代數(shù)基本定理的證明方法研究(論文)

1、青島科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）前 言代數(shù)學(xué)基本定理在代數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，而在整個(gè)數(shù)學(xué)界中也起著基礎(chǔ)作用。代數(shù)學(xué)基本定理有兩種等價(jià)的陳述方式。第一種陳述方式為：“任何一個(gè)一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式（，）在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一根”，它的第二種陳述方式為：“任何一個(gè)一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式（，）在復(fù)數(shù)域內(nèi)有個(gè)根，重根按重?cái)?shù)計(jì)算”。盡管這個(gè)定理被命名為代數(shù)基本定理，但，迄今為止，該定理尚無純代數(shù)方法證明。數(shù)學(xué)家J.P賽爾曾經(jīng)指出：代數(shù)基本定理的所有證明本質(zhì)上都是拓?fù)涞摹Ｃ绹?guó)數(shù)學(xué)家John Willard Milnor在數(shù)學(xué)名著從微分觀點(diǎn)看拓?fù)渲薪o了一個(gè)證明，是幾何直觀的，但其中用到了和臨界點(diǎn)測(cè)度有關(guān)的薩爾德定

2、理。在復(fù)變函數(shù)論中，對(duì)代數(shù)基本定理的證明是相當(dāng)優(yōu)美的，其中運(yùn)用了很多經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)的理論成果。代數(shù)基本定理的第一個(gè)證明是由法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾給出的，但其證明是不完整的。緊接著，歐拉也給出了一個(gè)證明，但也有缺陷。嚴(yán)格來說，第一個(gè)完整的證明是數(shù)學(xué)家高斯給出的，他在分析了拉格朗日的證明方法以后于1799年給出的，他是運(yùn)用的純解析的方法證明。而后，到高斯71歲時(shí)，共給出了四種證明方法。十九世紀(jì)七十年代，數(shù)學(xué)家H.W.Kuhn對(duì)于該定理給出了引人注目的構(gòu)造性證明，這種方法的數(shù)學(xué)形象極好，并已實(shí)際用于復(fù)系數(shù)代數(shù)方程求根，堪稱不動(dòng)點(diǎn)算法的范例。如果將復(fù)數(shù)域理解為復(fù)平面，將（，）的根理解為它在復(fù)平面上的零點(diǎn)，

3、那么就可以借助復(fù)變函數(shù)的理論去證明代數(shù)學(xué)基本定理。這種證明方法比較簡(jiǎn)潔，方法也有多種。近年來，諸多數(shù)學(xué)家又給出了其它的證明方法，例如2003年翁?hào)|東對(duì)代數(shù)基本定理進(jìn)行了多種方法的分析，并給予了形象的證明。他并沒有采用常用的劉維爾定理和儒歇原理運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的方法進(jìn)行證明，而是采用了初等方法證明了代數(shù)基本定理，說明可不用復(fù)變函數(shù)理論中的有關(guān)概念和定理進(jìn)行證明該定理。本論文結(jié)合有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，主要目的是歸納總結(jié)代數(shù)基本定理幾種代表性的證明方法。第一章運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論中的柯西定理、劉維爾定理、儒歇定理、輻角原理、最大模原理、最小模原理、留數(shù)定理來證明代數(shù)學(xué)基本定理，并對(duì)這些證明方法進(jìn)行說明、比較與總結(jié)。第

4、二章主要介紹了翁?hào)|東的初等方法的證明。第三章介紹了Kuhn的兩個(gè)構(gòu)造性的證明方法。第四章簡(jiǎn)單介紹了高斯的純解析證明方法。1代數(shù)基本定理的復(fù)變函數(shù)理論證明將復(fù)數(shù)域理解為復(fù)平面，將（其中，）的根理解為它在復(fù)平面上的零點(diǎn)，那么就可以借助復(fù)變函數(shù)的理論去證明代數(shù)學(xué)基本定理。這種證明方法比較簡(jiǎn)潔，方法也有多種。本章主要針對(duì)于代數(shù)基本定理的兩種陳述方式，運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論中的柯西定理、劉維爾定理、儒歇定理、輻角原理、最大模原理、最小模原理、留數(shù)定理來證明代數(shù)學(xué)基本定理，并對(duì)這些證明方法進(jìn)行說明、比較與總結(jié)。1.1代數(shù)學(xué)基本定理的第一種陳述方式的證明代數(shù)學(xué)基本定理的第一種陳述方式為：任何一個(gè)一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式

