沿在點(diǎn)函數(shù)單位向量是方向的于是為設(shè)有向射線的方向余弦梯度的模這一方向的變化率就是沿增長(zhǎng)最快的方向的梯度方向是函數(shù)函數(shù)以下說明.1)2,2()(1),(2)(19) 3() 3(1 ) 3 , 3, 1 ( 3)(, 3)(, 1)(:.) 1 , 1, 2(),(1., 1cos,;, 1cos,2222222222222方向?qū)?shù)在這點(diǎn)內(nèi)法線方向上的處沿曲線在點(diǎn)求函數(shù)例習(xí)題

40、解答所以由于解處的梯度及其模在點(diǎn)求函數(shù)例方向?qū)?shù)取得最小值方向與梯度方向相反時(shí)的故當(dāng)時(shí)當(dāng)取得最大值是等于方向?qū)?shù)時(shí)的方向與梯度方向一致當(dāng)于是byaxbambyaxyxfgradfgradfpfpfpfpyzxyzyxfgradulgradulzyx故所求方向?qū)?shù)為又因?qū)⑵鋯挝换蟮昧繛閮?nèi)法線方向向方向向量即法線方程為處的法線斜率曲線在點(diǎn)即求導(dǎo)得兩邊對(duì)將方程解,2,2,1,22),2(2|1, 0221:222222222222byyfaxxfabbaababsabybaxaxbabybaykmyaxbyybyaxxbyaxm24316982729427291278|272)(|272|)(|,

41、278|)(|98,94,918|, 4|, 1|, 1:.4,2,.)4, 2 , 1 (. 3)(2coscos322223222232222221112222222pppmpptttluzyxxzzuzyxxyyuzyxzyxuzyxttztytxpzyxxuabbayfxflz故方向?qū)?shù)切線的方向余弦為故由題設(shè)可知解導(dǎo)線方向在此點(diǎn)的切線方向上的沿曲線在點(diǎn)求函數(shù)例711| )coscoscos(|14| ,148| ,146|141cos ,143cos ,142),cos(1 , 3 , 2|2 , 6 , 4| 2 ,6 ,4|),(, 632),(:.)86(1:) 1 , 1 ,

42、 1 (, 63242222122222pppppppzuyuxunuzuyuxuxnzyxnpzyxfzyxzyxfnpyxzupzyxn可得由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式故外側(cè)法向量為點(diǎn)的在則令解的方向?qū)?shù)方向處沿在點(diǎn)求函數(shù)外側(cè)的法線向量處的指向在點(diǎn)為曲面設(shè)例).,)0 , 0()0 , 0(. 3)0 , 0(. 2)0 , 0(43. 1.,).,(),(),(),();,(),(),(),(),(),(,),(),(,. 22220000000000000000為負(fù)的點(diǎn)也有使函數(shù)值總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)的任一領(lǐng)域內(nèi)因?yàn)辄c(diǎn)處不取極小值在點(diǎn)函數(shù)例處有極大值在點(diǎn)函數(shù)例處有極小值在點(diǎn)函數(shù)例為極值點(diǎn)使函數(shù)

43、取得極值的點(diǎn)稱極小植統(tǒng)稱為極值極大值有極小值則稱函數(shù)在點(diǎn)如果都適合不等式有極大值則稱函數(shù)在點(diǎn)如果都適合不等式的點(diǎn)域內(nèi)異于對(duì)于該領(lǐng)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義在點(diǎn)設(shè)函數(shù)最小值值多元函數(shù)的極值及最大一法多元函數(shù)的極植及其求第八節(jié)xyzyxzyxzyxfyxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxyxyxyxfzdef:),(),(),(,),(,),(, 0),(, 0),(,),(),()(2.),(),(0),(, 0),(,0)(,()(,(,),(),(,0),(, 0),(:,),(,),(),()( 100000000000000000000000000000000000如下處是否取得極值的條件在

44、則令又且有一階及二階偏導(dǎo)數(shù)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)充分條件定理的駐點(diǎn)稱為函數(shù)同時(shí)成立的點(diǎn)凡是能使仿照一元函數(shù)坐標(biāo)面的平面成為平行于則切平面面處有切平在點(diǎn)這時(shí)如果曲面從幾何上看然為零則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值在點(diǎn)且具有偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)必要條件定理yxyxfcyxfbyxfayxfyxfyxfyxyxfzyxfzyxyxfyxfzzxoyyyyxfxxyxfzzzyxyxfzyxfyxfyxyxyxfzyyxyxxyxyxyxyx., ),(2,:,),(:., 0),(, 0),(:),(, 2 , 1.,0)3(0)2(.0;0,0) 1 (00200222是極大值還是極小值極值是否是的結(jié)論

