第1節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)54404

1、1第五章第五章 不定積分不定積分2例例，xxcos)(sin ，？?jī)?nèi)在區(qū)間23)(),(x第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念如如果果在在某某區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi))()(xfxf , ,則則稱(chēng)稱(chēng)i內(nèi)內(nèi)f(x)為為f (x)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). . 定義定義不定積分又稱(chēng)不定積分又稱(chēng)反導(dǎo)數(shù)反導(dǎo)數(shù), ,它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算. . ，233)(xx，233) 1(xx，233)(xcx 本章所講的內(nèi)容就是尋求函數(shù)的原函數(shù)本章所講的內(nèi)容就是尋求函數(shù)的原函數(shù).3原函數(shù)存在性定理：原函數(shù)存在性定理：如如 果果 函函 數(shù)

2、數(shù))(xf在在 區(qū)區(qū) 間間 i 內(nèi)內(nèi) 連連 續(xù)續(xù) ， 簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：?jiǎn)栴}：(1) 原函數(shù)是否存在？原函數(shù)是否存在？那那么么在在區(qū)區(qū)間間 i 內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf， 使使ix ，都都有有)()(xfxf . .(2) 是否唯一？是否唯一？因此一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)因此一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù) .( (但原函數(shù)不一定是初等函數(shù)但原函數(shù)不一定是初等函數(shù)) ) 4是否唯一？是否唯一？)()( )()(xgxfxgxf 0)()( xfxf（1 1）若若)(xf是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則對(duì)對(duì)任任何

3、何常常數(shù)數(shù)c, , cxf )(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)； （2 2）設(shè)設(shè))(xf是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則)(xf的的任任一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù))(xg與與)(xf最最多多相相差差一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù), ,即即cxfxg )()(. . 說(shuō)明：說(shuō)明：.)()(cxfxg 所以所以5任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)cxfxxf )(d)(被積表達(dá)式被積表達(dá)式為積分變量為積分變量記為記為.)()d(cxfxxf 定義定義 x6例例1 1 求求.d5xx 解解,)6(56xx .6d 65cxxx 解解例例2 2 求求.d112 xx,11)(arctan

4、2xx .arctand112 cxxx7，若若1 .|lnd cxxx則則說(shuō)明：說(shuō)明：,0 xxx1)(ln ,0 x)(1 xx.)ln(d cxxx,1x 例例3 3 求求解解.dxx .1d1cxxx 則則，若若1 )ln( x;lnd1 xxx 8二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義xyo 設(shè)設(shè)f(x)是是f (x)的一個(gè)原函的一個(gè)原函數(shù)，則方程數(shù)，則方程 y= f(x)的圖形是的圖形是直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 oxy 中的一條曲中的一條曲線線, ,稱(chēng)為稱(chēng)為f (x)的一條的一條積分曲線積分曲線. 將這條曲線沿將這條曲線沿 y軸向上軸向上或向下移動(dòng)長(zhǎng)度為或向下移動(dòng)長(zhǎng)度為 |c|

5、的距的距離離, ,就可以得到就可以得到 f (x) 的無(wú)窮的無(wú)窮多條積分曲線，它們構(gòu)成一個(gè)曲線族，稱(chēng)為多條積分曲線，它們構(gòu)成一個(gè)曲線族，稱(chēng)為f (x)的的積分曲線族積分曲線族，其方程為，其方程為 xxfyd)(cxfy )(或或0 x9它們的特點(diǎn)是：它們的特點(diǎn)是： 在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn) 處，各積分曲處，各積分曲線的切線有相同的斜率，都是線的切線有相同的斜率，都是 f (x0) ，即各切線平行即各切線平行. . xyo0 x0 x10 xxxfd2)( ,2cx , 1 c得得.1 2 xy所所求求積積分分曲曲線線為為，代代入入將將2, 1 yx解解1例例4 4 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通

6、過(guò)點(diǎn)(1,2), 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2ddxxy 即即)(xf是是x2的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).xyo11三、不定積分的基本性質(zhì)三、不定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1)(d)(ddxfxxfx .d)(d)(dxxfxxf 或或求求不定積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算：不定積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算： cxfxxf)(d)(.)()(d cxfxf或或性質(zhì)性質(zhì)2 2,d)(d)( xxfaxxfa其中其中a為非零常數(shù)為非零常數(shù). . 證證d)( xxfad)( xxfa, )(xfa 由由定義可知，定義可知，.d)(d)( xxfaxxfa12 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(d)(d)( xxgxxf, )()(xgxf 此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和差的情形此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和差的情形.d)(d)( xxgxx