5、（其中，）在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一根。1.1.1利用柯西定理證明 柯西于1825年給出了復(fù)變函數(shù)的積分和積分路徑無關(guān)的條件，它是研究解析函數(shù)理論的基礎(chǔ)，是復(fù)變函數(shù)的基本定理定理1.1.1（柯西定理） 設(shè)函數(shù)在整個(gè)平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉合曲線，那么。證明：設(shè)所圍成的區(qū)域是，取一個(gè)四邊平行于坐標(biāo)軸的矩形，把包含在內(nèi)。用線段連接矩形對(duì)邊的中點(diǎn)，最多可把分成四塊。不妨設(shè)分成，四塊。由于沿的積分等于沿這四塊區(qū)域邊界積分的和，所以必有一塊邊界上的積分，滿足用的同樣的方法把分成四塊，其中必有一塊使得把這種做法一直進(jìn)行下去可以得到曲線內(nèi)的一串矩形區(qū)域或矩形被曲線截得的區(qū)域，使得 存在唯一一點(diǎn)屬

6、于每個(gè)或，而且時(shí)，。因?yàn)樵谟袑?dǎo)數(shù)，所以對(duì)任何，當(dāng)與充分接近時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)充分大時(shí)， 設(shè)最大矩形的周長(zhǎng)是。當(dāng)充分大時(shí)，對(duì)于，有的周長(zhǎng)，所以 ，由以上兩式得因?yàn)闉槿我庹龜?shù)，所以。基本定理的證明:設(shè)，其中，。假設(shè)在復(fù)平面上無零點(diǎn)，即對(duì)任意，有，于是在平面解析，由柯西定理 （其中是圓周） (1-1)另一方面，=其中函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，一致趨于零。又因?yàn)椋?（） (1-2)故，比較(1-1)與(1-2)得，這與定理的條件矛盾，所以在平面上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。 證畢。1.1.2利用劉維爾定理證明劉維爾定理是復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)著名定理，在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。下面介紹其內(nèi)容及

7、運(yùn)用該定理證明代數(shù)基本定理的方法。定理1.1.2（劉維爾定理） 有界整函數(shù)必為常數(shù)。證明：是有界整函數(shù)，即存在，使得對(duì)任意的，因此任意的及任意的,在上解析，從而有，令，可見對(duì)任意的，從而在復(fù)數(shù)域上恒等于常數(shù)?；径ɡ淼淖C明:假設(shè)在平面上無零點(diǎn)。則為整函數(shù)且當(dāng)時(shí)，。令，則也是整函數(shù)。又因?yàn)?，所以在整個(gè)復(fù)平面上有界。由劉維爾定理知為常數(shù)，與不是常數(shù)矛盾。因此一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。 證畢。劉維爾定理的應(yīng)用非常廣泛。用劉維爾定理做證明題時(shí)常見的方法有兩種：一種是利用反證法來證明，另一種是構(gòu)造輔助函數(shù)來證明。而在劉維爾定理證明代數(shù)學(xué)基本定理的過程中巧妙地把這兩種方法結(jié)合了起來。它的證明思路很

8、清晰：利用反證法，并構(gòu)造輔助函數(shù)，由為整函數(shù)且在復(fù)數(shù)域上有界，得到為常數(shù)，這與假設(shè)相比得出矛盾，從而得出結(jié)論一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。它的證明過程也很簡(jiǎn)潔，很容易讓初學(xué)者理解和掌握。1.1.3利用最大模原理證明最大模原理在復(fù)變函數(shù)理論中也是很重要的定理，它深刻反映著解析函數(shù)的性質(zhì)。下面介紹運(yùn)用該定理證明代數(shù)基本定理的方法。定理1.1.3（最大模原理） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且恒不為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)都取不到最大值。證明：假定在內(nèi)不恒等于一常數(shù)，那么是一區(qū)域。設(shè)在達(dá)到最大值。顯然，且必有一充分小的鄰域包含在內(nèi)，于是在這鄰域內(nèi)可找到一點(diǎn)滿足，從而在內(nèi)有一點(diǎn)滿足以及，這與題設(shè)矛盾。因此在內(nèi)