45、判定按定理的符號(hào)定出第三步和求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)第二步即可求得一切駐點(diǎn)求得一切實(shí)數(shù)解解方程第一步的極值求法如下導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們把具有二階連續(xù)偏利用定理需另作討論也可能沒有極值時(shí)可能有極值時(shí)沒有極值極小值時(shí)有當(dāng)時(shí)有極大值且當(dāng)時(shí)具有極值yxfbaccbayxyxfyxfyxfzbacbacaabacyx31)2 , 3()2 , 3(, 0, 0)6(12,)2 , 3(;)0 , 3(, 0612,)0 , 3(;)2 , 1 (, 0)6(12,)2 , 1 (; 5)0 , 1 ()0 , 1 (, 0, 0612,)0 , 1 (, 66),(, 0),(, 66),()2 ,

46、3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 ( 063),(0963),(:933),(. 42222222233fabacfbacfbacfabacyyxfyxfxyxfyyyxfxxyxfxyxyxyxfyyxyxxyx有極大值處所以函數(shù)在又處在點(diǎn)不是極值所以處在點(diǎn)不是極值所以處在點(diǎn)處有極小值所以函數(shù)在又處在點(diǎn)再求二階偏導(dǎo)數(shù)求得駐點(diǎn)為先解方程組解的極值求函數(shù)例)0, 0(),22(2)22(2,2,:?,2. 5).(),(,.,),(,),(,.,3yxyxxysxyxxyyxysxyymxmmdyxfddyxfdyxf即此水箱所用材料面積則其高為寬為設(shè)水箱的長(zhǎng)為解才能使用料最

47、省高各取怎樣尺寸時(shí)寬問當(dāng)長(zhǎng)的有蓋長(zhǎng)方體水箱體積為某廠需用鐵板做成一個(gè)例最小值上的最大值在函數(shù)值就是函數(shù)則該駐點(diǎn)處的又駐點(diǎn)唯一得如果最值一定在內(nèi)部取根據(jù)實(shí)際問題的就是最小值最小其中最大的是最大值小值相互比較的邊界上的最大值和最在值及內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)在具體方法是將函數(shù)求出最值則可以利用極值上連續(xù)在有界閉區(qū)域如果與一元情形類似偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)在求極值時(shí)同樣要考慮與一元情形類似.,.,)(2,.,.(*) .2222,2,2,2,2,2,20)2(20)2(2,22233333333322無條件極值域內(nèi)的極值問題稱為除了限制在函數(shù)的定義相應(yīng)地極值稱為條件極值條件的象這樣對(duì)自變量有附加還必須滿足量所

48、以自變又因假定表面積為則體積為設(shè)長(zhǎng)方體三棱為的體積問題而體積為最大的長(zhǎng)方體求表面積為例拉格朗日乘數(shù)法條件極值二時(shí)水箱所用材料最省為高寬為也即當(dāng)水箱的長(zhǎng)為取得最小值時(shí)當(dāng)又由駐點(diǎn)的唯一性可知一定存在水箱所用材料的最小值由題意可知解得駐點(diǎn)令稱為目標(biāo)函數(shù)的二元函數(shù)和就是可見axzyzxyzyxaxyzzyxammsyxyxyxsxysyxsyx.)2(2,)(22,)(2,.) 1 (222的無條件極值問題于是問題轉(zhuǎn)化為求中再將其代入函數(shù)的表示成將可由條件比如對(duì)于上述問題規(guī)方法來解決轉(zhuǎn)化為無條件極值用常條件極值問題的解答yxxyaxyvxyzvyxxyazyxzaxzyzxy0,),(,(),(),(

49、0),(0),(,),(.0),(),()2(00(*)0000 xxxzxxzxxfzyxfzxyyxyxyxyxyxfz從而處取得極值的一元函數(shù)在作為于是也即說明中得將其代入唯一確定了一個(gè)函數(shù)函數(shù)在滿足一定條件下作為隱又則處取得極值設(shè)函數(shù)在下取得極值的必要條件在條件首先尋求函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法.(*)(*),0),(),(),(),()(),(),(0),(),(*)0000000000000000000件即為取得極值的必要條于是代入上式得隱函數(shù)求導(dǎo)公式而yxyxyxfyxfyxyxdxdydxdyyxfyxfdxdzyxyxyxxxxxyxxx(3) 0),( (2) 0),(),(1)

50、0),(),(,),(),(00000000000000yxyxyxfyxyxfyxyxfyyxxyy上述條件變?yōu)樵O(shè)0),(0),(),(0),(),(),(),(),(.,0),(),(:.,),(),(),(),()2(),1 (00yxyxyxfyxyxfyxyxfyxfyxyxfzyxyxyxfyxfyyxx點(diǎn)組的解得出可能的極限然后求下列方程可先作輔助函數(shù)點(diǎn)下的可能極值在附加條件要確定函數(shù)小結(jié)待定其中的值數(shù)在的兩個(gè)一階偏導(dǎo)恰好是函數(shù)而6322222)6(108,6ln3ln2ln,0, 0, 0.) 1 , 0 , 2(),1 , 0 , 1 (,1.cbacabcbarzyxzyxuzyxqpzyx成立不等式并證明對(duì)任意的正實(shí)數(shù)上的最大值在球面函數(shù)時(shí)當(dāng)例離平方和最小的距使它與兩定點(diǎn)上求一點(diǎn)在平面例.,:) ) )(0 (1)(0 )()!1()()( !)()(! 2)(