9、恒等于一常數(shù)?；径ɡ淼淖C明:假設(shè)在復(fù)平面上沒有零點(diǎn)，即，則在平面上解析。顯然當(dāng)且充分大時(shí)有因此，在上且充分大時(shí)，有，從而由最大模原理，有 特別地，在處，有。而這對(duì)于充分大的顯然不成立。這就說明了“在平面上沒有零點(diǎn)”的假設(shè)是不成立的，從而可以得到在平面至少有一個(gè)零點(diǎn)，即一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。1.1.4利用最小模原理證明 最大模定理和最小模定理都是描述解析函數(shù)的重要特性的定理，但用最小模定理可更為簡(jiǎn)單地證明代數(shù)基本定理。定理1.1.4（最小模原理） 若解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)不恒為常數(shù)，且在內(nèi)的點(diǎn)有，則不可能是在內(nèi)的最小值。證明：假設(shè)是在內(nèi)的最小值，即。已知在內(nèi)解析且不為常數(shù)，由保域定理知：

10、為平面上的區(qū)域。因，則存在，又，因此存在滿足，故存在，使得， ，這顯然與為在內(nèi)的最小值矛盾，所以不可能是在內(nèi)的最小值?；径ɡ淼淖C明:設(shè)，假設(shè)對(duì)，有，并且。又因?yàn)樵趶?fù)平面上解析，且不為常數(shù)，所以由最小模原理知：對(duì)于，只能在上取得 (1-3)另一方面，從而當(dāng)充分大時(shí)，在上有，則這與(1-3)式矛盾，所以假設(shè)不成立。即在復(fù)平面上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，亦即一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。 證畢。最小模原理與最大模原理在證明代數(shù)學(xué)基本定理的時(shí)候的證明方法是極其相似的：首先都是假設(shè)一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)無零點(diǎn)，然后通過在區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)能取到最大值或最小值，但是卻不是常數(shù)，與定理的內(nèi)容產(chǎn)生矛盾，從而得出一元次方

11、程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。這兩個(gè)定理證明的關(guān)鍵之處是找到在區(qū)域內(nèi)能達(dá)到最大值或最小值的某一點(diǎn)，如果找到了這一點(diǎn)，那么我們所要解決的問題就會(huì)迎刃而解了。以上四種證明方法均采用反證法，假設(shè)一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)無零點(diǎn)，通過證明，得到的結(jié)論都是：一元次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。1.2代數(shù)學(xué)基本定理的第二種陳述方式的證明代數(shù)基本定理第二種陳述方式為：任何一個(gè)一元次多項(xiàng)式（其中，）在復(fù)數(shù)域內(nèi)有個(gè)根，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。1.2.1利用留數(shù)定理證明在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來計(jì)算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個(gè)有力的工具，也可以用來計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。定理1.2.1（留數(shù)定理） 設(shè)是在復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊

12、界是一條或有限條簡(jiǎn)單閉合曲線。設(shè)函數(shù)在內(nèi)除去有孤立奇點(diǎn)，外，在每一點(diǎn)都解析，并且它在上每一點(diǎn)也解析，則有，這里沿閉曲線的積分是按照關(guān)于區(qū)域的正向取的。證明：以內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)為心，作圓，使以它為邊界的閉圓盤上每一點(diǎn)都在內(nèi)，并且使任意兩個(gè)這樣的閉圓盤彼此無公共點(diǎn)。從中除去以這些為邊界的閉圓盤得一區(qū)域，其邊界是以及。在及其邊界所組成的閉區(qū)域上，解析。因此由柯西定理， ，這里沿的積分是按照關(guān)于區(qū)域的正向取的，沿的積分是按反時(shí)針方向取的。根據(jù)留數(shù)的定義，由此可立即推出?；径ɡ淼淖C明:設(shè)，其中，由知，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，這就是說的根只可能在圓盤之內(nèi)，又因?yàn)樵趦?nèi)解析，由留數(shù)定理得，表示在內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

13、另一方面，根據(jù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)多個(gè)的留數(shù)定義，有=而當(dāng)時(shí)，為的可去奇點(diǎn)，于是有，其中的最高次冪為，所以，因此有。故在復(fù)平面上有且僅有個(gè)根。 1.2.2利用輻角原理證明 輻角原理為確定解析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)提供了一個(gè)有效的工具。定理1.2.2（輻角原理） 設(shè)在閉圍線上解析，在其內(nèi)部除了個(gè)極點(diǎn)外解析，在上不為零，則在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于。基本定理的證明:設(shè)（）顯然，有唯一奇點(diǎn)，它是的級(jí)極點(diǎn)，即，所以，作一個(gè)充分大的圓，充分大，則的所有零點(diǎn)都在內(nèi)，設(shè)的全部零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，由輻角原理（其中）下面需證：顯然，由上式有 (1-4)而其中以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為不低于級(jí)的零點(diǎn)。從上式可知關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)為，因此，由(1-4)可知，即證。1

14、.2.3利用儒歇定理證明 儒歇定理是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要定理，主要用于計(jì)算一個(gè)復(fù)變函數(shù)在復(fù)平面一個(gè)區(qū)域中解的數(shù)目，下面運(yùn)用該定理來證明代數(shù)基本定理。定理1.2.3（儒歇定理） 設(shè)是在復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界是一條或有限條簡(jiǎn)單閉合曲線。設(shè)函數(shù)及在及所組成的閉區(qū)域上解析，并且在上，那么在上，及的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同。證明：由于在上，可見及在上都沒有零點(diǎn)。如果及分別是及在內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，那么有， 下面證明,為此只需證明當(dāng)時(shí)，從而點(diǎn)，總在平面上的圓盤內(nèi)，當(dāng)在上連續(xù)變動(dòng)一周時(shí)，從起始值連續(xù)變動(dòng)仍然回到它的起始值（不圍繞）,亦即，于是得證，從而定理得證?；径ɡ淼淖C明:設(shè)，（）令，當(dāng)在充分大的圓周：上時(shí)（不

15、妨?。┯扇逍ɡ恚号c在內(nèi)部有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，即個(gè)零點(diǎn)。所以原方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有個(gè)根。 證畢。這個(gè)證明的突破點(diǎn)在于取，之后就能順利地得到，然后由儒歇定理就能得到結(jié)論：原方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有個(gè)根。這三種證明方法都是采用直接證明的方法，得出代數(shù)學(xué)基本定理的第二種陳述方式：“一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式（其中，）方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有個(gè)根”。2代數(shù)基本定理的初等方法證明 本章采用了初等方法來證明代數(shù)基本定理，說明可不用復(fù)變函數(shù)理論中的有關(guān)概念和定理進(jìn)行證明該定理。主要是針對(duì)于代數(shù)基本定理的第一種陳述方式（即任何一個(gè)一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式（其中，）在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一根）來證明的，為此需要先證明幾個(gè)引理。引理2.

16、1 設(shè)是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中 ，令，則當(dāng)時(shí)，有。證明：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng) 時(shí),當(dāng)時(shí)， 因此時(shí)命題成立。設(shè)時(shí)成立，即當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)， 由數(shù)學(xué)歸納法,命題得證。引理2.2 設(shè)是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,， 則必存在，使。證明：設(shè),。取，使，。 由引理2.1，取，則 ，令則 (2-1)）由(2-1)式易得 ，故。推論2.1 設(shè)是復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式,， ， ，則存在，使得。證明： 因?yàn)闉榇味囗?xiàng)式，所以。令，由泰勒公式而 。所以， 不全為零。設(shè)第一個(gè)不為零的是 則因而上式是關(guān)于 的多項(xiàng)式,由引理2.2,選取,使，即引理2.3 是復(fù)多項(xiàng)式,任給 ,則存在,當(dāng)時(shí)，有。證明：當(dāng)，時(shí)， 取，則當(dāng)時(shí)，有?；径ɡ淼淖C明： 設(shè)(1) 任

17、取復(fù)數(shù)，使,(若取不到 ,則結(jié)論已成立)。(2)取 ，使。由引理2.3,存在 ,當(dāng) 時(shí),有 (2-2) (3)可使。 連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上可達(dá)到最小值。即當(dāng)時(shí)，有 (2-3) 由(2)知，從而。否則，由引理2.2，可取復(fù)數(shù)，使得 (2-4) 由(2-3)式：從易得。于是從(2-2)式得出,與(2-4)矛盾。故,即至少有一個(gè)零點(diǎn)。用初等方法證法是先對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行充分分析和論證, 再應(yīng)用泰勒公式和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 通過對(duì)復(fù)數(shù)域上點(diǎn)的取法進(jìn)行充分的討論和論證,得出結(jié)論。3代數(shù)基本定理的Kuhn的構(gòu)造性證明 Kuhn關(guān)于代數(shù)基本定理的構(gòu)造性證明引人注目，Kuhn方法的數(shù)學(xué)形象極好，并已實(shí)際用于復(fù)系

18、數(shù)代數(shù)方程求根，堪稱不動(dòng)點(diǎn)算法的典范。本章對(duì)Kuhn的方法作一介紹。3.1 Kuhn的1974年的證法 從幾何上看，多項(xiàng)式函數(shù)是復(fù)數(shù)平面到復(fù)數(shù)平面的一個(gè)變換。Kuhn方法的指導(dǎo)思想是：對(duì)平面進(jìn)行三角剖分，尋求在變換之下三個(gè)頂點(diǎn)的象在平面上包圍著原點(diǎn)的那種三角形。當(dāng)剖分加細(xì)時(shí)，這種三角形的極限點(diǎn)就是多項(xiàng)式的根。3.1.1標(biāo)號(hào)法設(shè)是由確定的映射。誘導(dǎo)出的標(biāo)號(hào)法：如下： ，這時(shí)， 我們說是由標(biāo)號(hào)的。3.1.2完全標(biāo)號(hào)三角形及其與多項(xiàng)式根的關(guān)系 稱平面三角剖分中的一個(gè)三角形為完全標(biāo)號(hào)三角形，如果，容易證明命題3.1.1 若是由標(biāo)號(hào)的完全標(biāo)號(hào)三角形，其直徑為，那么，對(duì)，成立，這里，常數(shù)被完全確定。3.1

19、.3三角剖分設(shè)，對(duì)復(fù)數(shù)平面用直線族， ，進(jìn)行三角剖分，這里， ， 為整數(shù)。 在這個(gè)剖分中，記，的意義見3.1.5。3.1.4算法過程 在平面上取正的定向。平面的定向誘導(dǎo)出的邊沿的一個(gè)定向。算法過程可描述為下述命題及其證明。 命題3.1.2 如果上存在標(biāo)號(hào)(1,2)的棱而沒有標(biāo)號(hào)(2,1)的棱，內(nèi)包含完全標(biāo)號(hào)三角形。這是因?yàn)椋涸O(shè)想有一條藤從(1,2)這個(gè)棱出發(fā)向 內(nèi)按照遇到有1和2兩個(gè)標(biāo)號(hào)的棱就穿過去的規(guī)則生長(zhǎng)。顯然，這個(gè)生長(zhǎng)過程的每一步都走到一個(gè)新的三角形，并且，沿前進(jìn)方向，總是標(biāo)號(hào)1的頂點(diǎn)在左，標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)在右。如果藤生長(zhǎng)到某個(gè)有一個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)為的三角形，那么完全標(biāo)號(hào)三角形已找到。否則，藤就要沒

20、完沒了地穿行下去，每步都走到新三角形，但內(nèi)三角形數(shù)目有限，所以藤就要穿過走出，此時(shí)，出口就是上的一個(gè)(2,1)棱，與所設(shè)矛盾?；径ɡ淼淖C明：注意，變換將高度對(duì)稱地在平面上繞行原點(diǎn)圈，而,當(dāng)。按照3.1.4的算法過程，容易證明。命題3.1.3 存在 ，使得對(duì)所有充分大的，上至少有一個(gè)(1,2)棱而沒有(2,1)棱，因而每個(gè)都包含一個(gè)完全擺好三角形?，F(xiàn)在，令，因，固定，有。由命題3.1.2，諸的聚點(diǎn)是多項(xiàng)式的一個(gè)根。這就得到代數(shù)基本定理的一個(gè)構(gòu)造性的證明。3.2 Kuhn的1976年的證法3.2.1半空間的一個(gè)部分記，整數(shù)。給定，對(duì)平面，用直線族， 進(jìn)行三角剖分。對(duì)平面，用直線族 進(jìn)行三角剖分，

21、越往上，剖分越細(xì)。在復(fù)平面剖分的基礎(chǔ)上與間的一個(gè)方塊,，與之間剖分，得到半空間的一個(gè)單純剖分。 3.2.2標(biāo)號(hào)法，如3.1.1對(duì) 進(jìn)行標(biāo)號(hào)，而上的頂點(diǎn)，由冪函數(shù)標(biāo)號(hào)。由此易證。命題3.2.1 當(dāng)時(shí)，上，正好有個(gè)(1,2)棱而沒有(2,1)棱，外沒有完全標(biāo)號(hào)三角形。由此，等到一個(gè)只依賴于次數(shù)而不依賴于具體多項(xiàng)式的計(jì)算出發(fā)點(diǎn)。3.2.3 算法 取定。從上的個(gè)(1,2)棱出發(fā)，向內(nèi)尋找(1,2,3)三角形。然后，按照“遇到(1,3,2)三角形就穿過去”的規(guī)則，計(jì)算序列向空中發(fā)展。如果所遇到的(1,3,2)三角形在平面上（因而就在內(nèi)），那么，(1,2,3)三角形，然后重新向空中發(fā)展。顯然，每個(gè)計(jì)算序列

22、都在以為軸的半徑的大圓筒內(nèi)無限發(fā)展，不相交，不分叉，因而必須無限向上發(fā)展。每向上一層，誤差就縮小一半，也就是說，每向上一層，都利用了“先一層”的計(jì)算結(jié)果，只要足夠大，就能算得滿足任何精度要求的根。這里，如同3.1中的基本定理的證明，但與已不相干，保證了算法的規(guī)范化處理。Kuhn算法的實(shí)施，是一種頂點(diǎn)替換的過程：從這個(gè)三角形（四面體）到下一個(gè)三角形（四面體）。每次只替換一個(gè)頂點(diǎn)?，F(xiàn)在的算法可以描述為：現(xiàn)在的算法可以描述為從只依賴于的出發(fā)，個(gè)計(jì)算序列以的增大為標(biāo)志，可以任意接近多項(xiàng)式的個(gè)根。從構(gòu)造性證明的角度來講，新算法在逼近多項(xiàng)式根的動(dòng)態(tài)形象亦較之前出色。按照Kuhn算法編制的一次算出任意復(fù)余數(shù)

23、多項(xiàng)式全部根的算法程序，在數(shù)值試驗(yàn)中取得令人滿意的結(jié)果，并可以存入計(jì)算中心應(yīng)用軟件庫，供用戶調(diào)用。4代數(shù)基本定理的純解析證明（高斯） 高斯曾用多種方法證明代數(shù)基本定理，他于1797年曾向友人說明關(guān)于這一定理的最初證明，下面給出的這個(gè)證明是1816年發(fā)表的純解析證明，其證明清晰優(yōu)美。4.1代數(shù)學(xué)基本定理的純解析證法我們需要證明系數(shù)為實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式 (4-1)至少有一個(gè)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）解，使。令 ， (4-2)因而如果處處不為零，函數(shù) （在有限平面上）應(yīng)是處處連續(xù)和可微的，只要作為分子的函數(shù)具有這樣的性質(zhì)（分母應(yīng)是非零的）。在這種情況下可以運(yùn)用人們較為熟悉的實(shí)分析定理，在以半徑，圓心在原點(diǎn)處的圓上面，

24、計(jì)算積分 (4-3)的值。首先可以從到對(duì)半徑積分，然后從到對(duì)積分，或采取相反的次序。的值與積分次序是無關(guān)的。如果能表明，對(duì)于某個(gè)特定的函數(shù)，計(jì)算(4-3)式時(shí)會(huì)因積分次序不同而導(dǎo)致結(jié)果不同，那就表明假設(shè)不成立。而如果能證明確存在這種情況，那么代數(shù)基本定理也就可以從反面得到證明了。為做到這一點(diǎn)，引入以下定義：， ， ， (4-4)由(4-4)所規(guī)定的量分別與所給函數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)： ， (4-5) (4-6)這里 ， (4-7)我們進(jìn)一步注意下述關(guān)系：， ， ， (4-8)這種關(guān)系很容易從(4-4) (4-5) (4-6)和(4-7)推到出來。最后引入下列輔助定義： (4-9)和 ， (4-10)這里 是一個(gè)滿足不等式 ， (4-11)的正實(shí)數(shù)。對(duì)于這種選擇， 、 、 和 的值總是正的。以為例，可以立即看到這一點(diǎn)。如果把寫成下面的形式 (4-12)由于，且(4-11)成立，那么(4-12)中沒有一項(xiàng)是負(fù)的。另外，很明顯這些項(xiàng)不會(huì)全都為零，所以總是正的。用類似的方法，可以證明，也總是正值。下面我們?cè)賮砜矗绻?，那么?4-4)、(4-5)定義的，和所應(yīng)